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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS MATEMÁTICAS

GUIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS

p( x) , donde p(x), q(x)  P(x); q(x)  0. q( x) El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica Ejemplos: x5 8  3 (a) ( x  3) (b) x    x3 2x  3  2 2x  3y 3x  4 (c ) (d) 2 ( x  4, x   2) 7 x  2x  8 Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma

Simplificación de expresiones algebraicas Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 24a 3 b 3 8a 2  3ab3 8a 2 (a)  2  21ab5 7b  3ab3 7b 2 5x  10y (b) 2x  4y Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces: 5x  10y 5( x  2y) 5   2x  4y 2( x  2y) 2

x 2  7x  12 x 2  16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: x 2  7x  12  ( x  4)( x  3) (c)

x 2  16  ( x  4)( x  4) Luego: x 2  7x  12 ( x  4)( x  3) x  3   ( x  4)( x  4) x  4 x 2  16

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x3  1 x2  x  1

(d)

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1) Entonces: x3  1 ( x  1)( x 2  x  1)   x 1 x2  x  1 ( x 2  x  1) Ejercicios Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas

15a 3 b 2 (1) 20ab 4 121a 4 c 5 d 7 11ac 5 d 8 42 (5) 18a  24b (3)

7mn4 p 5 (2) 21m 3 np7 (4)

8a  16b 24

(6)

14x  21y 50x  75y x2  x xy  x

(7)

27m  36n 36m  48n

(8)

(9)

a 2  2ab  b 2 3a  3b

(10)

(11)

x 2  5x  6 x 2  2x

(12)

(13)

3x 2  27x  42 5x 2  15x  140

(15)

m 4 n  m2 n3 m3 n  m2 n 2

8p q  (17) 16p q 

3 2 4 2 2 3

(19)

16a 2  56ab  32b 2 2a 2  5ab  3b 2

5am2 x  5an2 x (21) 5am2 x  10amnx  5an2 x

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m2  n 2 m2  2mn  n2

a3  b3 a2  b2 4p  2q (14) 2 8p  8pq  2q 2 (16)

x 3  3x 2  10x x 3  4x 2  4x

12mn  (18) 18m n

3 3

2

(20)

4

ac  ad  bc  bd 2c  3bc  2d  3bd

x4 1 (22) 2 3x  3

2


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(23)

m3  n 3 5m2  5mn  5n2

(24)

16x 2 y  25y 4 x 2 y  3xy  10y

(25)

2xa  4xb 3ya  6yb

(26)

x( x  3) 2 ( x  1) x 2 ( x  5) 3 ( x  1) 2

(27)

( x  1) 3 ( x  5) 4 x 2 ( x  5) 3 ( x  1) 2

(28)

a 2  ab a 4  a2b2

Amplificación de fracciones Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente Ejemplos: x3 ( x  3)  2 2x  6 (a) Amplificada por 2, la fracción es  x2 ( x  2)  2 2x  4

5a  8b (5a  8b)  3am 15a 2 m  24abm (b) Amplificada por 3am la fracción , resulta :  7m  2n (7m  2n)  3am 21am2  6amn (c) Si se desea convertir el denominador de la fracción amplificar por 3mn

8x en un cuadrado perfecto, debemos 3mn

8x 3mn 24mnx   3mn 3mn 9m 2 n 2

ab deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto, debemos ab (a  b) (a  b) (a  b) 2 amplificar la fracción por (a + b).   (a  b) (a  b) a 2  b 2 Ejercicios: Completa el cuadro Fracción Amplificada por Fracción Equivalente 2 3 5x y 2xy (1) 3ab (d) Si en la fracción

(2)

6ab 7mn

(3)

a  3b 7a 2 b

(4)

17mn 9a 3

8a2m3n

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3a 2 b 3  9ab 4 21a 3 b 4 102amn 54a 4

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(5)

x4 x7

x 2  11x  28

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Ejemplos. Polinomios

factores

m.c.m.

9x 2 y

32  x 2  y

22  32 x 5 y 4

6 xy 4

23 x  y4

36x 5 y 4

12x 5 y

22  3  x 5  y

x 2  5x  6

( x  2)( x  3)

x 2  6x  9

( x  3) 2 ( x  2)( x  1) ( x  2)

x 2  3x  2 x2 ab 3b  3a a2  b2 

5a  5b

( 1)  (b  a) 3  (b  a) ( 1)  (b  a)(b  a) ( 1)  5  (b  a)

6 x 3  6y 3

3  2  ( x  y )( x 2  xy  y 2 )

x 2  xy  y 2 2( x  y )

x 2  xy  y 2 2  ( x  y)

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( x  2)( x  3) 2 ( x  1)

 1 3  5(b  a)(b  a)  15  (b 2  a 2 ) 3  2( x  y )( x 2  xy  y 2 ) 6( x 3  y 3 )

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Ejercicios. Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios Polinomios

Factores

m.c.m.

