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Matemáticas

Solución Boletin 1 (modelo)

1. La suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética es 13160 y la diferencia de los extremos es 912. Hallar los 5 primeros términos. Solución a 20 − a1 = 912 → a 20 = a1 + 912 S20 = 13160 →

( a1 + a 20 ) ⋅ 20 = 13160 → ( a1 + a1 + 912 ) ⋅ 20 = 13160 →

2 2 13160 ⋅ 2 → 2a1 + 912 = → 2a1 + 912 = 1316 → 2a1 = 404 → a1 = 202 20

a 20 = a1 + 912 → a 20 = 1114 a n = a1 + (n − 1)d → a 20 = a1 + 19d → 1114 = 202 + 19d → 912 = 19d → d = 48 a1 = 202 a 2 = 202 + 48 = 250 a 3 = 202 + 48 = 298 a 4 = 202 + 48 = 346 a 5 = 202 + 48 = 394

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Solución Boletin 1 (modelo)

2. El consumo mundial de hierro en 1971 fue aproximadamente de 226 millones de toneladas. Si el consumo aumenta un 5,4% anual y las reservas son de 792 × 109 toneladas, ¿cuánto tiempo durarán?

Solución: Los consumos de hierro forman una progresión geométrica con: a1 = 226 ⋅ 106 , r = 1´054 .

Las reservas serían la suma de los términos de la progresión, por lo tanto

1 − rn 1 − 1´054n 792 ⋅ 109 ⋅ (−0´054) → 792 ⋅ 109 = 226 ⋅ 106 → = 1 − 1´054 n → 6 1− r 1 − 1´054 226 ⋅ 10 n n → −189´238938 = 1 − 1´054 → 1´054 = 190´238938 → ln (1´054 n ) = ln (190´238938 ) →

Sn = a 1 ⋅

→ n ⋅ ln (1´054 ) = ln (190´238938 ) → n =

ln (190´238938 ) ln (1´054 )

→ n = 99´791525 años

99´791525 años = 99 años + 0´791525 años 0´791525 ⋅ 12 = 9´4983 meses = 9 meses + 0´4983 meses 0´4983 ⋅ 30 = 14´94 días → 15 días

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Solución Boletin 1 (modelo)

3. Calcular el dominio de la función f (x) =

− x 2 − 10x + 4599 x

Solución Dom(f ) = {x ∈ ℝ / − x 2 − 10x + 4599 ≥ 0, x ≠ 0} = [ −73,63] − {0} = [ −73,0 ) ∪ ( 0,63] − x 2 − 10x + 4599 ≥ 0 → x 2 + 10x − 4599 ≤ 0 x 2 + 10x − 4599 = 0 → x =

−10 ± 100 + 18396 −10 ± 136  63 = = 2 2 −73

x = −100 → (−100) 2 + 10 ⋅ (−100) − 4599 = 4401 ≤/ 0 x = −0 → (0)2 + 10 ⋅ (0) − 4599 = −4599 ≤ 0 x = 100 → (100)2 + 10 ⋅ (100) − 6272 = 6401 ≤/ 0

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SI

NO -73

NO 63

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4. Calcular las asíntotas de la función f (x) =

Solución Boletin 1 (modelo)

8x 2 − x − 6 x −9

Solución AH 8x 2 x 6 6 − − 8x − 1 − 8x − x − 6 x x = lim x = ∞ − 1 − 0 = ∞ → ∃AH dcha lim = lim x x →∞ x →∞ x →∞ x 9 9 x −9 1− 0 − 1− x x x 2 8x x 6 6 + − 8x + 1 − 8x 2 − x − 6 8x 2 + x − 6 x x = lim x = lim = lim = lim x x →−∞ x →∞ x →∞ x →∞ x 9 9 x −9 −x − 9 − − −1 − x x x ∞ +1− 0 = = −∞ → ∃AH izda −1 − 0 2

AV Dom(f ) = ( −∞,9 ) ∪ ( 9, ∞ ) 8x 2 − x − 6 189  =  x →9 x −9  0 

lim

 8x 2 − x − 6 =∞  x →9  x −9  → x = 9 es AV 2 8x − x − 6 lim− = −∞   x →9 x −9 lim+

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AO  8x 2 − x − 6  8x 2 x 6 1 6   − − 8 − − 2 2 2 2 2 x −9  8x − x − 6  x x x x x = 8−0−0 =8 m = lim = lim = lim = lim 2 2 →∞ →∞ →∞ x →∞ x x x 9 x 9x x x − 9x 1− 0 1− − 2 2 x x x 71x 6 −  8x 2 − x − 6  8x 2 − x − 6 − 8x 2 + 72x 71x − 6 x = − 8x  = lim = lim = lim x n = lim  →∞ →∞ →∞ x →∞ x x x x 9 x −9 x −9  x −9  − x x 6 71 − x = 71 − 0 = 71 = lim x →∞ 5 1− 0 1− x y = 8x + 71 es AO dcha Si hacemos los 2 límites cuando x → −∞ el resultado sería el mismo, por lo tanto también es AO izda.

