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Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

Introduzione Questo scritto `e dedicato a tutti coloro che vogliono o devono approfondire lo studio dell’algebra. Rispetto ai classici testi scolastici si cerca di non perdere mai di vista la motivazione dei risultati: ecco perch`e viene sempre riportata la dimostrazione di ogni proposizione o teorema. Tuttavia per non appesantire eccessivamente il discorso, talvolta alcune dimostrazioni possono risultare un poco abbreviate e in alcuni casi si procede con esempi particolari al posto di un discorso generale: tuttavia il lettore attento pu`o con facilit`a convincersi della validit` a in generale delle proposizioni o dei procedimenti di cui si parla, anche in questi casi. Il testo `e pensato quale integrazione di un normale testo di algebra e non in sua completa sostituzione.

Indice 1 Due parole sui numeri

2

2 Operazioni sui numeri e loro propriet` a

2

3 Sottrazione e divisione

5

4 Elevamento a potenza

6

5 Monomi e polinomi

6

6 Prodotto tra monomi e prodotto di un monomio per un polinomio 9 7 Prodotti notevoli tra polinomi

10

8 Grado di un polinomio

10

9 Il teorema di Ruffini ed il teorema fondamentale dell’algebra

12

10 Prodotto tra polinomi.

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11 Divisione tra polinomi

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12 Le equazioni

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Roma, giugno 2005. Alessandro Bernardini

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Alessandro Bernardini

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Introduzione all’algebra.

Due parole sui numeri

Quando osserviamo quattro palline, oppure quattro personal computer, stiamo considerando insiemi di oggetti, ciascuno dei quali composto da quattro elementi. Pertanto siamo in grado di attribuire un senso a proposizioni del tipo “questo insieme `e formato da quattro elementi” e pertanto abbiamo un idea di cosa sia il numero quattro, o un qualsiasi altro numero naturale. Accetteremo questa idea primitiva di numero, senza addentrarci in discorsi di natura filosofica. Si indica con: N = {1, 2, 3, 4, . . .} l’insieme dei numeri naturali 1 . I numeri naturali sono sicuramente quelli pi` u familiari al lettore, poich`e fin da bambini si impara a maneggiare tali numeri per contare gli oggetti (come per. es. le dita delle mani, le palline, ecc.). Si costruiscono poi i numeri interi: Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} con la introduzione dello zero e del segno positivo o negativo ed i razionali che si indicano con Q. Un numero razionale `e individuato da una frazione, ove al numeratore ed al denominatore compare un numero intero. Il lettore sicuramente √ avr`a modo di incontrare anche i numeri reali, indicati con R, quali per es. 2 che `e un numero rappresentato con infinite cifre decimali non periodiche. Esistono inoltre i numeri complessi C, che giocano un ruolo molto importante nella matematica. Il numero complesso pi` u “famoso” `e chiaramente il numero i, che prende il nome di unit` a immaginaria, il quale elevato al quadrato d` a −1, ossia: i2 = −1. Per ora non ci preoccuperemo di dare una definizione ben posta n`e di cosa sia un numero complesso e n`e di che cosa sia un numero reale.

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Operazioni sui numeri e loro propriet` a

In tutti gli insiemi numerici considerati, ossia N, Z, Q, R, C sono definite le due operazioni fondamentali di somma e di prodotto. Limitiamoci per semplicit`a e per brevit` a all’insieme dei numeri naturali N. La operazione di somma `e, infondo, un concetto primitivo: se abbiamo 2 mele e ne aggiungiamo altre 3, otteniamo 5 mele, per cui, generalizzando, affermiamo che 2 + 3 = 5. Cos`ı se abbiamo due oggetti a cui aggiungiamo tre oggetti, otteniamo cinque oggetti: XX |{z} + XXX | {z } = XX |{z} XXX | {z } = XXXXX | {z } 2

3

2

3

5

Moltiplicare due numeri naturali significa sommare il primo a s`e stesso tante volte quante specificate dal secondo numero. Cos`ı: 2 · 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 | {z } 5 volte

1 Per

indicare, per es., che il numero 79 ` e un numero naturale, scriveremo 79 ∈ N intendendo con ci` o che 79 ` e un elemento dell’insieme dei numeri naturali.

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Si definiscono anche le operazioni di somma e prodotto negli insiemi Z, Q, R, C: in Z si terr` a conto del segno dei numeri e del fatto che a·0 = 0 e che a+0 = a, con a ∈ Z. In Q le operazioni di somma e prodotto saranno operazioni su frazioni, che comunque il lettore dovrebbe conoscere. Si definisce anche la somma ed il prodotto di numeri reali e complessi. In tutti gli insiemi numerici, valgono le seguenti propriet`a: a+b a·b a + (b + c) a(bc) a(b + c)

= = = = =

b+a b·a (a + b) + c (ab)c ab + ac

(1) (2) (3) (4) (5)

ove i simboli possono essere numeri naturali, interi, razionali, reali o complessi. ` il caso di osservare come grazie alle propriet`a precedenti `e possibile calcoE lare la somma ed il prodotto di numeri qualsiasi a partire dalla conoscenza di poche somme e prodotti “di base”. Le somme elementari sono: + 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 13 8 9 10 11 12 13 14 9 10 11 12 13 14 15 10 11 12 13 14 15 16 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Mentre i prodotti elementari (le tabelline) sono: · 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Mostriamo ora come dalla conoscenza delle precedenti “tabelline” (la cui verifica `e immediata) e dalle propriet`a della somma e del prodotto `e possibile calcolare la somma ed il prodotto di due numeri naturali qualsiasi, con semplici considerazioni. 3


