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FUTURE

MAGAZINE


Transformada Z: La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral, el papel de la transformada z en los sistemas discretos es similar al de la transformada de laplace en los sistemas continuos. La transformada Z de una función en tiempo continuo X(t), solo se toman los valores muestreados de X(t), esto es X(0), X(T), X(2T),……, donde T es el período de muestreo. La Transformada Zeta (TZ) se emplea en el estudio del Procesamiento de señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.

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Funciones Elementales La aplicación de la transformada Z se demuestra calculando la Transformada Z de Funciones Elementales tales como escalón unitario, rampa unitaria, exponencial. Teoremas y propiedades de la transformada Z El uso de la Transformada Z puede facilitar las propiedades y teoremas de ésta, las cuales se basan y se obtienen de la definición. Se supone que la función del tiempo x(t) tiene transformada z y que x(t) es cero (0) para t<0.

Es importante resaltar la aplicación de cada propiedad con Ejemplos en particular el Teorema de Corrimiento el cual representa básicamente el desplazamiento de una señal y su respectiva transformada Z.

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Teorema de traslaci贸n real. Siendo n un entero no negativo (positivo o cero), entonces y

Teorema de traslaci贸n compleja. Si x ( t ) tiene la transformada z, X( z ) , entonces la transformada z de viene dada por

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Teorema del valor inicial.

Si x ( t ) tiene por transformada z, X( z ) , y si el existe, entonces el valor inicial x ( 0) de x ( t ) ó x ( k ) está dado por

El teorema del valor inicial es conveniente para verificar la incidencia de posibles errores en el cálculo de la transformada z. Debido a que x ( 0) se suele conocer, comprobar su valor mediante el límite ayuda a descubrir errores en la transformada z, si éstos se producen.

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Teorema del valor final. Suponemos que x (kT) , siendo T el periodo de muestreo, tiene la transformada z, X ( z ) , con x (kT) = 0 para valores negativos de k, y que todos los polos de X(z ) están dentro del círculo unitario, con la posible excepción de un sólo polo en z = 1. Esta es la condición para la estabilidad de X ( z ) , es decir, la condición para que x(kT) (k = 0, 1, 2...) permanezca finita. Entonces el valor final de x (kT) , que es su valor conforme el tiempo tiende a infinito, puede obtenerse mediante

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El teorema del valor final es muy útil para determinar el comportamiento de x(k ) a medida que k tiende a infinito, a partir de su transformada z, X ( z )


Transformada Z unilateral Consideraremos la definición de la Transformada Z Unilateral, la cual al muestrear una señal discontinua x(t), se supone que la señal es continua por la derecha. De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

La transformada z representa el proceso de muestreo de una señal. Así como se puede determinar la transformada Z de una función continua también podemos determinar la transformada de Z de una Función definida en Laplace, ya que esta representa una función de tiempo continuo.

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad

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Transformada Z bilateral La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma z = Aejω Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

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Transformada Z inversa La notación de la transformada Z inversa es Z-1. la transformada z de inversa de X(z) da como resultado la correspondiente secuencia x(k) o x(t).A partir de la transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t). La secuencia de tiempo x(kT) o x(k) es cero para k<0. La Transformada Z inversa se define donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C, debe contener todos los polos x(z). Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

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Métodos para Obtener la Transformada Z Inversa. Método de la División Directa Se obtiene mediante la expansión de x (z) en un serie infinita de potencia Z-1, este método es útil cuando es difícil obtener la expresión en forma cerrada para la transformada Z inversa o cuando desea encontrar sólo algunos de los 1ros términos de x(K). Este método se utiliza cuando es difícil encontrar una expresión en forma cerrada de la transformada z inversa o si se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k)

Método Computacional Se presentan 2 enfoques para determinar la transformada z: · Enfoque de MATLAB · Ecuación en Diferencias.

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Matlab. Se puede utilizar Matlab para determinar la tranformada z inversa. A partir de una ecuación específica. Este software tiene una cantidad de funciones y órdenes muy útiles para resolver problemas de Ingeniería de Control tanto para sistemas continuos como para sistemas discretos. Una vez que se ha estudiado los aspectos teóricos se puede utilizar MATLAB ya que tiene como ventaja que produce soluciones numericas que implican varios tipos de operaciones incluyendo vectores y matrices. Ecuación en Diferencias. Para determinar la transformada z inversa utilizando este enfoque se deben seguir los siguientes pasos: • Dada la función (Por ejemplo G(z)) donde su entrada es la función Delta Kronecker, se linealiza la función, relacionando la entrada con la salida. • A la función linealizada le aplicamos el Teorema de Corrimiento y obtenemos una ecuación en diferencias. • En la ecuación en diferencias sustituimos para los valores de k que nos permitan encontrar los datos iniciales y(0) y y(1)

