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MAYO 2019

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN

Teoria de Graficas

LAS GRÁFICAS COMO NUNCA ANTES LAS HABÍAS ENTENDIDO LOPEZ CRISOSTOMO BRENDA ALINE FLORES HERNANDEZ ITZEL


Editoras ¿QUIÉNES SOMOS?

ITZEL FLORES DIRECTORA

Somos dos mujeres con 21 y 20 años de edad cada una. Estudiantes de cuarto semestre en la carrera de Matemáticas Aplicadas y Computación en la Facultad de Estudios Superiores Acatlan. Somos mujeres que creemos en el cambio y sobre todo en que si se lucha con los ojos bien abiertos los sueños se logran. Nuestra carrera nos ha dado las bases para saber que las matemáticas son todo un mundo. El análisis, la comparación, la generalización, la síntesis y la abstracción son solo algunas de las herramientas que seguimos desarrollando a lo largo de este proceso que se llama vida.

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BRENDA LOPEZ PRESIDENTE

La revista que el dia hoy escribimos con mucha ilusión es acerca de la Teoría de grafos, también llamada teoría de gráficas, es una rama de las matemáticas y las ciencias de la computación que estudia las propiedades de los grafos. Los grafos no deben ser confundidos con las gráficas, ya que son cosas distintas, Cuando estudiamos la teoría de gráficas aplicadas y nos damos cuenta que la gente no conoce del tema nos llenamos de incertidumbre ya que con ella enserio podemos resolver desde problemas muy grandes hasta los mas simples. por eso hemos decidido escribir estos artículos .


Indice CON ESTA SECIÓN TE ASEGURAMOS QUE NO TE PERDERAS CON EL CONTENIDO TEMA

PAGINA

Editorial 1 Indice 2 ¿que es la teoria de graficas? 3 ¿Pero como lo solucionamos? 4 Curiosidades 5 Conoce mas al creador 5 Sabias que 6 Para saber mas 6 Gráficas Eulerianas 7 Gráficas Hamiltonianas 7 Gráficas Unicursales 8 Gráficas trazadas arbitrariamente 9 Problema del Agente Viajero 9 Gráficas Lineales 10 Gráficas Totales 10 Factorización de una Gráfica 11 Teorema de Euler 12 Teorema de Kuratowski 13 Número Cromático 14 Teorema de los Cuatro Colores 15 Gráficas Duales 16 Gráficas Planares 17 Gráficas Planas 18 Palabras clave 19 Reflexion 19 Si de clasificacion hablamos 20 y 21 Referencias 22

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Qué es la Teoría de Gráficas  KÖNIGSBERG, ACTUALMENTE LLAMADA KALININGRADO, ES UNA CIUDAD QUE SE ENCUENTRA A ORILLAS DEL MAR BÁLTICO, EN TERRITORIO RUSO Y A UNOS 50 KILÓMETROS DE LA FRONTERA CON POLONIA. FUE UNA CIUDAD QUE SUFRIÓ DUROS ATAQUES DURANTE LAS DOS GUERRAS MUNDIALES, CON LO CUAL PODÉIS IMAGINAROS LOS GRAVES DAÑOS QUE SE PRODUJERON. MUCHOS DE SUS EDIFICIOS HISTÓRICOS FUERON DERRUMBADOS POR BOMBARDEOS. EN 1946,

Euler, una vez enterado del problema gracias a un grupo de jóvenes de Königsberg que en 1735 le pidieron que resolviera el problema, se dedicó por completo al estudio del mismo, dando una solución simple e ingeniosa,que servía también para cualquier número de puentes. Para empezar, Euler formuló el problema de la siguiente manera: “En la ciudad de Königsberg, en Prusia, hay una isla A llamada Kneiphof, rodeada por los dos brazos del río Pregel. 03

HAY SIETE PUENTES A, B, C, D, E, F Y G, QUE CRUZAN POR LOS DOS BRAZOS EL RÍO. LA CUESTIÓN CONSISTE EN DETERMINAR SI UNA PERSONA PUEDE REALIZAR UN PASEO DE TAL FORMA QUE CRUCE CADA UNO DE ESTOS PUENTES SÓLO UNA VEZ”. 04


¿Pero, cómo lo soluciono? Euler, para ver más claro el problema, sustituyó cada uno de los trozos de tierra firme por un punto y cada puente por un trazo, dando lugar a un esquema simplificado que puedes ver en la figura que hay más abajo. Así, la isla está representada por el punto al cual llegan cinco trazos, pues son cinco los puentes que van a ella. La figura resultante es un grafo.