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Procediamo facendo un esempio particolare. Per calcolare la somma di 576 e di 1483, osserviamo che: 576 = 500 + 70 + 6 e che 1483 = 1000 + 400 + 80 + 3 Allora: 576 + 1483 = (500 + 70 + 6) + (1000 + 400 + 80 + 3) = = 1000 + (500 + 400) + (70 + 80) + (6 + 3) = = 1000 + (500 + 400) + (150) + 9 = = 1000 + (500 + 400) + (100 + 50) + 9 = 1000 + (500 + 400 + 100) + 50 + 9 = = 1000 + 1000 + 50 + 9 = 2000 + 50 + 9 = 2059 Come si vede l’usuale modo di eseguire le addizioni trova la sua giustificazione proprio nel procedimento adottato: si sommano le unit`a poi le decine, le centinaia, ecc. e si tiene conto di eventuali riporti (si osservi che nel nostro esempio 70+80 = 150 = 100+50 genera un riporto, che “si propaga”. . . ). In particolare nel procedimento adottato si `e usata la propriet`a: a + (b + c) = (a + b) + c (o meglio una sua conseguenza) e ci si `e riferiti alla tabella delle somme elementari per stabilire per es. che 70+80 = 7·10+8·10 = (7+8)·10 = 15·10 = 150, ove si `e anche tenuto conto di altre propriet`a elementari. . . Per quanto riguarda il prodotto, osserviamo il seguente esempio: 1928 · 89 = (1000 + 900 + 20 + 8) · (80 + 9) = = 1000 · 80 + 900 · 80 + 20 · 80 + 8 · 80 + 1000 · 9 + 900 · 9 + 20 · 9 + 8 · 9 = = 80000 + 72000 + 1600 + 640 + 9000 + 8100 + 180 + 72 = (80000 + 72000 + 1600 + 640) + (9000 + 8100 + 180 + 72) = = 154240 + 17352 = 171592 ` possibile mostrare con semplici considerazioni come il normale modo di E eseguire le moltiplicazioni che si insegna nella scuola elementare trova la sua giustificazione proprio nel procedimento appena seguito2 e, in particolare, dalla propriet` a secondo cui a(b + c) = ab + ac. 2 in pratica, si tiene conto del riporto mentre si effettuano le somme, evitando cos` ı troppi passaggi.

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Vogliamo ora dimostrare tale propriet`a per i numeri naturali. Il prodotto di a per (b + c) `e quel numero che si ottiene sommando (b + c) a s`e stesso a volte: a · (b + c) = (b + c) + (b + c) + . . . + (b + c) = | {z } a volte

= b + b + . . . + b + c + c + . . . + c = ab + ac | {z } | {z } a volte

a volte

Tralasceremo le dimostrazioni delle altre propriet`a, per semplicit`a, anche perch`e una dimostrazione rigorosa non `e cos`ı elementare come si potrebbe pensare. Ci limitiamo a sottolineare che tali propriet`a fondamentali valgono non solo per i numeri naturali, ma anche per gli altri insiemi di numeri.

3

Sottrazione e divisione

Le operazioni di sottrazione e di divisione sono le operazioni inverse della somma e del prodotto. In altre parole: a − b = c se e solo se e:

a = c se e solo se b

a = c+b a = b·c

(6)

(7)

` facile vedere come le operazioni di sottrazione e di divisione non siano semE pre definite (possibili) in tutti gli insiemi numerici. Per esempio, considerando l’insieme dei numeri naturali, non `e possibile definire l’operazione 3 − 15 poich`e non esiste nessun numero naturale c tale che 3 = c + 15. Tale operazione `e invece possibile con i numeri interi (che si indicano con Z). Infatti il numero intero −12 sommato a 15 d`a come risultato 3, e dunque 3 − 15 = −12 ∈ Z. = −10 `e una operazione possibile nel campo degli interi, Analogamente −20 2 o essere un numero intero. Dunque per considerare tutte le posibili ma 32 non pu` divisioni tra numeri occorre considerare i numeri razionali Q. Tuttavia la divisione di un numero per 0 risulta sempre indifinita, anche tra i razionali, i reali o i complessi. Infatti: a = c se e solo se 0

a = 0·c

ma 0 · c = 0 per ogni numero c e dunque non esiste nessun numero c che moltiplicato per zero possa dare come risultato3 a e pertanto, in virt` u della precedente definizione, non esiste nessun numero naturale, intero, razionale, reale o complesso che possa essere il risultato della operazione a0 e, pertanto, tale operazione resta indeterminata ed indefinita. 3 si

presuppone a 6= 0 e la scrittura

0 0

si considera priva di un significato definito.

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Ecco perch`e, quando si lavora con le frazioni, occorre assicurarsi che il denominatore non sia mai nullo. Talvolta si considera la divisione con resto. Diremo allora che a diviso b `e pari a c con resto d se e solo se a = b · c + d e d `e compreso tra zero e b escluso. Per es: 15/2 = 7 con il resto di 1, poich`e 15 = 7 · 2 + 1 e poich`e 1 `e minore di 2 (`e compreso tra zero e 2 escluso). ` appena il caso di osservare che la radice quadrata di un numero naturale E √ `e, in generale, un numero reale. Per es. 2 non `e n´e intero n´e razionale, ma reale. Per effettuare la radice quadrata di numeri negativi occorre operare nel campo dei numeri complessi C. Cos`ı in genere le calcolatrici danno un errore se si tenta di effettuare la radice quadrata di un numero negativo, ma non le calcolatrici scientifiche impostate per operare con i numeri complessi.

4

Elevamento a potenza

Se n `e un numero naturale, si pone, per definizione, che: an = a | · a · a{z· . . . · a}

(8)

n volte

e si dice che a `e elevato alla n. a prende anche il nome di base, mentre n si dice esponente della potenza. Si osservi che a1 = a. In realt` a si estende la precedente definizione anche al caso in cui n sia intero, razionale o reale, ma non entreremo qui nel merito (si ricordi per`o che a0 = 1, ` opportuno ricordare la seguente propriet`a delle potenze: per ogni a 6= 0). E an · am = am+n

(9)

La dimostrazione di questa propriet`a si ottiene osservando che: an · am = a | · a · a{z· . . . · a} · a | · a · a{z· . . . · a} = n volte

m volte

m+n = a | · a · a{z· . . . · a} = a m+n volte

Si dimostra che tale propriet`a vale anche se gli esponenti n, m sono numeri non naturali.

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Monomi e polinomi

Chiameremo monomio il prodotto di pi` u termini ciascuno dei quali `e rappresentato mediante un numero determinato o mediante una lettera.

