Issuu on Google+

AGAPEMA - IREM de Toulouse Rallye Matemático sen Fronteiras Rallye Mathématique sans Frontières Luns 21 marzo 2011

Proba de 3º e 4º de ESO Duración: 1 hora - Os 4 primeiros exercicios son para realizar por todos os grupos - Cada un dos exercicios «Especial» é para realizar unicamente polo alumnado do grupo sinalado

Exercicio 1: Coa súa tesoira Nicole ten unha folla cadrada de papel de 1 mm de espesor na que executa as seguintes operacións: 1ª operación: corta a folla en dúas partes iguais ao longo dunha liña paralela a un lado e obtén dous rectángulos iguais que, superpostos, dan un novo rectángulo que ten 2 mm de espesor. 2ª operación: corta o novo rectángulo en dúas partes iguais ao longo dunha liña paralela á anchura e superpón as pezas. a) Neste momento, cantos cadrados superpostos conseguiu? Continúa os cortes e as superposicións ata a sexta operación e descobre que obtén un cubo. b) Este cubo cantas follas cadradas e amoreadas ten? c) Cal é a medida da aresta do cubo? d) Cal é a lonxitude do lado do cadrado de folla orixinal? 1.-a) 4; b) 64; c)64 mm; d) 512 mm

Exercicio 2: Melancolía No século XVI, no seu famoso cadro "Melancolía", o matemático pintor Alberto Durero deseñou un cadrado máxico. Nunha reprodución desta táboa algúns números do cadrado máxico foron eliminados. Pero sabemos que os dous lugares centrais da liña inferior indican o ano de creación da táboa.


Lembra que neste cadrado máxico contén os enteiros do 1 ao16, que non se repiten, e que suma de cada liña, columna e das dúas diagonais é sempre a mesma.

16

13 10

a) Que número colocarías na cela gris? b) Cal é a suma dos enteiros do 1 ao 16? c) Completa o cadrado máxico. 2.-a) 15; b) 132; c) 16, 3, 2, 13; 5, 10, 11, 8; 9, 6, 7, 12; 4, 15, 14, 1

11 7

4

16

5

3

2

10

11

8

6

4

15

7 14

13 8

12

1

Exercicio 3: O Peixe de Piero della Francesca Ao redor de 1480, o matemático Piero della Francesca propón á sagacidade dos seus contemporáneos o problema seguinte: "Un peixe está composto por tres partes: cabeza, corpo e cola, e pesa 51 libras. A cabeza pesa 1 / 3 do corpo, a cola pesa 1 / 4 da cabeza. Canto pesan a cabeza, o corpo e a cola? ". Responde ás tres preguntas de Piero della Francesca.

3.- corpo: 36 libras, cabeza: 12 libras, cola: 3 libras

Exercicio 4: A familia Cent A familia está composta de cen pares de números enteiros positivos tales que, se sumamos o seu produto, a súa diferenza (maior menos o menor) e a súa suma, o resultado é igual a cen. Determina todos os pares de números da familia Cent. 4.- (50,0), (25,2), (20,3), (10,8) [(1,98), (2,48), (4,23), (5,18)]. Non é posible atopar cen pares que cumpran as condicións impostas no problema.


Especial Cuarto da ESO: O cabalo Bucéfalo Bucéfalo está atado cunha corda ao centro O dun recinto circular de 5m de radio.O recinto está aberto seguindo o arco AB do recinto. O ángulo AOB é de 60 °. Ademais, as barreiras [AC] e [BD], de 5 m de lonxitude, e situadas como se mostra na figura, limitan o desprazamento de Bucéfalo cando a corda é moi longa. Cal é a superficie na que pode pastar Bucéfalo en cada un dos seguintes casos: a) A lonxitude da corda é de 5m. b) A corda ten 10m de lonxitude. c) A corda acada os 11m de lonxitude. E4º.- 78,54 m2, b) 117,81 m2, c) 131,95 m2

E4º.- a) π*52, b) π*52+( π*102- π*52)/6, c- π*52+( π*112- π*52)/6+ 2π*12/2 E4º.- a) 25π m2, b) (225/6)π m2, c) 42π m2 Especial Terceiro da ESO: O problema do Xardineiro Un xardineiro debe construír un macizo cadrado (deseño sombreado na figura), dentro dun recinto tamén cadrado. Os dous cadrados teñen o mesmo centro e os seus lados son paralelos. Comprou, ademais, 156 m2 de céspede en rolos de 1m de ancho, que coloca na franxa de 1 metro de ancho arredor de todo o macizo. (Esta franxa está representada pola porción branca).

Cal é a lonxitude do lado do cadrado do recinto? Cal é a lonxitude do lado do cadrado do macizo?

E3º.- a) 40 m, b) 38 m


Rallye Matemático 2011