5a 2 b 15ab 2 20a 3 b 14pq3 21p 3 q 42pq 7p 2 q 2

x2 x3 x 2  5x  6 m2  m m2  1

p 2  8p  12 p 2  6p  8 p 2  10p  24 2x 2  3x  2 2x 2  7x  3 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.

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Ejemplos Consideremos los siguientes casos (a)

3 14x  19 (3x)  (14x  19) 3x  14x  19 17x  19     x 5 5 5 5

7a  4b 17a  19b (7a  4b)  (17a  19b)   x x x (b) 7a  4b  17a  19b  10a  23b   x x (c)

5a  9b 7a  2b 8a  5b    2a  3b 2a  3b 2a  3b

(5a  9b)  (7a  2b)  (8a  5b) 2a  3b 4a  6b  2a  3b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene: 2(2a  3b) 2 (2a  3b) 5a  9b 7a  2b 8a  5b   2 Entonces: 2a  3b 2a  3b 2a  3b Ejercicios: Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando proceda (1)

9 5 7   x x x

(2)

4 5 9  2  2 2 a a a

(3)

6x 4  3x  2 3x  2

(4)

4m 5m  6 7m  8   2m  5 2m  5 2m  5

(5)

2x  3 7x  8  2x  15 2x  15

(6)

7 2a  5  2 a  3a  4 a  3a  4

(7)

 12  m2 3m  m2  m2  m  12 m2  m  12

(8)

15p 2 6p  6p 2  9p 2  4 9p 2  4

a2 a8  1 a2 a2 a5 7  1 (11) a5 a5 (9)

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2

(10)

a3 9  1 a2 a2

(12)

a  4 5a  3  1 3a  2 3a  2

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(13)

5m  8n 7m  9n 5m  15n   3m  2n 2n  3m 2n  3m

6a  a 2 a  10 3a 2  2   3a 2  10a 8 3a 2  10a 8 3a 2  10a 8 a  b 3a  2b 5a  8b (17)   xy yx xy (15)

(14)

3p  12p 2 p 2  10p  20p 2  7p  6 20p 2  7p  6

(16)

b 2  2b 3b  4 4 2 4b  13b  3 4b  13b 2  3

(18) m4 m2  3m 7  2m2   m2  2m  3 m2  2m  3 m2  2m  3

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador) A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común Ejemplos: Consideremos los siguientes casos: 3 x  4 y 2 x  3y  (a) 15xy 2 10x 2 y Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos: 15xy 2  3  5  x  y 2

10x 2 y  2  5  x 2  y m.c.m. = 2  3  5  x 2  y 2  30x 2 y 2 Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar los denominadores: 3 x  4 y 2 x  3y 2 x( 3 x  4 y ) 3y ( 2 x  3 y )     15xy 2 10x 2 y 30x 2 y 2 30x 2 y 2 2x(3x  4y )  3y(2x  3y )  30x 2 y 2

6x 2  8xy  6xy  9y 2 6x 2  14xy  9y 2  30x 2 y 2 30x 2 y 2

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2a  b b  6a  3a  3b 4a  4b Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores: 3a  3b  3(a  b) 4a  4b  4(a  b) m.c.m.= 3  4(a  b)  12(a  b) (b)

Luego, amplifiquemos las fracciones: 2a  b b  6a 4(2a  b) 3(b  6a)    3a  3b 4a  4b 12(a  b) 12(a  b) 4(2a  b)  3(b  2a)  12(a  b) 8a  4b  3b  18a  12(a  b) 26a  7b  12(a  b)

13  6m 9m  20  2 2 m  m  6 m  m  12 Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores: m 2  m  6  (m  3)(m  2) (c)

m 2  m  12  (m  3)(m  4) m.c.m.  (m  3)(m  2)(m  4) Luego, amplificamos las fracciones. 13  6m 9m  20 13  6m 9m  20  2   2 m  m  6 m  m  12 (m  3)(m  2) (m  3)(m  4) (m  4)(13  6m) (m  2)(9m  20)   (m  3)(m  2)(m  4) (m  3)(m  2)(m  4) (m  4)(13  6m)  (m  2)(9m  20)  (m  3)(m  2)(m  4)