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√ Cos`ı per es. sono monomi a; − 2xy 3 ; 34 x; 2x2 ; 5mn, ove per la moltiplicazione si sottointende il punto. Cos`ı per es. xy v`a interpretato come x · y. In genere si sottointende che le lettere indicano numeri reali. Per es. l’espressione ab pu`o indicare l’area di un rettangolo i cui lati hanno misura a e b, ma tali misure sono ancora incognite. Si indicano pertanto tali misure (definite, ma non note o non ancora note) con delle lettere dell’alfabeto latino (o greco) e si procede con un discorso generale. In seguito, se tali misure diventano note, per es. veniamo a sapere che il nostro rettangolo ha lati di misura 3 e 5 metri, poich`e lo abbiamo misurato, potremo sostituire i valori trovati al posto delle lettere a e b e particolarizzare i risultati trovati. Cos`ı verremo a sapere che il nostro rettangolo ha area pari a ab = 3·5 = 15 m2 . Inoltre un monomio (come anche un polinomio, per es.), nel quale compaia al pi` u una variabile, individua anche una funzione (di una sola variabile), ossia un procedimento, una legge, che permette di associare ad un numero dato un altro numero, chiamato immagine del numero dato. Cos`ı per es. il monomio x2 individua una funzione (un procedimento, una legge) che permette di associare ad un dato numero il suo quadrato. Potremmo indicare tale legge con f (x) e scrivere che f (x) = x2 . In tali ipotesi, quando troveremo una scrittura del tipo f (3) dovremo sostituire il numero 3 al posto della variabile x, ottenendo che f (3) = 32 = 3 · 3 = 9. Cos`ı sar` a, sempre relativamente a questo esempio, che: √ f (2) = 4; f ( 2) = 2 f (a + b) = (a + b)2 f (α) = α2 f (5) = 25 In una espressione funzionale come per es f (x) = x2 la x viene chiamata variabile, in quanto la si fa variare in un opportuno sottoinsieme di numeri. Questo, in genere, al fine di osservare come si comportano le varie coppie di numeri (x, f (x)) che si ottengono al variare, appunto, della variabile x. Al contrario quando si indica una grandezza che non `e esplicitamente nota (o che non si vuole scrivere esplicitamente) mediante una lettera, quale per es. x, si pensa a x come ad un numero dato, fisso. Per es. se indichiamo il lato di un rettangolo con a, tale lettera indica un valore (eventualmente incognito) che non varia. Quando infine consideriamo “un generico numero” e indichiamo tale numero con una lettera, per es. la lettera a, tale lettera semplicemente `e un modo simbolico e sintetico per considerare l’espressione “un numero qualsiasi”. Quindi osserviamo come una lettera, da un punto di vista logico, pu`o giocare “ruoli” diversi a seconda di come viene usata (pu`o indicare una costante, pu` o formare una variabile in una espressione funzionale, pu`o simboleggiare una grandezza fissa e definita anche se incognita, oppure pu`o indicare una grandezza generica: in tale ultima ipotesi l’espressione in cui tale lettera compare si 7


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riferisce ad ogni valore che la lettera pu`o assumere . . . ed in genere si sottintende una espressione del tipo “per ogni. . . ...”). Illustriamo meglio questi concetti mediante i seguenti esempi: Nella seguente frase: “indichiamo con r il raggio della terra in Km” la lettera r `e una costante che indica un numero reale, ben definito, che non si vuole scrivere esplicitamente. Nella seguente frase: “sia t il tempo in s del miglior giro che il proprio pilota preferito di F1 (ossia Schumacher) far`a nel prossimo gran premio” la lettera t indica un numero reale, definito, ma incognito (si consideri la data del prossimo gran premio che deve ancora svolgersi ed i cui risultati, pertanto, sono incogniti). Nella seguente frase: “a · b = b · a” le lettere a e b indicano due numeri reali qualsiasi e sarebbe pi` u opportuno dire che: “per ogni coppia di numeri reali, indicando con a il primo numero della coppia e con b il secondo si ha che a · b = b · a”. Come si vede a e b indicano grandezze generiche. In simboli si pu` o scrivere ∀ a, b a, b ∈ R ab = ba e si legge per ogni coppia a, b con a e b appartenenti all’insieme dei numeri reali si ha che ab = ba. Il simbolo ∈ indica appartenenza ad un insieme. Pertanto la scrittura a ∈ B si legge “a appartenente all’insieme B”. Invece il simbolo ∀ si legge “per ogni” e dunque la scrittura ∀x si legge “per ogni x. . . ”. Il lettore dovr`a abituarsi a questa simbologia ed `e altamente consigliabile che acquisisca le nozioni fondamentali della teoria degli insiemi. Per finire, nella seguente frase: “Consideriamo la funzione f (x) = x2 ” si intende la x come una variabile che pu`o assumere un opportuno insieme di valori (reali). Sarebbe pertanto meglio dire: “consideriamo tutte le coppie ordinate di numeri reali (x, f (x)) che si ottengono quando x varia assumendo tutti i valori di un certo insieme (per es. tutto l’insieme R dei numeri reali, visto che il quadrato di un numero reale `e sempre derfinito). . . ”. Terminata questa lunga parentesi, definiamo un polinomio come una somma di monomi. Molto importanti sono i polinomi in cui compare una sola variabile (o, meglio, una sola lettera), per es: 3x2 + 2x − 3

;

x4 + 5

;

x+2

Anche qui si pu` o porre, per esempio, h(x) = 3x2 + 2x − 3. O, meglio, anche un polinomio individua una funzione, indicata con h(x) nel nostro esempio. Tale funzione `e una legge, che permette di associare ad un numero un altro numero che si ottiene sostituendo il numero di partenza al posto della x. Pi` u semplicemente si osservi che, nell’esempio considerato, sar`a: h(7) = 3 · 72 + 2 · 7 − 3 = 158

8

;

h(−2) = 5


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. . . e cos`ı via. Per avere invece l’esempio di una funzione di pi` u variabili si consideri il seguente esempio: f (x, y) = x + 3y. Ovviamente sar`a che f (3, 4) = 3 + 3 · 4 = 15, sostituendo ordinatamente 3 al posto di x e 4 al posto di y. Inoltre sar`a f (2, a2 ) = 2 + 3a2 , e cos`ı via. . .

