Issuu on Google+

BÀI 1

Ω α Φ  ϕ ∞ ϖ     ¥ ξ δ 


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:  a11 a12 ... a1n  a  a ... a 21 22 2n    ... ... ... ...     am1 am 2 ... am n  Ký hiệu: A = [aij]mn

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

∑  a11 a  21  ...   ai1  ...   am1

a12 a22 ...

... a1 j ... a2 j ... ...

... ... ...

ai 2 ... aij aij ... ... ... am 2 ... amj

... ... ...

Cột thứ 2 Cột thứ j

Đại S

yến T u T ố

ính

Hàng thứ nhất a1n  a a a … gọi là đường 11 22 33 a2 n  chéo chính ...   Hàng thứ i ain  ...   mn: gọi là cấp của ma trận am n  aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ:

1 0 A=   − 3 1.5 a21

2  5

23

 2 8 − 6   B = 2 9 0   0 − 7 − 2  33 đường chéo chính Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 1. Ma trận không: aij = 0, ∀ i, j. (tất cả các phần tử đều = 0) Ví dụ:

 0 0 0 O=    0 0 0 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Các ma trận đặc biệt: 2. Ma trận vuông: m = n. (số hàng = số cột) Ví dụ:

Ma trận vuông cấp 3

 0 7 8  1 3    − 2 7 ;  4 − 2 0    5 0 2  

Ma trận vuông cấp 2

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:

aij = 0, ∀i ≠ j. (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0) Ví dụ:  2 0 0 0 4 0    0 0 9 

 a11 0   ...  0

0 a22 ... 0

0 ... 0  ... ...   ... ann  Gi¶ng viªn: Phan §øc ...

TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:

aii = 1, ∀i = 1, 2,..., n.

Ký hiệu: I, In. Ví dụ:

1 1 0 0  0 1 0  0 1 0  , I =  I2 =  , I =  3   n .. 0 1   0 0 1   0

0 1 .. 0

... ... ... ...

0 0  ..   1

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có aij = 0, ∀i > j.(tam giác trên)

aij = 0, ∀i < j. (tam giác dưới) Ví dụ: 1 2 5 4 2 0 0 0 0 3 −1 0    0 0 2 6    0 0 0 9 

MT tam giác trên

7 1 0 0    0 8 2 0   2 9 1 5 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

MT tam giác dưới

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Các ma trận đặc biệt: 6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có: aij = 0, ∀i > j. có dạng như sau:  a11 0   ..  0 0   0

a12 ... a1r a22 ... a2 r .. ... .. 0 0 0

... ar r ... 0 ... 0

... a1n  ... a2 n  ... ..   ... ar n  ... 0   ... 0 

Khi: a11a22 a33 ...ar r ≠ 0 Ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: 1 0  0  0 0

3 −2 3 3 0 5 0 0 0 0

0 4 8 0 0

1 4 0 1  9 −1  0 0 0 0 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 7. Ma trận cột:là ma trận có n=1. Ma trận cột có dạng:

 a11  a   21  := [ a ] i m  ..     am1  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1. Ma trận hàng có dạng:

[ a11 a12 ... a1n ] Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 9. Ma trận bằng nhau:

A =  aij 

mn

= bij 

mn

= B ⇔ aij = bij , ∀i, j.

10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j. (chuyển hàng thành cột) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Dạng của ma trận chuyển vị:  a11 a 21 A=  ..   am1

a12 a22 .. am 2

... a1n   a11 a ... a2 n  12 → AT =   .. ... ..    ... am n  a1n   mn

a21 a22 .. a2 n

Ví dụ:

... am1  ... am 2  ... ..   ... an m  nm

1 6  1 2 5  2 7 T A= → A =    6 7 9    5 9Gi¶ng  viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các ma trận đặc biệt: 11. Đa thức của ma trận: Cho đa thức Pn ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an và ma trân vuông A = [ aij ]n n n −1 P ( A ) = a A + a A + ... + an I n Khi đó: n 0 1

(trong đó I n là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: Cho P2 ( x) = x 2 − 3x + 5 1 2  và ma trận A =   0 −3

Khi đó:

P2 ( A) = A2 − 3 A + 5I 2 2

1 2  1 2  1 0  = −3 + 5    0 − 3 0 − 3 0 1       Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các phép toán trên ma trận: 1. Phép cộng hai ma trận:

 aij  + bij  =  aij + bij  mn mn mn (cộng theo từng vị trí tương ứng) 1+ 0=1 Ví dụ: 2+3=5 1 5

 11 22   0 3     −3 5  +  2 −4  = -1 1        4 −2  1 5   5 3  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Tính

 2 3 −3  3 4 2   5? 7 -1 1 4 6  +  −1 7 2  =  ?0 11 8         4 −2 0   −6 3 2   -2 1 2? 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó: i) A + B = B + A ii ) A + O = A iii ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Ví dụ:

1 4  3 2 

2  3 +  7  2 5  1 +  0  4

5  4 =  0  6 2  4 =  7  6

7 7  7  7Gi¶ng  viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các phép toán trên ma trận: 2. Phép nhân một số với một ma trận:

λ  aij  mn =  λ .aij  mn , λ ∈ R.