13m  6m 2  52  24m  9m 2  20m  18m  40 (m  3)(m  2)(m  4)

3m 2  13m  12 (m  3)(m  2)(m  4)

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Factoricemos el numerador, multiplicando y dividiendo por 3 a la vez: 2 (3m) 2  13(3m)  36 2 3m  13m  12   3 3 (3m  9)(3m  4)  3 3(m  39(3m  4)  3  (m  3)(3m  4) Obtenemos: 3m2  13m  12 (m  3)(3m  4)  (m  3)(m  2)(m  4) (m  3)(m  2)(m  4) 3m  4 3m  4   2 (m  2)(m  4) m  6m  8

Entonces: 13  6m 9m  20 3m  4  2  2 2 m  m  6 m  m  12 m  6m  8

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Ejercicios: Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda (1)

9 5 3   5x 2x x

(2)

6 7 5   2 2x 3x x

(3)

m  2 3m  1  2m 5m

(4)

x  6 2x  5  8x 12x

5 m 1

(6)

7  a 1 2a  3

5 3b  1

(8)

9c c4 c3

2 3a  2 a 1 a  a  2

(10)

m 7m  2 m  4 m  m  12

x 2xy y  2  x  2y x  2xy x

(5) m  2  (7) b  1  (9)

2

(11)

p 1 2  2 p  p  12 p  5p  24

(12)

(13)

d 1 d 6(d  1)   2 d3 d3 d 9

2x x2 y   (14) 2 y xy  y xy

(15)

2a  3b 3a  2b  3a  2b 3b  2a

(16)

(17)

6z  1 3  2z  5z  3 z  3

2

2

4 2 m   m 1 m 1 m 1 2

(18)

2 9 4x  5   2 2 x  10x  24 18  3x  x x  x  12 2

(19)

2a  5 1 2a  4   2 a  a  2 a  3 a  4a  3

(20)

3m  1 m  11 1  2  m  2m  3 m  2m  3 m  1

(21)

p  17 p 1 6  2  2 p  p  12 p  5p  6 p  2p  8

(22)

3d 7 1  2  2 2d  d  1 6d  d  2 3d  5d  2

2

2

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2

2

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Multiplicación de fracciones algebraicas En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible Ejemplo: 3x 2z 6xz (a)   7y w 7yw 3x 2  2xy 15x  10y  (b) 2 2x 9x  4y 2 Factorizamos los polinomios y simplifiquemos. x(3x  2y) 5(3x  2y) 5   (3x  2y)(3x  2y) 2 x 2 m2  5m  6 m3  m 7m  21 (c)   2 2 3 2 m 9 m  2m  8m 7m  7 Factoricemos y simplifiquemos (m  3)(m  2) m(m2  1) 7(m  3)    2 (m  3)(m  3) m(m  2m  8) 7(m2  1) (m  3)(m  2) m(m  1)(m  1) 7(m  3) 1    (m  3)(m  3) m(m  4)(m  2) 7(m  1)(m  1) m  4 Entonces: m2  5m  6 m3  m 7m  21 1   2  2 3 2 m 9 m  2m  8m 7m  7 m  4

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Ejercicios Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas

2xy 4 5x 3 y  3a 3 b 7ab 4 x2 x5 z   (3) x3 x6 w (1)

x y   a b  (5) a b  x y  2 3

3 4 5

2 3 4 2

5

(2)

3(a  b)  17(a  b)  2x 19x 2 

x3y 4 x7y8  (4) 4 5 x y  x 15 y 3

 m n    c d (6)  cd   m n  3 4 2 2 3

2

5

2 3 3

(7)

12x  3y 21a  14b  15a  10b 20x  5y

(8)

(9)

a 2  3a  4 ab5  ab2 a 2  6a  8

(10)

a 2  9a  18 a 2  7a  10  a 2  8a  15 a 2  11a  18

(12)

m2  6m  16 m2  m  12  m2  10m  24 m2  m  6

(11)

z 2  10z  16 z 2  10z  21  z 2  9z  14 z 2  2z  15

(13) x2  9 x 2  7x  12 x 2  7x  12   x 2  6x  9 x 2  8x  16 x 2  2x

2x  2y 7x  7y x  y   x x 2  y 2 42x  42y

(14) x2  y2 x 2 2xy  y 2 x 2  xy  y 2 3 x  3y  2   3 3 2 5 x  5y 30x  30y x  y x  2xy  y