6

Prodotto tra monomi e prodotto di un monomio per un polinomio

Abbiamo visto come un monomio sia un prodotto tra numeri reali, eventualmente indicati mediate lettere, ed abbiamo accennato al “ruolo logico” che tali lettere possono rivestire. Pertanto il prodotto tra monomi altro non `e che un prodotto tra numeri reali, alcuni dei quali possono essere appunto indicati con delle lettere. Si comprende allora che il prodotto tra monomi (e anche tra polinomi) `e “regolato” dalle propriet`a delle operazioni sui numeri (reali). Per esempio: 1 5 1 (5x2 ) · ( xy) = 5 · x2 xy = x3 y 2 2 2 per le propriet` a (4), (2) e (9). Un discorso analogo vale per la somma tra monomi: Per esempio: 4a2 m + 3a2 m + 10a = (4 + 3)a2 m + 10a = 7a2 m + 10a per la propriet` a (5). Applicando ulteriormente tale propriet`a si pu`o anche scrivere che (osservando anche che aa = a2 ): 7a2 m + 10a = (7am + 10)a Anche per effettuare il prodotto di due polinomi si usa la (5). Ci riferiremo sempre ad un esempio particolare per illustrare quanto detto: (αx2 + βx + γ) · (ax2 + bx + c) = = ax2 (αx2 + βx + γ) + bx(αx2 + βx + γ) + c(αx2 + βx + γ) = = aαx2 x2 + aβx2 x + aγx2 + bαxx2 + bβxx + bxγ + cαx2 + cβx + cγ = = aαx4 + aβx3 + aγx2 + bαx3 + bβx2 + bγx + cαx2 + cβx + cγ = = aαx4 + (aβ + bα)x3 + (aγ + bβ + cα)x2 + (bγ + cβ)x + cγ come si vede si `e fatto uso anche delle altre propriet`a in particolare della (9) e delle (3), (2), (1) e delle loro conseguenze (per es. si pu`o dimostrare che se si devono sommare n termini non importa in quale ordine li si somma; oppure che se si deve eseguire il prodotto di n termini non importa l’ordine con cui si effettuano le moltiplicazioni). 9


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Prodotti notevoli tra polinomi

` utile ricordare le seguenti formule: E a2 − b2 = (a + b)(a − b)

(10)

Dimostrazione: (a+b)(a−b) = a(a−b)+b(a−b) = a2 −ab+ba−b2 = a2 −ab+ab−b2 = a2 −b2 poich`e si ha che: −ab + ab = (−1 + 1)ab = 0ab = 0.

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab



(11)

Dimostrazione: (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a2 +ab+ba+b2 = a2 +b2 +2ab La tesi risulta cos`ı dimostrata.



La (10) `e un caso particolare (per n = 2) della seguente formula generale: an − bn = (a − b) · (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + an−4 b3 + . . . + bn−1 )

(12)

Dimostrazione: (a − b) · (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + an−4 b3 + . . . + abn−2 + bn−1 ) = = an−1 (a − b) + an−2 b(a − b) + an−3 b2 (a − b) + . . . + +abn−2 (a − b) + bn−1 (a − b) = = an − an−1 b + an−1 b − an−2 b2 + an−2 b2 − an−3 b3 + . . . + +a2 bn−2 − abn−1 + bn−1 a − bn Come si pu` o intuire (e come `e possibile dimostrare in modo rigoroso) della precedente somma rimangono solamente i termini an − bn (ossia si ottiene la tesi) in quanto tutti gli altri si “semplificano” tra di loro. Infatti −an−1 b + an−1 b = 0 e −an−2 b2 + an−2 b2 = 0 e cos`ı via fino a −abn−1 + bn−1 a = 0.  Anche la (11) `e un caso particolare di una formula pi` u generale che tuttavia non tratteremo in questa sede4 .

8

Grado di un polinomio

Un monomio `e un prodotto di fattori numerici o letterali (indicati cio`e con una lettera). Qualora una stessa lettera compaia pi` u volte in un monomio, 4 confronta

un testo di algebra riguardo alla potenza di un binomio

10


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potremo riscrivere il monomio stesso scrivendo la lettera una sola volta e con un opportuno esponente, tenendo conto della definizione (8). Cos`ı: 3mma = 3 |{z} mm ·a = 3m2 a 2 volte

Inoltre se tra i fattori compare uno zero, tutto il monomio si riduce a zero, per la propriet` a che 0a = a, per ogni a reale. Per esempio: 0x2 = 0 Una volta eseguite le operazioni appena descritte si definisce grado di un monomio rispetto ad una sua lettera l’esponente con il quale questa lettera compare nel monomio. Cos`ı nel primo esempio il grado del monomio rispetto ad m `e 2, mentre il grado rispetto ad a `e 1. Nel secondo esempio invece, non compare nessuna lettera. Il grado assoluto (o semplicemente grado) di un monomio `e invece la somma degli esponenti delle lettere che formano la parte letterale del monomio. Cos`ı nel primo esempio visto il grado (assoluto) del monomio `e 2 + 1 = 3. Inoltre si pone che il grado di un polinomio relativo ad una sua lettera `e il massimo grado dei monomi che formano il polinomio dato, relativamente a quella lettera una volta eseguiti tutti i raccoglimenti a fattor comune tra monomi con la stessa parte letterale5 . . . Per esempio il polinomio ax3 + 5x2 + 2 `e di grado 3 in x, mentre il polinomio 3 x + 5x2 − x3 `e di grado 2 poich`e, raccogliendo a fattor comune x3 + 5x2 − x3 = 5x2 . Anche ax3 − 5x2 − 21 ax3 − 12 ax3 risulta di grado 2 rispetto ad x. E il grado (assoluto) di un polinomio `e quello del suo monomio di grado (assoluto) massimo. (anche qui si presuppone che due monomi del polinomio non abbiamo la stessa parte letterlale, si presuppone cio`e che se due o pi` u monomi hanno la stessa parte letterale si esegua un raccoglimento a fattor comune. . . ). Per esempio: 5x2 + 26x9 + aa20 x + 5 `e un polinomio di grado 9 relativamente alla lettera x, mentre ha grado assoluto pari a 22. Infatti si osserva che il monomio aa20 x ha grado assoluto pari a 21 + 1 = 22 (si ricordi che aa20 = a21 ) e che tale monomio `e il monomio con il grado pi` u elevato. Il seguente polinomio 0x9 + x2 + 4 `e di grado 2 poich`e 0x9 + x2 + 4 = 0 + x2 + 4 = x2 + 4. 5 si presuppone che il lettore sappia cosa vuol dire raccogliere a fattor comune: ab + ac = a(b + c)

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Se in un monomio non compaiono lettere, ma solo numeri diversi da zero, si ritiene che il suo grado `e nullo. Cos`ı il monomio 9 ha grado zero. Infatti si pu` o porre che 9 = 9 · 1 = 9x0 , ove x compare con esponente pari a zero. Il monomio a ha grado nullo rispetto ad x purch`e risulti a 6= 0. Anche un polinomio pi` o avere grado (assoluto o relativo ad una variabile) nullo: basta infatti che il massimo grado (assoluto o relativo ad una variabile) dei monomi che compongono il polinomio, dopo un eventuale raccoglimento a fattor comune di monomi con la stessa parte letterale, sia pari a zero. Si ricordi che un polinomio `e una somma di monomi.