El problema se reduce a dibujar la figura, partiendo de un punto, de un trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer una misma línea dos veces. Euler demostró que para que el problema tuviera solución, empezando y terminando en el mismo vértice, de cada uno tenía que salir un número par de aristas, y como puedes comprobar fácilmente, en este problema no se cumple. A los pocos meses Euler presentó un voluminoso informe a la Academia rusa de San Petersburgo, en el que afirmaba haber demostrado la imposibilidad de tal ruta. Posteriormente, publicó un artículo titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Euler 1736), en el que resolvía el problema en el caso general, obteniendo condiciones generales para la existencia de soluciones para cualquier problema del mismo tipo.

ESTE ARTÍCULO ES CONSIDERADO POR VARIOS AUTORES COMO EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA DE GRAFOS, UTILIZADA ACTUALMENTE EN UNA GRAN CANTIDAD DE APLICACIONES, Y TAMBIÉN COMO UNA DE LAS PRIMERAS MANIFESTACIONES DE UNA NUEVA GEOMETRÍA.

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Curiosidades Königsberg es famosa por ser el lugar de nacimiento del filósofo Kant, pero también es famosa por sus siete puentes y por el problema que consistía en saber si una persona podría cruzar todos los puentes una sola vez. Este problema fue resuelto por Euler. Además de Kant, en esta ciudad nacieron destacados científicos de los 3 últimos siglos, como son el físico Kirchoff y el matemático Hilbert. David Hilbert nació en un pueblo cerca de Königsberg, estudió en la universidad de Königsberg y en la de Berlin, donde asistió las clases de Weiertrass y Kronecker.

conoce mas al creador

LEONHARD EULER

Naci ó el 15 de abri l de 1707 en Basi l ea,   Sui za. Hi j o de un cl éri go. Cursó estudi os en l a Uni versi dad de l a ci udad con el matemáti co sui zo  Johann Bernoul l i . Con sól o 17 años de edad, se graduó Doctor. En el año 1727, i nvi tado por l a emperatri z de Rusi a  Catal i na I , f ue mi embro del prof esorado de l a  Academi a de Ci enci as de San Petersburgo. Catedráti co de  Fí si ca  en 1730 y de  Matemáti cas  en 1733. En 1741 f ue prof esor de matemáti cas en l a  Academi a de Ci enci as de Berl í n  a peti ci ón del rey de Prusi a,   Federi co el Grande. Poseedor de una asombrosa f aci l i dad para l os números y el raro don de real i zar mental mente cál cul os de l argo al cance. Se recuerda que en una ocasi ón, cuando dos de sus di scí pul os, al real i zar l a suma de unas seri es de di eci si ete térmi nos, no estaban de acuerdo con l os resul tados en una uni dad de l a qui ncuagési ma ci f ra si gni f i cati va, se recurri ó a Eul er. Este repasó el cál cul o mental mente, y su deci si ón resul tó ser correcta.

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Además de sus magníficos trabajos, es famosa la conferencia que dio en el Congreso Internacional de Matemáticas de París de 1900, en el que además de defender que las matemáticas eran una ciencia que podía desarrollarse independientemente de las demás, proponía sus famosos 23 problemas que ocuparían a la matemática del siglo XX. Aún hoy alguno de estos problemas no se ha resuelto. Hilbert recibió muchos honores y en 1930 estando ya retirado, la ciudad de Königsberg le hizo ciudadano de honor. Son famosas sus palabras en las que se reconoce su entusiasmo por las matemáticas: "Debemos saber, así que sabremos". Estas mismas palabras se escribieron en su epitafio


Sabías que... LA TEORÍA DE GRAFOS PERMITE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELATIVOS A CAMPOS TAN SEPARADOS COMO PUEDAN SER LA LINGÜÍSTICA, LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA, LA ELECTRICIDAD, LA GENÉTICA, LA SOCIOLOGÍA, ETC. UN GRAFO CONSISTE EN UN CONJUNTO FINITO DE VÉRTICES (PUNTOS) Y UN CONJUNTO FINITO DE ARISTAS (LÍNEAS) ENTRE ELLOS.