(15)

2a 2  7a  6 2a 2  17a  8  2a 2  9a  9 4a 2  9a  2

(16)

a 2  ab  12b 2 2a 2  7ab  6b 2  2a 2  11ab  12b 2 2a 2  9ab  10b 2

(17)

x3  y3 6 x  6y  2 2 2 x  y 2x  2xy  2y 2

(18)

5x 2  10xy  5y 2 7x 2  7xy  7y 2  15x  15y x3  y3

b 2  8b  12 b 2  10b  16 b 2  10b  21 b 2  4b  5 (19) 2    b  2b  1 b 2  2b  15 b 2  9b  14 b 2  3b  10

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División de fracciones algebraicas Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor Ejemplos: 3x 9x 2 3x 20y 3 4y 2 :    (a) 5y 20y 3 5y 9x 2 3x

2x  4y 6x  12y 2x  4y 15x  45y :   5x  15y 15x  45y 5x  15y 6x  12y Factoricemos y simplifiquemos 2( x  2y) 15( x  3y) 1   1 5( x  3y) 6( x  2y) 1 (b)

xy x 2  y 2 2x  2y (c) x  y :   2x  2y 1 xy Al factorizar y simplificar resulta: ( x  y)( x  y) 2( x  y)   2( x  y) 2 1 xy 2

2

a 2  5a  14 a 2  5a  14 1 (d) : 14a  98   6a  12 6a  12 14a  98 Factoricemos y simplifiquemos (a  7)(a  2) 1 1   6(a  2) 14(a  7) 84

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Ejercicios: Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas (1)

35a 3 14ab2 : 18b 3 9b 3

(2)

a 5b 8 c 7 a 6b 8 c 9 : a 4 b 6 c 10 a 3 b 2 c 5

(3)

24ab 3 x 2 y 9y 3 : 54a 3 bxy 4 x 3

(4)

a 2 bx 2 3ax 2 : ab3 y 3 b 2 y 3

6x 2  9xy a : (5) 3 3 a 14x  21x 2 y

a3  a a3  a2 (6) 2 : a  a a 2  2a  1

m2  8m  16 m2  2m  3 (7) 2 : m  2m  8 m2  3m  2

c 2  6c  5 c 2  8c  7 (8) 2 : c  7c  10 c 2  5c  14

(9) (11)

x 2  10x  24 x 2  4x  3 : x 2  3x  18 x 2  6x  9 3p 2  p  2 3p 2  8p  4 : 4p 2  7p  3 4p 2  5p  6

(10)

m2  14m  48 m2  4m  32 : m2  4m  21 m2  3m  28

(12)

6a 2  5a  1 12a 2  a  1 : 4a 2  8a  5 8a 2  6a  1

m2  3m  2 m2  6m  16 (13) 2 : m  5m  4 m2  m  20

x3  y3 x2  y2 : (14) 2 x  2xy  y 2 x 2  2xy  y 2

x4  y4 x2  y2 : (15) 2 x  2xy  y 2 x 2  2xy  y 2

x3  x x  1 (16) : x 1 x 1

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplos 2a a 3a   (a) 5 2 4 Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones 2a a 3a 2a 3a 2 8  2a  5  3a 2 16a  15a 2 a(16  15a)        5 2 4 5 8 40 40 40

3x 5x 2 4 (b)   2 16 x En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición 3x 5x 2 4 3x 5x 2  3x  1 5x 6x  5x 11x        2 16 x 2 4 4 4 4 2x  3y  8x  12y 5  :   4 x 2  9y 2  10x  15y 4  Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y el denominador, para simplificar si es posible. 2x  3y  4(2x  3y ) 5  2 x  3y 2 x  3y :    2 : 2 2  4 x  9y  5(2x  3y ) 4  4 x  9y 2 2x  3y Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida : 2x  3y 2x  3y 1   (2x  3y)(2x  3y) 2x  3y 2x  3y (c)

 3x  3y 6x  6y  x2  y2  (d)  2 :  2 2  2  x  2xy  y 2x  2y  x  xy  y Calculemos el cuociente del paréntesis y luego multipliquemos. 3( x  y ) 2( x  y ) x2  y2   ( x  y ) 2 6( x  y ) x 2  xy  y 2

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Fracciones algebraicas