9

Il teorema di Ruffini ed il teorema fondamentale dell’algebra

Consideriamo un polinomio nella seguente forma: an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0

(13)

ove i coefficienti aj , j = 0, . . . , n indicano numeri reali (si pone inoltre an 6= 0)6 . Si osservi che il polinomio `e di grado n rispetto ad x. n indica un numero naturale: si osservi, pertanto che n non pu`o essere zero in quanto lo zero `e un numero intero e non un numero appartenente a N. Consideriamo la funzione: p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0

(14)

Tale funzione associer` a ad un numero reale un altro numero reale che si ottiene sostituendo al posto della variabile x il numero reale considerato, come visto negli esempi fatti in precedenza. Si dice che il numero reale z `e uno zero del polinomio (13) se p(z) = 0, ossia se il polinomio si annulla se si pone il numero reale z al posto della lettera x. Esempi: I numeri z1 = −5 e z2 = 3 sono zeri del polinomio x2 + 2x − 15. Infatti: p(−5) = (−5)2 + 2(−5) − 15 = 0 e p(3) = 32 + 2 · 3 − 15 = 0 6 Nel

seguito supporremo implicita questa condizione.

12


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

Il numero m `e uno zero del polinomio x2 − mx, considerando quest’ultimo come un polinomio nella lettera x e considerando m come un numero reale qualsiasi. . . Infatti: p(m) = m2 − m · m = m2 − m2 = 0 per ogni m reale (in simboli ∀m ∈ R). Teorema 9.1 Sia dato un polinomio nella lettera x, come in (13) e si consideri p(x) come in (14). Se z `e uno zero del polinomio, ossia se p(z) = 0, allora il polinomio considerato sar` a esprimibile come prodotto del binomio (x − z) per un altro polinomio di grado n − 1e viceversa. Il precedente teorema `e conosciuto con il nome di Teorema di Ruffini. In simboli si pu` o scrivere che: Se p(x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x1 +a0 (ove le a sono coefficienti reali), allora: p(z) = 0

∀x ∈ R

se e solo se

p(x) = (x − z)q(x)

con z ∈ R e q(x) = bn−1 xn−1 +. . .+b1 x1 +b0 , ove i coefficienti b sono opportuni numeri reali. Notiamo che non cambia nulla se al posto della lettera x consideriamo un altro simbolo (per es. t). Prima di dare una dimostrazione di questo teorema, illustriamolo con un esempio. Consideriamo ancora il polinomio x2 + 2x − 15. Sappiamo che esso si annulla per x = −5 e dunque deve essere esprimibile, per il teorema di Ruffini, come prodotto di (x − (−5)) per un polinomio di grado 2 − 1 = 1. Infatti: (x − (−5))(x − 3) = (x + 5)(x − 3) = x2 − 3x + 5x − 15 = x2 + 2x − 15 Dimostriamo ora il teorema di Ruffini: Sappiamo per ipotesi che p(z) = 0. Pertanto p(x) − p(z) = p(x) per ogni x, poich´e un numero reale sommato a zero d`a il numero reale stesso. Notare che x `e una variabile, mentre z indica un numero reale ed `e una costante. Dunque, ricordando la (14): p(x) = p(x) − p(z) = n

n−1

= an x + an−1 x

1

n

+ . . . + a1 x + a0 − (an z + . . . + a1 z 1 + a0 ) =

= an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0 − an z n − . . . − a1 z 1 − a0 = = an (xn − z n ) + an−1 (xn−1 − z n−1 ) + . . . + a1 (x − z) + 0 13

(15)


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

dove abbiamo usato le propriet`a delle operazioni di somma e di prodotto tra numeri reali (o complessi). Osserviamo che nella somma precedente ciascuno dei termini della somma `e il prodotto di una costante per la differenza di due potenze di pari esponente. A questo punto ci ricordiamo della formula (12) di pag. 10 ed osserviamo che essa `e applicabile a ciascun termine della somma precedente. Pertanto ciasun termine xj − z j sar`a scrivibile come: (xj − z j ) = (x − z)(xj−1 + zxj−2 + . . . + xz j−2 + z j−2 )

(16)

con j = 1, . . . , n. Pertanto, in base alla propriet`a (5), possiamo raccogliere (x − z) a fattor comune. Ed otterremo dunque che p(x) = (x − z)q(x), per ogni x reale. q(x) indica (individua) il polinomio che si ottiene dall’ultimo termine della (15), riscritto tenendo conto della (16), dopo aver raccolto a fattor comune il termine (x − z). Non ci interessa per ora il calcolo esplicito di q(x). Osserviamo per` o, in base alla (15) ed alla (16), che il grado di q(x) `e pari a n − 1, come si osserva con semplici considerazioni. . . Da tutto ci` o segue la tesi. Abbiamo cos`ı mostrato come dalla ipotesi segue la tesi del teorema. Facciamo vedere che vale anche il viceversa. Con la solita simbologia, se p(x) = (x − z)q(x) (per ogni x) si vede immediatamente che: p(z) = (z − z)q(z) = 0q(z) = 0 Abbiamo cos`ı completato la dimostrazione.