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5. Dados los polinomios P(x) = x 2 + 5x − 6 y Q(x) = x 2 − 6x − 7 , calcular:

s = lim ( P(x) + Q(x) ) x →∞

P(x) c = lim x →∞ Q(x)

d = lim ( P(x) − Q(x) )

m = lim P(x) ⋅ Q(x)

x →∞

r = lim

x →∞

(

P(x) − Q(x)

x →∞

)

 P(x)  p = lim   x →∞ Q(x)  

P(x )

Solución

Calculamos 1º los límites de P y Q lim P(x) = lim ( x 2 + 5x − 6 ) = ∞ + ∞ − 6 = ∞

x →∞

x →∞

2 x 2 − 6x − 7 6x 7  2 x lim Q(x) = lim ( x − 6x − 7 ) = lim x ⋅ = lim x ⋅  2 − 2 − 2  = 2 x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x x  x  6 7  = lim x 2 ⋅  1 − − 2  = ∞ ⋅ (1 − 0 − 0 ) = ∞ x →∞  x x  2

2

Calculamos el resto de límites s = lim P(x) + Q(x) = ∞ + ∞ = ∞ x →∞

(

)

d = lim P(x) − Q(x) = [ ∞ − ∞ ] = lim ( x 2 + 5x − 6 ) − ( x 2 − 6x − 7 ) = lim (11x + 1) = ∞ x →∞

x →∞

x →∞

m = lim P(x) ⋅ Q(x) = ∞ ⋅ ∞ = ∞ x →∞

x 2 5x 6 + 2− 2 1+ 2 P(x)  ∞  x + 5x − 6 x = lim c = lim =   = lim 2 = lim x 2 x x →∞ Q(x)  ∞  x →∞ x − 6x − 7 x →∞ x − 6x − 7 x →∞ 1 − x2 x2 x2 2

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5 6 − x x2 = 1 + 0 − 0 = 1 6 7 1− 0 − 0 − x x2

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Solución Boletin 1 (modelo)

r = lim P(x) − Q(x) = [ ∞ − ∞ ] = lim x 2 + 5x − 6 − x 2 − 6x − 7 = x →∞

x →∞

( = lim

x 2 + 5x − 6 − x 2 − 6x − 7

( = lim

x 2 + 5x − 6

x 2 − 6x − 7

11x + 1 x 2 + 5x − 6 + x 2 − 6x − 7 11 +

= lim

x →∞

) ( 2

)

2

x 2 − 5x − 6 + x 2 − 6x − 7

x →∞

x →∞

x 2 + 5x − 6 + x 2 − 6x − 7

x 2 + 5x − 6 + x 2 − 6x − 7

x →∞

= lim

)(

1+

1 x

5 6 6 7 − 2 + 1− − 2 x x x x

 P(x)  p = lim   x →∞ Q(x)  

P(x )

=

(x = lim x →∞

= lim

x →∞

2

+ 5x − 6 ) − ( x 2 − 6x − 7 )

x 2 − 5x − 6 + x 2 − 6x − 7

=

11x + x x 2 5x 6 + − + x2 x2 x2

1 x = x 2 6x 7 − − x2 x2 x2

11 + 0

11 2

1+ 0 − 0 + 1− 0 − 0

 x 2 + 5x − 6  = lim  2  x →∞ x − 6x − 7  

)=

=

x 2 + 5x − 6

= 1∞  = eλ = e∞ = ∞

 x 2 + 5x − 6   x 2 + 5x − 6 − x 2 + 6x + 7  λ = lim ( x 2 + 5x − 6 )  2 − 1 = lim ( x 2 + 5x − 6 )  = x →∞ x 2 − 6x − 7  x − 6x − 7  x →∞  

11x 3 + x 2 + 55x 2 + 5x − 66x − 6  11x + 1  = lim ( x 2 + 5x − 6 )  2 = lim =  x →∞ x 2 − 6x − 7  x − 6x − 7  x →∞ 11x 3 56x 2 61x 6 + 2 − 2 − 2 2 11x + 56x − 61x − 6 x x x x = = lim = lim x →∞ x →∞ x 2 6x 7 x 2 − 6x − 7 − − x2 x2 x2 3

= lim

x →∞

2

61 6 − x x 2 = ∞ + 56 − 0 − 0 = ∞ 6 7 1− 0 − 0 1− − 2 x x

11x + 56 −

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6. Calcular l = lim ( −35x 3 + 90x 2 + 28x + 1) 53x +17 x 2 + 74x3 x →0