Para s a b e r m á s . . . .

En un grafo, dos vértices se dicen adyacentes si ambos son extremos de una arista. Toda arista es incidente con sus vértices extremos y dos aristas se dicen incidentes si ambas comparten un vértice común. Se denomina valencia (o grado) de un vértice al número de vértices adyacentes con él o bien al número de aristas incidentes con él. Por convenio, un vértice no se considera adyacente consigo mismo y los vértices de valencia 0 se denominan vértices aislados

Un camino en un grafo es una sucesión consecutiva de vértices y aristas del grafo, comenzando por un vértice, del tipo v1, e1, v2, e2, ..., vr-1, er, de tal manera que cada arista ei una los vértices vi1 y vi. Un camino euleriano sobre un grafo contiene cada arista del grafo una y sólo una vez. Euler probó que el grafo de Königsberg no posee un camino eureliano

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Gráficas Eulerianas

Cubre todas las líneas de un grafo, comenzando y terminando en un mismo vértice, recorriendo sin repetición y en forma continua todas las líneas de un grafo G cualquiera. Cuando tal recorrido existe, se denomina euleriano y un grafo que se puede trazar mediante un recorrido euleriano se llama grafo euleriano

En la figura, G1 es obviamente un grafo euleriano; G2 no lo es, a pesar de que se puede trazar continuamente, ya que el recorrido comienza y termina en vértices distintos; finalmente, G3 no es un grafo euleriano, porque no se puede trazar continuamente.

Gráficas Hamiltonianas Cuando existe tal ciclo, lo llamaremos ciclo hamiltoniano y un grafo que posea un ciclo hamiltoniano se llama grafo hamiltoniano. Un ciclo puro Cp es evidentemente hamiltoniano; el grafo de la fig. 3.14 también. En efecto, el ciclo v1v2... v7v1 representa un ciclo hamiltoniano del grafo G.

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Con la imagen anterior mostramos que no hay ninguna relación directa entre grafos eulerianos y hamiltonianos. Contrario al caso de los grafos eulerianos, para el caso de los grafos hamiltonianos no se conoce ninguna condición necesaria y suficiente que los caracterice. Esto es lamentable porque en muchas aplicaciones es fundamental poder determinar si un grafo es hamiltoniano.

Gráfica unicursal Si se tiene un paseo abierto donde no se repiten líneas, se tiene una Línea Unicursal Una gráfica formada por una Línea Unicursal, es una Gráfica Unicursal, esto es, una gráfica en la que se pueden recorrer todas las líneas de la ésta en un solo trazo, comenzando en un vértice y terminando en otro. Nota: Pueden repetirse vértices en el paseo cerrado.

Las siguientes gráficas son Unicursales ya todos los vértices de las gráficas son de grado par menos dos el inicial y el final

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Gráficas trazadas arbitrariamente Las siguientes gráficas son Trazadas Arbitrariamente ya que todas las gráficas se pueden descomponer en circuitos y existe en ellos por lo menos un vértice en común

Una Gráfica es Trazada Arbitrariamente desde un vértice V si el conjunto de líneas puede particionarse en circuitos de líneas disjuntas y todos ellos contienen al vértice V. Nota: No todas la gráficas eulerianas son trazadas arbitrariamente

Problema del agente viajero Un ejemplo clásico de los circuitos halmitonianos es el problema del agente viajero, que trata de un viajero que desea visitar ciertas ciudades y luego regresa a su punto de inicio. Conociendo las distancias entre las ciudades,¿cómo debe planear el recorrido de modo que visite cada ciudad exactamente una vez, de modo que la distancia recorrida sea mínima? El circuito óptimo es el segundo o el tercero, se tienen 2 circuitos óptimos entonces se dice que es una solución múltiple

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Gráficas lineales LA GRAFICA DE LINEA (GRAFICA LINEAL)DE G, SE DENOTA CON L(G)

Es la gráfica que tiene como vértice al conjunto de elemntos de G y donde dos vertices de L(G) son adyacentes siempre que las lineas correspondientes en G lo sean también

GRAFICAS TOTALES

Son graficas mas generales que las gráficas de linea. Sirve para ubicar la adyacencia y la incidencia de una gráfica. una grafica de linea es una s u b g r a f i c a d e u n a g r a f i c a t o ta l . vecinos: L o s v e c i n o s y l o s a r c o s d e u n a g r á fi c a se llaman elementos y se dice que dos elementos son vecinos, si son adyacentes o incidentes.