Il teorema di Ruffini vale anche se al posto di numeri reali consideriamo numeri complessi. A questo punto, dobbiamo far entrare in gioco il seguente teorema (di Gauss): Teorema 9.2 Ogni polinomio della forma (13) in x, ove n `e un numero naturale (qualsiasi) e i coefficienti a sono reali o complessi (qualsiasi) ha almeno uno zero z (si ricordi la definizione di zero di un polinomio. . . ). Tale zero, per` o, pu` o anche non essere un numero reale: tuttavia esso sar` a in generale un numero complesso. Di tale teorema ometteremo la dimostrazione. Chi fosse interessato ad una dimostrazione intuitiva pu`o consultare il testo Che cos’`e la matematica di Courant e Robbins. Tuttavia, sfruttando il teorema di Ruffini e quello di Gauss, si pu`o dimostrare il teorema fondamentale dell’algebra: 14


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

Teorema 9.3 Ogni polinomio di grado n (con n ∈ N) pu` o essere scomposto nel prodotto esattamente di n fattori. an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0 = (x − z1 )(x − z2 ) . . . (x − zn )

(17)

ove zi , i = 1, 2, . . . , n sono zeri del polinomio a primo membro, eventualmente non tutti distinti tra loro o addirittura, in alcuni casi, anche tutti uguali. Dimostrazione: Indichiamo, al solito, e con le solite precisazioni, con p(x) il polinomio a primo membro. . . Sappiamo allora dal teorema di Gauss che p(x) = 0 per un certo numero z1 , ossia: p(z1 ) = 0 Il numero z1 (costante) sar`a in generale un numero complesso (z1 ∈ C). Ma allora, per il teorema di Ruffini si avr`a che p(x) = (x − z1 )q(x) (per ogni x), con q(x) di grado pari al grado di p(x) meno uno. Ma a questo punto il “gioco riparte” per q(x): anche per q(x) varr`a il teorema di Gauss e quello di Ruffini e dunqe q(x) = (x − z2 )r(x) (per ogni x). . . Ma allora: p(x) = (x − z1 )(x − z2 )r(x)

per ogni x

Ma anche per r(x) vale il teorema di Gauss e quello di Ruffini7 . . . Usando il principio di induzione matematica si pu`o allora dimostrare il teorema. Si osservi che z1 , z2 , . . . , zn saranno in generale numeri complessi, in conseguenza di quanto afferma il teorema di Gauss. C.V.D. Se uno stesso zero compare pi` u volte nel secondo membro della (17), indicando con µ il numero di volte con cui tale zero compare, si dice che tale zero `e uno zero di molteplicit` a µ. Cos`ı se uno stesso zero compare tre volte esso ha molteplicit`a pari a tre.

10

Prodotto tra polinomi.

Teorema 10.1 Siano a(x) e b(x) due polinomi nella stessa lettera x, di grado m ed n rispettivamente: allora il prodotto dei due polinomi a(x)b(x) sar` a un polinomio di grado pari a m + n. Dimostrazione: per ipotesi si ha che a(x) = cm xm + . . . + c1 x + c0 7 Si

osservi inoltre che il grado di r(x) sar` a pari al grado di p(x) meno due. . .

15


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

e b(x) = dn xn + . . . + d1 x + d0 ove i coefficienti c e d sono numeri reali8 . Inoltre sar`a cm 6= 0 e dn 6= 0, sempre in conseguenza delle ipotesi fatte (altrimenti a(x) e b(x) non avrebbero grado m ed n, rispettivamente). . . Si ha che: a(x)b(x) = (cm xm + . . . + c1 x + c0 )(dn xn + . . . + d1 x + d0 ) = = cm xm (dn xn + . . . + d1 x + d0 ) + . . . + c1 x(dn xn + . . . + d1 x + d0 )+ +c0 (dn xn + . . . + d1 x + d0 ) = = (cm dn xm+n + . . . + cm d1 xm+1 + cm d0 xm ) + . . . + (c1 dn xn+1 + . . . + +c1 d1 x2 + c1 d0 x) + (c0 dn xn + . . . + c0 d1 x + c0 d0 ) Il primo termine della precedente somma, cm dn xm+n , `e chiaramente un monomio di grado m + n, poich`e cm 6= 0 e dn 6= 0. Tutti gli altri monomi sono di grado inferiore ad m + n, come non `e difficile dimostrare rigorosamente per induzione. Pertanto la precedente somma `e un polinomio di grado m + n (rispetto ad x chiaramente): infatti anche raccoglinedo a fattor comune, il termine cm dn xm+n rimane inalterato e non possono comparire termini con potenze di x superiori ad m + n, da cui la tesi. C.V.D. La dimostrazione appena svolta mostra anche che il termine di grado massimo del prodotto di a(x) per b(x) `e dato da cm dn xm+n , ove, ricordiamo, cm indica il coefficiente del termine di grado massimo del primo polinomio a(x) e dm quello del secondo polinomio b(x), ossia: Teorema 10.2 Il termine di grado massimo del prodotto di due polinomi in una stessa variabile x `e dato dal prodotto del coefficiente del termine di grado massimo (rispetto ad x) del primo polinomio per il coefficiente del termine di grado massimo del secondo polinomio per la variabile x elevata alla somma dei gradi (rispetto a x) dei due polinomi. Osserviamo inoltre che vale il seguente: Teorema 10.3 Se a(x) e b(x) sono polinomi nella stessa lettera x, di grado m ed n rispettivamente e con m > n, allora la somma a(x) + b(x) sar` a un polinomio di grado m. Se invece m = n non si pu` o dire nulla in generale sul grado di a(x) + b(x). Dimostrazione: a(x) + b(x) = cm xm + . . . + c1 x + c0 + dn xn + . . . + d1 x + d0 = = cm xm + . . . + (cn + dn )xn + . . . + (c1 + d1 )x1 + (c0 + d0 ) 8 Li

abbiamo chiamati cos`Äą per non confonderli con le lettere a e b che sono gi` a “impegnateâ€?

16


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

nella somma precedente compare un solo monomio di grado m, in quanto per ipotesi n < m. Inoltre m `e il massimo esponente con cui compare la x e cm 6= 0. Da ci` o discende facilmente la tesi. Si osservi invece che se m = n il precedente risultato non `e pi` u vero in genreale: infatti se consideriamo i polinomi x3 + x2 + 5 e −x3 − x2 + x + 5 la loro somma vale x3 + x2 + 5 − x3 − x2 + x + 5 = 5 + x + 5 = x + 10 ed `e quindi di primo grado. Infatti, raccogliendo a fattor comune, i termini di grado superiore al primo sono scomparsi9 . 