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Método de Fracciones Parciales Este mètodo se aplica igual que el de Transformada de Laplace, es muy empleado en problemas rutinarios de transformadas z. El Método requiere que todos los términos de las expansiones parciales se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de Transformada Z. Para encontrar la transformada z inversa, si X(z) tiene uno o más ceros en el origen (z=0), entonces X(z)/z o x(z) se expande en la suma de términos sencillos de primer o segundo orden mediante expansión en fracciones parciales y se emplean una tabla de transformada z para encontrar x(t) en cada uno de los términos expandidos. Antes de estudiar el Método es indispensable realizar un repaso del Teorema de Corrimiento de la Transformada z, ya que esta es una herramienta indispensable al aplicar Fracciones Parciales.

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Método de la Integral de Inversión Esta es una técnica util para la obtención de la transformada z inversa. Está basada en la definición de la Integral de Inversión la cual da como resultado Residuos de la función X(z)zk-1, asi se puede definir que : Z[x(t)] = x(k) = K1 + K2 + K3 + ........... Km Donde K1, K2, K3 ........... Km son los residuos de los polos de la función X(z)zk-1 Debe observarse que el método de la integral de inversión se evalua por residuos, siempre y cuando la función X(z)zk-1 no tenga polos en el origen (z=0).

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Región de convergencia (ROC) Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC , esta define la región donde la transformada-z existe.

Propiedades de la Región de Convergencia: La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n]. 1.La ROC no tiene que contener algún polo.Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.

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2.Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞. 3.Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z]. 4.Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z]. 5.Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo. Ejemplo 1 (Sin ROC) Sea

Expandiendo

en

obtenemos

Siendo la suma

No hay ningún valor de Z

que satisfaga esta condición

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Ejemplo 2 (ROC causal) Sea (donde u es la función escalón). Expandiendo en obtenemos

Siendo la suma

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si lo cual puede ser reescrito para definir Z de modo Por lo tanto, la ROC es bn En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro. ROC muestra en azul, el circulo es un punto gris y el círculo muestra del círculo.

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Ejemplo 3 (ROC anticausal) Sea (donde u es la función escalón). Expandiendo entre obtenemos:

Siendo la suma

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si de modo que podemos definir Z como Aquí, la ROC es es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

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ROC muestra en azul, el círculo unitario como un punto gris circular y el circulo exterior muestra del círculo. Conclusión de los ejemplos Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada de es única si y sólo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

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En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye . La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un ambiguo) podemos determinar una única señal en función de que queramos o no las siguientes propiedades: .Estabilidad .Causalidad Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen. De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo que sea única.

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Propiedades

Linealidad: La TZ de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la combinación lineal de sus transformadas en Z.

Desplazamiento temporal: Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicación por z−k en el dominio de Z.

Convolución: La TZ de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.

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Relación con Laplace La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

donde X(t) es la señal continua muestreada, X [n]= X(nT) la n-ésima muestra, T el período de muestreo, y con la sustitución : Z= e^sT Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

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Relación con Fourier

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ X(z) en z=℮^jw o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

¿SABIAS QUE? Jean-Baptiste-Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en1992.

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Aplicaciones en la vida Real de la transformada Z Es utilizada en el procesamiento de imรกgenes digitales. como por ejemplo los televisores de alta definiciรณn y las cรกmaras digitales

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Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por α0, si no es cero, normalizando α0=1 la ecuación LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual Y(n) se define en función de las salidas anteriores Y(n - p) , la entrada actual X(n) , y las entradas anteriores X(n – p) .

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Funci贸n de transferencia Se calcula haciendo la TZ de la ecuaci贸n

y dividiendo

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Ceros y polos Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

Donde qk es el k-ésimo cero y pk es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo. En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador. Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

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Grafica Simple de Polos y Ceros

H(z)=z(z−1/2)(z+3/4) Los ceros son: {0} Los polos son: {1/2,−3/4} Graficas de Polos y Ceros

Figura: Usando los ceros y polos de la funcion de transferencia, un cero es graficado a el valor cero y los dos polos se colocan en 1/2 y −3/4

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Salida del sistema

Si por un sistema H(z) pasa una señal X(z) entonces la salida será Y(z) =H(Z) X(z) . Haciendo una descomposición en fracciones simples de Y(z) y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida Y(n) Región de convergencia de la transformada z. Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC. En el ejemplo 1, X(z) toma valores finitos para todo z excepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se define como C-{0}

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Editorial; Chivayork Escritores C.A Director técnico: Alfredo Santiago Diseñador grafico: Teomar Arrieche Director Ejecutivo: Rainier Brown Fotografías: Daniela Colmenarez Supervisor de Redacción: Luis Leal Primera Edición, FUTURE Z MAGAZINE Escuela de Ingeniería Eléctrica Cabudare, Agosto 2011


FUTURE Z