LA GRÁFICA TOTAL DE UNA GRAFICA G, SE DENOTA COMO T(G) Y E SUNA GRAFICA QUE TIENEN COMO VERTICES AL CONJUNTO ELEMTOS DE G (INCLUYE ARCOS Y NODOS, EN DONDE DOS VERTICES EN T(G)SON ADYACENTES SI LOS ELEMENTOS SON VECINOS EN G.

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factorización de una gráfica UNA FACTORIZACIÓN DE UNA GRÁFICA G, ES LA UNIÓN DE DOS O MÁS FACTORES DE LÍNEAS DISJUNTAS QUE DA COMO RESULTADO LA GRÁFICA G Cualquier grafo que incluya todos los nodos pertenecientes a la gráfica y que contenga mínimo una línea es un factor de esa gráfica. Para realizar la factorización de la gráfica G se consideran k factores de la gráfica considerando lo mencionado en el punto anterior y cuidando que las líneas de cada factor sean disjuntas; al unirlos nos deben dar como resultado la gráfica G.

Una gráfica puede tener varias factorizaciones. Como se puede observar del ejemplo presentado, la unión de las k factorizaciones realizadas nos da como resultado la gráfica G mostrada al inicio.

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Teorema de euler EN UNA GRÁFICA CONECTADA, SIMPLE CON N VÉRTICES Y E LÍNEAS EXISTEN R REGIONES Y R= 2-N+E

n = nodos e = aristas n = 6               e = 12

Aplicando la fórmula... R= 2-6+12 = 8.

CON EL TEOREMA DE EULER PODEMOS IDENTIFICAR DE MANERA MÁS RÁPIDA EL NÚMERO DE REGIONES QUE TIENE UN GRAFO. EN ESTE EJEMPLO LAS REGIONES RESULTANTES FUERON 8 LAS PUEDEN SER PERFECTAMENTE IDENTIFICABLES EN EL GRAFO.

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Teorema de Kuratowski CUALQUIER GRÁFICA ES NO PLANAR SI Y SÓLO SI CONTIENE A UN K3,3 O K5  O ALGUNA SUBDIVISIÓN DE ELLAS.

La gráfica G contiene en una subdivisión de un K5 por lo tanto no es una gráfica planar. La gráfica G NO es planar.

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NÚMERO CROMáTICO PARA CUALQUIER GRÁFICA EL NÚMERO CROMÁTICO ES MENOR O IGUAL AL GRADO DEL VÉRTICE DE MAYOR GRADO MÁS UNO. X(G) ≤1+Δ(G)

Se observa que todos los nodos del grafo tienen un grado igual a 3 Siguiendo el enunciado, para obtener el número cromático aproximado de este grafo... Δ(G) = 3 entonces, X(G) ≤1+3  X(G) ≤ 4

SE PUEDE OBSERVAR QUE EL GRAFO ES UN K4 POR LO TANTO SERÁ UN NCOLOREADO, EN ESTE CASO SERÁ 4-COLOREADO GRACIAS A LA FÓRMULA ANTERIOR PODEMOS SABER CUÁL SERÁ EL NÚMERO CROMÁTICO APROXIMADO PARA UNA GRÁFICA.

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TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES Teorema: Cualquier gráfica planar o plana puede colorearse con tan solo 4 colores, por lo tanto su número cromático es menor o igual a 4. X(G)<= 4

DESPUÉS DE COLOREAR LA GRÁFICA NOS DIMOS QUE SI SE CUMPLE EL TEOREMA ANTERIOR DE QUE CON SOLO 4 COLORES SE PUDE COLOREAR UNA GRÁFICA PLANA.