11

Divisione tra polinomi

Siano dati due polinomi nella stessa lettera, che indicheremo, con la usuale notazione, con le scritture p(x) e d(x). Inoltre, il grado del polinomio d(x) (rispetto ad x) sia minore o uguale del grado del polinomio p(x). In tali ipotesi diremo che: p(x) = q(x) d(x)

se e solo se

d(x)q(x) = p(x)

(18)

Spesso si considera la divisione con resto e diremo che p(x) diviso per d(x) d` a q(x) con resto r(x) se e solo se p(x) = d(x)q(x) + r(x) e se il grado di r(x) `e minore del grado del polinomio d(x) (rispetto ad x). Si dice anche che: • p(x) `e il polinomio dividendo (di cui bisogna fare la divisione) • d(x) `e il divisore (il polinomio che divide) • q(x) `e il quoziente • r(x) `e il resto Un polinomio `e divisibile per un altro se il resto della divisione `e nullo e dunque se vale la (18). Illustreremo ora un procedimento (algoritmo) per calcolare la divisione tra due polinomi (il divisore abbia grado minore o uguale del grado del dividendo), mediante alcuni esempi. Si voglia dividere il polinomio 4x3 + 3x − 1 + 3x5 per x2 + x + 1. Dunque, in questo esempio sar`a: p(x) = 4x3 +3x−1+3x5 e d(x) = x2 +x+1. 9 Infatti

x3 − x3 = x3 (1 − 1) = 0

17


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

I due polinomi devono essere ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera x (o della lettera in comune ai due polinomi che si considera. . . ). Pertanto scriveremo per il primo polinomio 3x5 + 0x4 + 4x3 + 0x2 + 3x − 1, ordinadno i termini secondo il grado (rispetto ad x) decrescente dei singoli monomi formanti il polinomio, e scrivendo esplicitamente i termini che “mancano” moltiplicati per 0. Ovviamente 3x5 + 0x4 + 4x3 + 0x2 + 3x − 1 = 4x3 + 3x − 1 + 3x5 , per ogni x, poich`e 0 · a = 0. Costruiamo una tabella ove scriviamo a sinistra il dividendo (opportunamente “aggiustato”) ed a destra il divisore: 3x5

+0x4

+4x3

+0x2

+3x −1

x2

+x +1

Osserviamo innanzitutto che il quoziente dovr`a avere grado pari alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore. Nel nostro esempio, pertanto, il grado del quoziente dovr` a essere pari a 5 − 2 = 3. Il polinomio quoziente sar`a dunque q(x) = αx3 + βx2 + γx + δ (19) ove α, β, γ e δ sono coefficienti reali ancora incogniti (ma fissi e determinati) che potrebbero eventualmente essere anche nulli (eccetto α che `e sicuramente diverso da zero). Per giustificare tali affermazioni ricordiamo innanzitutto che deve essere, in base a quanto detto: p(x) = d(x)q(x) + r(x) (20) con il significato dei simboli precisato e con il grado di r(x) minore del grado di d(x). Indichiamo con grad[p(x)] il grado del polinomio p(x). Avremo che: grad[d(x)q(x)] = grad[d(x)] + grad[q(x)] per il Teorema 10.1. Ma poich`e grad[r(x)] < grad[d(x)] si avr`a anche che grad[r(x)] < grad[d(x)] + grad[q(x)] = grad[d(x)q(x)] e dunque per il Teorema 10.3 il grado di d(x)q(x)+ r(x) `e pari al grado di d(x)q(x). Se q(x) avesse per assurdo grado diverso da 3, allora d(x)q(x) avrebbe grado diverso da 3 + 2 = 5 e dunque, per quanto appena detto, il grado di d(x)q(x) + r(x) sarebbe diverso da 5, ma questo `e assurdo10 poich`e d(x)q(x) + r(x) = p(x) e pertanto il grado di d(x)q(x) + r(x) deve essere il grado di p(x), cio`e 5. Pertanto q(x) non pu` o che avere grado pari a 3. 10 due polinomi uguali per ogni x devono avere lo stesso grado, come non ` e difficile dimostrare.

18


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

Abbiamo appurato cos`ı che il quoziente deve essere un polinomio di terzo grado con coefficienti da determinare. Si dovr`a avere dunque, come volevamo mostrare, che: q(x) = αx3 + βx2 + γx + δ Inoltre ricordiamo che il resto deve essere di grado inferiore al grado del divisore, cio`e al pi` u di primo grado. Per il Teorema 10.2 il termine di grado massimo di d(x)q(x) `e dato da 1 · αx3+2 . Sommando a d(x)q(x) l’eventuale resto r(x) non si altera il termine di grado massimo, poich`e il resto ha grado strettamente minore del grado di d(x) e dunque anche del grado di d(x)q(x). Pertanto il termine di grado massimo di d(x)q(x) + r(x) `e dato da 1 · αx3+2 . Ma tale termine deve essere uguale al termine di grado massimo di p(x), ossia a 3x5 . E dunque dovr` a essere che: 1 · αx3+2 = 3x5 da cui segue che11 deve essere 1α = 3, cio`e α = 3/1. Da tutto questo segue che il primo termine del quoziente ha grado pari alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore e coefficiente dato dal rapporto tra i coefficienti del dividendo e del divisore. Tenendo conto dei risultati ottenuti e del valore di α trovato, dovr`a risultare: p(x) = d(x)(3x3 + βx2 + γx + δ) + r(x) = d(x)3x3 + d(x)(βx2 + γx + δ) + r(x) La precedente uguaglianza, per ogni x, `e vera se e solo se `e vera la seguente uguaglianza (per il primo principio di equivalenza): p(x) − d(x)3x3 = d(x)(βx2 + γx + δ) + r(x) ovvero, in base alle definizioni date, se (βx2 + γx + δ) e r(x) sono il quoziente ed il resto della divisione di p(x) − d(x)3x3 per d(x). Per cui a questo punto si pu` o riapplicare lo stesso tipo di ragionamento svolto fino ad ora, per determinare β e poi γ e δ. Ricordiamo che il grado di r(x) sar`a minore del grado di d(x). Nella tabella che abbiamo cominciato a costruire scriviamo il primo termine del quoziente che abbiamo trovato, ossia 3x3 , che risulta essere il quoziente della divisione del termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore, in conseguenza di quanto illustrato. 3x5 11 per