(các phần tử của ma trận đều được nhân cho λ ) 2.(-2)=-4 -4 Ví dụ: 2.3=66 2 0   3 −-2 0 2.0=0     227 4 5  = 14 8 10  0 −2 1  0 -4 2  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Tính

2  3 4 5

−3 6?   0  = 12 −1 15

-9 

 0  -3 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các tính chất: ∀α , β ∈ R, ∀A, B là hai ma trận cùng cấp, khi đó

i) α ( A + B) = α A + α B ii ) (α + β ) A = α A + β A iii ) α ( β A) = (αβ ) A iv) 1A = A Sinh viên tự kiểm tra. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Ví dụ:

Đại S

yến T u T ố

 1 3    3 9   6 18 23 = ÷= 2     15 6  30 12   5 2   1 3  1 3   6 18 (2.3)  = 6 =    5 2  5 2  30 12  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Chú ý:

Đại S

yến T u T ố

ính

A − B = A + (−1) B

 1 3   6 5   1 3  6 5  4 5 − 1 3 =  4 5 + (−1) 1 3         1 3  −6 −5  −5 −2  = + =    4 5 − 1 − 3 3 2       

Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Tính 2+(-2).1=0

 2 4  1 3   0 -2  3 7  − 2  −2 4  =        7 -1

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Các phép toán trên ma trận: 3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận Amp ; B pn , Khi đó ma trận Amp B pn = [cij ]mn gọi là tích của hai ma trận A, B. Trong đó:

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aip bpj , ∀i = 1, m; j = 1, n. ai1

ai 2

b1 j

b2 j

aip

bpj

Hàng thứ i của ma trận A. Cột thứ j của ma trận B.

Như vậy cij = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng Gi¶ng viªn: Phan §øc với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại. TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 2 3 2 113 0 =3.2+2.0+1.(-1)=55 =13 -1 2 +11  1 2   33. +2  

 0 −1 4  .33 0  =        −2 3 0  33 .4 4 −1 32 

   32

số cột của A= số hàng =của B Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí c12

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

Cột 1

Hàng 2

=0.1+(-1).3+4.4=13 13

 3 2 1  1 2  13 5  0 −1 4   3 0  =          −2 3 0  33  4 −1 32  7 -4 32 Hàng 2

=0.2+1.0+4.(-1)=-4 -4 Cột 2

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

Bài tập: Tính

Đại S

yến T u T ố

Cột 1 Hàng 1

=

2 4 1  1 4 2  16 2 3    −1 0 4   2 −3 0  = 10 16 3    3 5 1   23 23   33

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Tính

1 2 3   3 −1 0 −4 2   2 0     5 1 −1  6 −3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán

Ví dụ: 1 4   3 −1 19 −1 AB =  =     5 2 4 0 2 3 − 5       3 −1 1 4   −2 10  BA =  =     4 0 5 2 4 1 6      Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích

i ) A( BC ) = ( AB )C ii ) A( B + C ) = AB + AC iii ) ( A + B )C = AC + BC iv) AI = A ( IA = A) ( I là MT đơn vị) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

(B+C)

Ví dụ:

1 5    2 −1 5 0    1 5   7 −1  27 4  7 2    3 4  + 1 −3 ÷ =  7 2   4 1  =  57 −5          

A(B+C)

1 5    2 −1 5 0    1 5   2 −1  1 5  5 0  7 2    3 4  + 1 −3 ÷ =  7 2   3 4  +  7 2 1 −3            17 19  10 −15  27 4  = + =    20 1 37 − 6 57 − 5      

AB

AC

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: 1 5 7  1 0 0  1 5 7  AI = 8 4 2  0 1 0  = 8 4 2  = A 3 1 0  0 0 1  3 1 0  1 0 0  1 5 7  1 5 7  IA = 0 1 0  8 4 2  = 8 4 2  = A 0 0 1  3 1 0  3 1 0  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Ví dụ: Cho Tính f(A)? 