Solución 1

28

l = lim ( −35x 3 + 90x 2 + 28x + 1) 53x +17 x 2 + 74x3 = 1∞  = eλ = e 53 = 1´6960 = 1´70 x →0 −35x 3 + 90x 2 + 28x  0  1 3 2 − 35x + 90x + 28x + 1 − 1 = lim = = ( ) x → 0 53x + 17x 2 + 74x 3 x → 0 53x + 17x 2 + 74x 3 0 x(−35x 2 + 90x + 28) −35x 2 + 90x + 28 28 = lim = lim = x → 0 x(53 + 17x + 74x 2 ) x → 0 53 + 17x + 74x 2 53

λ = lim

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7. Dados los conjuntos A = {x ∈ ℝ / 87 − 2x ≤ 9} y B = {x ∈ ℝ /(x − 97)2 ≤ 196} , calcular A ∪ B y A ∩B

Solución A = {x ∈ ℝ / 87 − 2x ≤ 9}

87 − 2x = 9 → −2x = −78 → x = 39 87 − 2x = 9 →  87 − 2x = −9 → −2x = −96 → x = 48 x = 0 → 87 − 2(0) = 87 ≤/ 9

NO

x = 40 → 87 − 2(40) = 7 ≤ 9

NO

SI 48

39

x = 50 → 87 − 2(50) = 13 ≤/ 9

B = {x ∈ ℝ /(x − 97)2 ≤ 196}  x − 97 = 14 → x = 111 (x − 97) 2 = 196 → x − 97 = ± 196 →   x − 97 = −14 → x = 83 x = 0 → (0 − 97)2 = 9409 ≤/ 196 x = 120 → (120 − 97) 2 = 529 ≤/ 225

Entonces:

NO

SI

NO

x = 90 → (90 − 97)2 = 49 ≤ 196

83

111

A

B

39

48

83

111

A ∪ B = [39, 48] ∪ [83,111] A∩B=∅

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8. En un mercado las funciones de oferta y de demanda vienen dadas por: D(p) = 864 − p 2

y S(p) = 1,68p

a) Usar el teorema de Bolzano para comprobar que existe al menos un precio de equilibrio. b) Razonar geométricamente que existe un único precio de equilibrio c) Utilizar repetidamente el teorema de Bolzano - bisecando repetidamente el intervalo inicial para aproximar el precio de equilibrio con un error menor que una centésima.

Solución a) Equilibrio → D(p) = S(p) → 864 − p 2 = 1´68p → 864 − p 2 − 1,68p = 0 f (p)

f (15) = 0´07   ≠ signo f (16) = −2´22 

• f cont. en [15,16] Por el teorema de Bolzano: ∃p∗ ∈ (15,16) / f (p∗ ) = 0 ⇒ D(p∗ ) = S(p∗ )

b)

D(p) = 794 − p 2 es decreciente (al aumentar p disminuye D) S(p) = 2.41p es creciente (al aumentar p aumenta S) Por lo tanto se cortan solo en 1 punto

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c) • f (15) > 0   → la solución está entre 15 y 16 f (16) < 0  Si tomamos el punto medio como solución: sería <

15 + 16 = 15´5, el error cometido 2

1 = 0´5 2

• f (15´5) < 0   → la solución está entre 15 y 15´5 f (15) > 0  15 + 15´5 Si tomamos el punto medio como solución: = 15´25, el error cometido 2 0´5 sería < = 0´25 2 • f (15´25) < 0   → la solución está entre 15 y 15´25 f (15) > 0  15 + 15´25 Si tomamos el punto medio como solución: = 15´125, el error cometido 2 0´25 = 0´125 sería < 2 • f (15´125) < 0   → la solución está entre 15 y 15´125 f (15) > 0  15 + 15´125 Si tomamos el punto medio como solución: = 15´0625, el error 2 0´125 cometido sería < = 0´0625 2 • f (15´0625) < 0   → la solución está entre 15 y 15´0625 f (15) > 0  15 + 15´0625 Si tomamos el punto medio como solución: = 15´03125, el error 2 0´0625 cometido sería < = 0´03125 2

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• f (15´03125) > 0   → la solución está entre 15´03125 y 15´0625 f (15´0625) < 0  Si tomamos el punto medio como solución: cometido sería <

15´03125 + 15´0625 = 15´046875, el error 2

0´03125 = 0´015625 2

• f (15´046875) < 0   → la solución está entre 15´03125 y 15´046875 f (15´03125) > 0  Si tomamos el punto medio como solución: cometido sería <

15´03125+15´046875 = 15´0390625, el error 2

0´015625 = 0´0078 que es menor que 1 centésima 2

Tomamos pues como solución: 15´03

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B1_2011  

1. La suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética es 13160 y la diferencia de los extremos es 912. Hallar los 5 primeros t...

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