+0x4

+4x3

+0x2

+3x −1 x2 + x + 1 3x3

i principi di equivalenza delle uguaglianze numeriche

19


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

poi consideriamo il prodotto del termine 3x3 per il divisore x2 + x + 1, ossia 3x + 3x4 + 3x, e lo scriviamo, cambiato di segno, sotto il dividendo, facendo “combaciare” i termini di pari grado (in altre parole scriviamo −d(x)3x3 ).: 5

3x5 −3x5

+0x4 −3x4

+4x3 −3x

+0x2

+3x −1 x2 + x + 1 3x3

eseguiamo la somma del dividendo con il polinomio appena scritto (cio`e −d(x)3x3 ) ed otteniamo pertanto il polinomio p(x) − d(x)3x3 3x5 −3x5

+0x4 −3x4 −3x4

+4x3 −3x3 +x3

+0x2 +0x2

+3x −1 x2 + x + 1 3x3 +3x −1

occorre ora procedere dividendo questo nuovo polinomio per il divisore. In virt` u di quanto detto dovrebbe essere comprensibile come il secondo termine del quoziente sar` a dato dal rapporto tra il termine di grado massimo del polinomio appena scritto ed il termine di grado massimo del divisore. In altre parole βx2 =

−3x4 x2

= − 31 x4−2 = −3x2 . Da cui segue che β = −3.

Aggiungiamo il termine −3x2 nella nostra tabella e continuiamo con l’algoritmo: 3x5 +0x4 +4x3 +0x2 +3x −1 x2 + x + 1 −3x5 −3x4 −3x3 3x3 − 3x2 4 3 2 −3x +x +0x +3x −1 Si moltiplichi il termine trovato (cio`e −3x2 ) per il divisore e si cambi di segno il risultato, trascrivendo quanto ottenuto a sinistra nella tabella: 3x5 −3x5

+0x4 −3x4 −3x4 +3x4

+4x3 −3x3 +x3 +3x3

+0x2 +0x2 +3x2

+3x −1 x2 + x + 1 3x3 − 3x2 +3x −1

Si esegua la somma, cos`ı come illustrato: 3x5 −3x5

+0x4 −3x4 −3x4 +3x4

+4x3 −3x3 +x3 +3x3 4x3

+0x2 +0x2 +3x2 +3x2

20

+3x −1 x2 + x + 1 3x3 − 3x2 +3x −1 +3x −1


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

Continuando si ottiene il risultato finale: 3x5 −3x5

+0x4 −3x4 −3x4 +3x4

+4x3 −3x3 +x3 +3x3 4x3 −4x3

+0x2 +0x2 +3x2 +3x2 −4x2 −x2 +x2

+3x −1 x2 + x + 1 3x3 − 3x2 + 4x − 1 +3x −1 +3x −1 −4x −x −1 +x +1 0

Nella riga a destra si legge il polinomio quoziente: q(x) = 3x3 − 3x2 + 4x − 1 Nell’ultima riga in basso a sinistra leggiamo invece il resto della divisione (0 in questo esempio). Infatti tale ultima riga `e stata ottenuta sommando algebricamente a p(x) prima −d(x)3x3 , poi al risultato di tale somma `e stato sommato −d(x)(−3x2 ) e poi ancora sono stati sommati i termini −d(x)4x e −d(x)(−1). Pertanto l’ultima riga `e pari a: p(x) − d(x)(3x3 ) − d(x)(−3x2 ) − d(x)4x − d(x)(−1) = = p(x) − d(x)(3x3 − 3x2 + 4x − 1) = p(x) − d(x)q(x) Osserviamo che, in virt` u di quanto detto, per la (20), sar`a che12 : r(x) = p(x) − d(x)q(x) e dunque l’ultima riga in basso a sinistra della tabella coincide con il resto della divisione. In questo esempio il resto `e nullo e dunque il dividendo `e divisibile esattamente per il divisore, tuttavia `e facile fare un esempio di una divisione tra polinomi con resto non nullo.

12

Le equazioni

Abbiamo accennato in precedenza al ruolo logico che le lettere possono assumere quando vengono usate quali simboli in una scrittura matematica. Consideriamo ora invece delle uguaglianze in cui compaiano delle lettere. Per esempio consideriamo la seguente espressione: 3x + 4 = 5

(21)

La precedente uguaglianza `e una affermazione che dipende da x e che pu`o essere vera o falsa (o anche insensata) a seconda di cosa indica la lettera x. 12 per

i principi di equivalenza tra le uguaglianze

21


Alessandro Bernardini

Introduzione all’algebra.

Per esempio se la lettera x indica la temperatura di ebollizione dell’acqua espressa in gradi Celsius, allora la affermazione che 3x + 4 = 5 `e falsa, poich`e non `e vero che 3 · 100 + 4 `e uguale a 5. Osserviamo che in questo caso risulta x = 100, in quanto l’acqua bolle a cento gradi (a livello del mare. . . ). Al contrario se la lettera x indica il numero 1/3 `e vero che 3x + 4 = 5. Infatti 3 · 1/3 + 4 = 1 + 4 = 5. Ci si potrebbe dunque domandare quali sono tutti e soli i numeri reali che scritti al posto della x nella (21) rendono vera la uguaglianza. Ed `e proprio questa domanda che ci introduce alle equazioni numeriche. Una espressione quale la (21) si chiama equazione. x prende il nome di incognita (o di variabile) ed un numero si dir`a soluzione dell’equazione (21) se e solo se sostituito al posto della incognita rende vera la uguaglianza (la (21). Cos`ı 1/3 `e una soluzione della equazione (21), mentre 100 non `e soluzione. In questo caso si dimostra che 1/3 `e l’unica soluzione della equazione considerata, ma esistono equazioni che hanno pi` u soluzioni distinte. Per es: x2 = 9 ammette le due soluzioni distinte +3 e −3, in quanto entrambi i numeri elevati al quadrato danno 9. Sulle equazioni si pu` o dire molto di pi` u, ma noi ci fermiamo per ora a questi pochissimi e semplici concetti introduttivi che dovrebbero essere utili successivamente alla comprensione della teoria generale delle equazioni algebriche.

22

alba  

matematica varia

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