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En la imagen anterior tenemos una gráfica plana con el objetivo de comprobar el teorema anterior de que tan solo con 4 colores se puede colorear la gráfica.  X(G)=4 por lo tanto 4<=4 se, cumple el teorema anterior.


gRÁFICAS DUALES DE LAS 2 GRÁFICAS PLANAS SI SE PUDO OBTENER LA GRÁFICA DUAL CORRESPONDIENTE A SUS CARACTERÍSTICAS. Esto se aplica para gráficas planas con lazos y para los multi-gráficas planas, para construir una gráfica dual de un grafo plano G se debe colocar un vértice dentro de cada región de G e incluir la región infinita de G. Para cada arista compartida por las 2 regiones, se debe dibujar una arista que conecte a los vértices dentro de estas regiones y para cada arista que se recorre 2 veces en el camino cerrado alrededor de las aristas de una región se dibuja un lazo en el vértice de la región .

En las 2 imágenes anteriores  tenemos 2 gráficas planas donde agregamos un nodo en cada región de la gráfica plana correspondiente después  dibujamos las aristas como dice la construcción de la gráfica dual.

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Gráfica Planar UNA GRÁFICA ES PLANAR SI SE PUEDE TRANSFORMAR O PASAR A UNA GRÁFICA PLANA O TAMBIÉN LLAMADA GRÁFICA APLANABLE.

En la imagen anterior tenemos la gráfica del lado izquierdo y nos damos cuenta que no es una gráfica plana por lo que se trata de mover una arista de las que se cruzan de modo que ya no se cruce con ninguna arista del grafo pero que esa arista este en los mismos nodos. En la imagen del lado derecho nos damos cuenta que si se puede transformar a un grafo plano

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NUESTRA GRÁFICA SI SE PUDO PASAR A UNA GRÁFICA PLANA, POR LO TANTO SE CONCLUYE QUE ES UNA GRÁFICA PLANAR O APLANABLE.


Gráfica Plana Un gráfica o multigráfica es plana si todas sus aristas de la gráfica no se intersectan entre ellas (no se cruzan)

LA GRÁFICA DEL LADO IZQUIERDO NO ES PLANA Y LA GRÁFICA DERECHO ES PLANA

De la imagen anterior se puede observar un ejemplo de una gráfica que no es plana (izquierda) ya que 2 de las aristas de la gráfica se cruzan entre ellas por lo que se concluye que no es plana, y una gráfica plana (derecha) donde se ve que se cambiaron las dos aristas de modo que no se cruzaran quedando en los mismos nodos.

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Palabras claves LLUVIA DE IDEAS DE ALGUNAS DE LAS PALABRAS MÁS USADAS EN LA TEORÍA DE GRÁFICAS 

REFLEXIÓN En 1875 los alemanes construyeron un nuevo puente en la ciudad de Königsberg, situado entre las zonas B y C. ¿Es posible ahora planificar un paseo t a l q u e s e c r u c e n l o s o c h o p u e n te s s i n pasar por ninguno más de una vez? D i b u j a e l g r a f o a s o c i a d o p a r a q u e te r e s u l t e m á s f á c i l r e s o l v e r e l p r o b l e m a. . En la escena de la parte inferior, creada por

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PUEDES COMPROBAR QUE CON OCHO PUENTES, SÍ ERA POSIBLE REALIZAR LA RUTA COMENTADA, SI BIEN EL CAMINO ERA ABIERTO, ES DECIR, NO SE LLEGABA AL MISMO PUNTO DE PARTIDA.

Mirando el grafo, una posible solución podría ser el camino DCBDACABA.


si de clasificación hablamos

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Referencias °https://es.slideshare.net/nab orchirinos/conceptos-teoriade-grafos-5778778 (15/Mayo/19 12:00) °http://educativa.catedu.es/44700165/ aula/archivos/repositorio//45 00/4724/html/32_los_puentes _de_knigsberg.html (15/mayo/19 1:00) http://teoriadegrafos.blogspo t.com/2007/03/grafoseulerianos-yhamiltonianos.html (15/Mayo/19 2:00) https://gauss.acatlan.unam.m x/pluginfile.php/44740/mod_r esource/content/0/Temarios_ por_unidad/Unidad_4_Grafic as.pdf (15/mayo/19 3:00) https://sites.google.com/site/ teoriadegrafosgp2401/ejempl o-graficas-duales (16/mayo/19 12:00) https://www.buscabiografias. com/biografia/verDetalle/869 3/Leonhard%20Euler (16/mayo/19 1:00)

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Teoría de Gráficas  

En esta revista encontraras temas de la materia.

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