Ta có:

Đại S

f ( x) = x +và3x − 5 2

yến T u T ố

3 5  A=  1 4 

f ( A) = A2 + 3 A − 5I 2 2

3 5  3 5  1 0  = + 3 −5    1 4 1 4 0 1       3 5  3 5  9 15  −5 0  = + +      1 4 1 4 3 12 0 − 5    1  4 44 2  4 4 43

AA

=

14 35  7 21 +  

 4 15 18 50   3 7  = 10 28     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

2 f ( x ) = x + 3x − 4 Bài tập: Cho

và ma trận

1 2 3  A =  0 3 4   0 0 2 

Tính f(A) =?

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

f ( A) = A + 3 A − 4 I 3 2

1 2 3  1 2 3  1 2 3  1 0 0          =  0 3 4   0 3 4  + 3  0 3 4  − 4 0 1 0  0 0 2  0 0 2  0 0 2  0 0 1 

0 14 26    = 0 14 32  0 0 6  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Bài Tập: cho

Đại S

yến T u T ố

f ( x) = − x + 2 x + 3 2

1 5  A= , f ( A) = ?  0 4

f ( A) = − A + 2 A + 3I 2 2

1 5  1 5  1 5  1 0  f ( A) = −  + 2 + 3      0 4 0 4 0 4 0 1         4 −15 =  0 − 5  

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

Bài tập: Cho

Tính

Đại S

yến T u T ố

2 0 0 2 0  A =  3 −1 0  ; B = 1 −3  4 −2 5   4 5 

AB; A2 ; AT A; AB − 3B.

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑  1.

2.

3.

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận: Nhân một số khác không với một hàng λ hi (cột) của ma trận. Ký hiệu: A → B Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hi ↔ h j hiệu: A → B Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác hi + λ h j  không.AKý hiệu:→ B

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


§1: Ma Trận

∑ 

ính

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình -5=-1+(-2)2 thang. 1 2   −4   −1

Đại S

yến T u T ố

1 2 1 −1 5 7

2 3

0 1 1 2 3  h2 + ( −2) h1 0 -1? -5  → h + 4 h −1 h + 1h 0 9 10 -1   0 8 5 2 2 3

4

1

1

0 3   

Ta làm cho phần dưới  Ta ?=1+(-2)1=-1 lặp lại như trên cho đường chéo chính = 0. phần ma trận này Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận

∑ 1 2   −4   −1

1 2 1 −1 5 7

2 3

Đại S

yến T u T ố

ính

0 1 1 2 0  3  h2 + ( −2) h1 0 −1 −5 3   → h3 + 4 h1 0 9 10 −1 −1 h4 +1h1    2 0 8 5 2 

1 1 2 0  2 0 1 1 0 −1 −5 3  h3 + 9h2  0 −1 −5 3  h + ( −1) h     → → 0 0 −35 26  0 -35 26 h4 + 8h2  0     0 0 0 0 0 0 -35 26 4

3

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:  0 2 −1 2 1 3   2 1 3  h1 ↔ h2   2 h3 + ( −3) h1   →  0 2 −1��� →  3 0 5   3 0 5 

2 1 3  2 1 3  h3 + 3h2    0 2 −1 2→ 0 2 − 1      0 0 -1  0 -3 1 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

ính

Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:

1 2  4   −3

2 −1 0  1 2   3 0 5  h2 − 2h1 0-1 → 1 2 0  h3 − 4h1 0-7  h4 + 3h1  0 5 7 0 6

−1 0   h − 7h 2 5  3 2 6 0  h + 6h 2  4 2 7  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn


§1: Ma Trận 1 2 −1 0  0 −1 2  5   8h4 + 14h3 0 0 −8 −35   0 0 14 37 

Đại S

yến T u T ố

0  1 2 −1 0 −1 2  5   0 0 −8 −35    0 0 0 − 194  

8.37 + 14(−35) = −194

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:

 −1 −1 −2 3   −1 −1 −2 3  3 4 0 −1 h + 3h   1 0 2 1    →  −2 4 3 2  h3 − 2h1  0      0 − 2 1 − 4   0  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


∑ 

§1: Ma Trận

Đại S

yến T u T ố

Bài tập: Giải hệ phương trình:

 x + 2y − z = 6 1 2 −1 6     3 x − y + 2 z = − 1 ↔  3 −1 2 −1  4 x + 3 y + 5 z = 5  4 3 5 5   1 2 −1 6    − − → 0 −7 5 −19  0 0 38 −38 

x = 1  ⇒ y = 2  z = −1 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


Đại S

yến T u T ố

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

ính


01 Ma Tran - bookbooming