Page 1

BÀI 4


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Một hệ phương trình tuyến tính luôn xảy ra một trong 3 khả năng sau: 1. Hệ vô nghiệm. 2. Hệ có nghiệm duy nhất. 3. Hệ có vô số nghiệm. Vấn đề đặt ra là nhờ vào đâu để ta biết hệ phương trình ấy rơi vào trường hợp nào? Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Để giải quyết vấn đề này người ta đưa ra khái niệm “Hạng ma trận”. Nhờ sự so sánh hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình và hạng của ma trận hệ số mở rộng (có cả vế phải) thì ta sẽ biết được hệ phương trình đang xét rơi vào trường hợp nào.

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận Ví dụ: 11 2  A = 2  3

222 233 4 44 444 466 8 88   55 77 99

Đại S

yến T u T ố

A = 12 12

A1224 =

234 A123 =

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

0 0 0 0    O = 0 0 0 0  0 0 0 0 

Đại S

yến T u T ố

A12 = [ 0] 0 0 A =  0 0   24 13

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

a b c d  A=  x y z t  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

a b c    A = x y z  u v w

Đại S

yến T u T ố

A có duy nhất 1 định thức con cấp 3 và đó là định thức con có cấp lớn nhất Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

 a11 0   ..  A=0 0   ... 0 

a12 ... a1r a22 ... a2 r .. ... .. 0 ... ar r 0 ... 0

... 0 ... ... ... 0

Đại S

yến T u T ố

ính

... a1n   a11 a12 .. a1r  ... a2 n  12..r  0 a22 .. a2 r   A12..r =   .. ... ..  .. .. ..     0 0 .. a a ... r n   rr  ... 0  Các MT con cấp > r  ... ...  chứa ít nhất 1 hàng = Gi¶ng viªn: Phan §øc ... 0  TuÊn

0


§4: Hạng ma trận

Chú ý:  a11 a  21  ...   an1

a12 a22

Đại S

yến T u T ố

“Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận” ... a1n ... a2 n

... ... ... an 2 ... ann

b1  b2  ...   bn 

 a11 0   ...  0

a12 a22 ... 0

... a1n ... a2 n ... ... ... ann

b1  b2  ...   bn 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Một vấn đề đặt ra là: biến đổi sơ cấp  A B (có dạng hình thang)  Khi đó: r(A) ? = r(B)

Chú ý:

λ hi

A → B ⇒ det( B ) = λ det( A). hi ↔ h j

A → B ⇒ det( B ) = − det( A). hi + λ h j

A → B ⇒ det( B ) = det( A). Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 1 0  A = 0  0 0

3 −2 3 3 0 5 0 0 0 0

0 4 8 0 0

1 4  0 1 9 −1  0 0 0 0 

⇒ r ( A) = 3

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

∑ 

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận: 1 2   −4   −1

1 2 1 −1 5 7

2 3

0 1 1 2 3  h2 + ( −2) h1 0 -1? -5  → h + 4 h −1 h + 1h 0 9 10 -1   0 8 5 2 2 3

4

1

1

0 3   

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

∑ 1 2   −4   −1

1 2 1 −1 5 7

2 3

Đại S

yến T u T ố

ính

0 1 1 2 0  3  h2 + ( −2) h1 0 −1 −5 3   → h3 + 4 h1 0 9 10 −1 −1 h4 +1h1    2 0 8 5 2 

1 1 2 0  2 0 1 1 0 −1 −5 3  h3 + 9h2  0 −1 −5 3  h + ( −1) h     → → 0 0 −35 26  0 -35 26 h4 + 8h2  0     0 0 0 0 0 0 -35 26 4

3

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Tìm hạng của ma trận sau:

1 2  4   −3

2 −1 0  1 2 −1 0     3 0 5  h2 − 2h1 0-1 2 5  →  1 2 0  h3 − 4h1 0  h4 + 3h1   0 5 7 0  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận sau:

1 5 6    A = 0 4 7  0 0 m 0 

m = 0  r(A) = 2 m≠0

 r(A) = 3

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận sau: 1 9 0 7  0 2  4 8  B= 0 0 (m 20− 1) ( m0− 1)    0 0  0 0

m = 1 ⇒ r ( A) = 2 m = −1 ⇒ r ( A) = 3 m ≠ ±1 ⇒ r ( A) = 3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận sau:

 1 2 −2  h ↔ h  1 −2 2    c ↔c   A =  2 m 1   →  −1 5 4   2 1 m   −1 4 5  2 2

3 3

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

2 1 −2    → ... → 0 3 6  0 0 3m − 42 

3m − 42 = 0 ⇔ m = 14 3m − 42 ≠ 0 ⇔ m ≠ 14

 r(A) = 2  r(A) = 3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§4: Hạng ma trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Biện luận theo a, b hạng của ma trận sau:

1 2 A= 0  3

2 0 −1  1 3 0 h3 ↔ h4  → 3 a b  3 3 −1 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính

04 Hang ma tran - bookbooming  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you