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x es real y x > 0, podemos de finir la función logaritmo natural de la siguiente manera:

Propiedades del Logaritmo

Una característica muy notable en la gráfica, es que el ln x< 0 si 0< x< 1, ln x=0 si x=1, también lnx>0 si x > 1, para valores de x menores o iguales a cero, no está definida la función

La función exponencial. Se define como la inversa de la función logaritmo natural. Se puede expresar así: exp.(x)= y sí y solo sí x = ln y ó ex= y sí y solo sí x = ln y. De aquí se deduce que elnx=x ó ax= exln a


Ejemplo II-1:

Obtener la derivada de y′ =

1 4x + 5

4 =

y = ln (4x +5)

4 4x + 5

Ejemplo II-2 Derivar la expresión

y = ln

la función ln quedándonos

y′ =

1 3x

1

3x

2

+4

2x =

3x x 2 +4

para facilitar los cálculos , aplicamos las propiedades de

2

y = ln 3x − ln x + 4

3 2x 3x 2 + 12 − 6x 2 3(4 − x 2 ) 4 − x2 − = = = 3x x2 + 4 3x 3 + 12x 3x(x 2 + 4) x(x 2 + 4)

Integrales Trascendentes

Función Exponencial en Base "a" Si a > 0 entonces podemos escribir ax = exp. (x ln a) = ex ln a para toda x real. Tomando ln en ambos lados: ln ax = x ln a. Esta función cumple con las mismas propiedades de la función con base e. Si y = ax entonces dy = ex ln a d(x ln a) = ex ln a ln a dx = ax ln a dx es decir y’ = ax ln a dx


Si y = ax entonces

sea t = x ln a entonces dt = ln a dx

Integrales en Funciones Trigonométricas y sus Inversas Sen x, su inversa arcosen x entonces podemos definir: y = arcsen x sí y solo sí x = sen y, el dominio = [-1, 1] el contradominio = - p/2 £ y £ p/2 y = arccos x sí y solo sí x = cos y, dominio = [-1, 1] el contradominio = 0 £ y £ p y = arctan x sí y solo sí x= tan y, dominio = (-¥ , +¥ ) el contradominio = - p/2 < y < p/2 arcotan x = p /2 - arctan x siendo x real, domin. = (-¥ , +¥ ) el contradomin. = (0, p ) y = arcsec x sí y solo sí x = sec y, dom. = (-¥ , -1] È [1, +¥ ) el contradom. = [0, p/2) È [p , 3p/2) arcos x = p/2 - arccosec con ½ x ½ ³ 1, dom. (-¥ , -1] È [1, +¥ ) el contradom. = (p ,- p/2) È (0, p/2]. Donde ¥ es infinito. Integrales de Funciones Hiperbólicas Directas


Integrales que Incluyen Potencias de las Funciones Trigonométricas Por lo general las integrales de funciones trigonométricas con exponente 1 ó 2, se resuelven en forma directa o mediante la aplicación de las respectivas identidades. Cuando se tienen exponentes mayores a los citados, se han desarrollado técnicas que permiten convertir estas integrales, en otras más sencillas. A continuación se desarrollan esas técnicas, según sea el caso que se presente. También se estudia el caso en el cual el integrando contiene funciones trigonométricas con diferentes argumentos. a. Integración de Potencias del Seno y Coseno. b. Integración de Potencias de las Funciones: Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. c.

Integrales con diferentes argumentos.

d. Integrales de Potencias de las Funciones Trigonométricas

Integración de Potencias del Seno y Coseno:

1er caso:

sen m x cos n xdx

donde al menos “m” y/o “n” es impar: en este caso se

hace que el exponente impar sea par, para poder expresar la función resultante, mediante identidades trigonométricas, en una función que contenga la derivada de la función original. En este caso la identidad que se aplica es sen 2 x + cos2 x =1. 2do Caso:

sen m x. cos n x dx

, donde “m” y “n” son pares y positivos.

En este caso se utilizan las identidades trigonométricas:

Sen2 nx =

1 − cos 2nx 1 + cos 2nx y cos2 nx = donde “n” es un entero. 2 2

Las funciones trigonométricas se expresan en una potencia que sea múltiplo de 2. b) Integración de Potencias de las Funciones Tangentes, Cotangente, Secante y Cosecante.

Para resolver este tipo de integrales se requieren además de las respectivas fórmulas de integrales, algunas identidades trigonométricas de dichas funciones. Estas identidades son:


1 + tan2 x = sec2 x; 1 + cot2 x = csc2 x.

1er caso:

tan n x dx

o

cot n x dx

, donde “n” es un entero mayor que cero.

Para resolver este tipo de integral, se convierte tann x = tann-2 x tan2 x = tann-2 x (sec2 x – 1) cotn x = cotn-2 x cot2 x = cotn-2 x (csc2 x – 1). 2do caso:

sec n x dx

ó

csc n x dx

, con “n” positivo entero y par, podemos escribirla

como: secn x = secn-2 x sec2 x = (tan2 x + 1)(n-2)/2. sec2 x. cscn x = cscn-2 x csc2x = (cot2 x +1)(n-2)/2 csc2 x.


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