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1. Un reloj se atrasa 5 minutos cada hora. Si se sincroniza a las 7:00 am con otro que marca la hora correcta. ¿Qu´e hora marcar´a el reloj defectuoso cuando el bueno marque la 1:00 pm del d´ıa siguiente? Soluci´on En una hora el reloj defectuoso se atrasa 5 minutos por lo que en 30 horas (tiempo transcurrido desde las 7:00 am a la 1:00 pm del d´ıa siguiente) se atrasa 5 · 30 = 150 minutos que equivale a 2 horas y 30 minutos. As´ı el reloj defectuoso marcar´a las 10:30 am. Respuesta correcta: opci´on B. "p 2. Una expresi´on equivalente a

(3x + 4y)(4y − 3x) + 9x2 2y

#3 con x > 0 y y > 0

corresponde a: Soluci´on

#3 " p #3 "p (3x + 4y)(4y − 3x) + 9x2 16y 2 − 9x2 + 9x2 = Al desarrollar la expresi´on dada se obtiene, 2y 2y "p #3   3 16y 2 4y = = 23 = 8 2y 2y Respuesta correcta: opci´on C.


3. Si el ayer del pasado ma˜ nana del ma˜ nana de anteayer de ma˜ nana es jueves, ¿Qu´e d´ıa fue ayer? Soluci´on Respuesta correcta: opci´on A.

4. Considere un tri´angulo ABC con m∠BAC = 80◦ . Si D, E, F son puntos sobre los lados BC, AC, AB respectivamente tales que CE = CD y BF = BD entonces m∠EDF es igual a: Soluci´on

m∠EDF = 180◦ − m∠EDC − m∠F DB 1 1 = 180◦ − (180◦ − m∠ACB) − (180◦ − m∠ABC) 2 2 1 = (m∠ACB + m∠ABC) 2 1 = (180◦ − m∠BAC) 2 = 50◦

Respuesta correcta: opci´on C.

por ser CE = CD y BF = BD


5. Considere un tri´angulo ADE con m∠ADE = 140◦ . Si los puntos B y C est´an sobre los lados AD y AE respectivamente con B 6= D, C 6= E y si adem´as AB = BC = CD = ED entonces m∠EAD corresponde a: Soluci´on Sean B, C dos puntos est´an sobre los lados AD, AE con B 6= D, C 6= E y trace los segmentos BC y CD. Como en el tri´angulo ABC, AB = BC por el teorema del a´ngulo externo se tiene que m∠DBC = m∠EAD + m∠ACB = 2(m∠EAD). Tambi´en por el teorema del a´ngulo externo esta vez aplicado en el tri´angulo ACD, y usando que CD = ED se tiene m∠DEC = m∠DCE = m∠EAD + m∠ADC = m∠EAD + 2(m∠DAE) = 3(m∠EAD). Como la suma de los ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦ en el tri´angulo ADE se tiene que 180◦ = m∠EAD+m∠ADE+m∠DEC = m∠EAD+140◦ +3(m∠EAD) = 140◦ +4(m∠EAD) lo que implica que m∠EAD = 10◦ . Respuesta correcta: opci´on B.

6. Al racionalizar el denominador de

x−1 √ y simplificar se obtiene una expresi´on cuyo 2− x+3

denominador es: Soluci´on x−1 √ 2− x+3

= = = =

√ x−1 2+ x+3 √ √ · 2− x+3 2+ x+3 √ (x − 1)(2 + x + 3) 4 − (x + 3) √ (x − 1)(2 + x + 3) 1−x √ −(2 + x + 3)

Por lo tanto el denominador es 1 Respuesta correcta: opci´on B.


7. Considere los trapecios rect´agulos de la figura adjunta. Si AD = 4, AB = 6, DC = 9 y el a´rea del trapecio EFBC es 22, entonces la medida de DE es: A

F

D

E

B

C

Soluci´on aEF BC =

(F B+EC) 2

· AD

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

22 = (AB−AF +DC−DE) ·4 2 22 = 2(6 + 9 − 2AF ) 11 = 15 − 2DE 2DE = 15 − 11 2DE = 4 DE = 2

Respuesta correcta: opci´on A. 8. La menor cantidad de puntos coplanares en los que no est´an tres colineales que se requieren para definir 60 rectas corresponde a: Soluci´on Como el n´ umero de rectas (NR) que se pueden determinar dada n cantidad de puntos coplanares que no se encuentren tres colineales est´a determinado por: NR =

n(n − 1) 2

Sustituyendo por n = 11 tenemos, NR =

11(11 − 1) 11 · 10 = = 55 2 2

Sustituyendo por n = 12 tenemos, NR =

Respuesta correcta: opci´on C.

12(12 − 1) 12 · 11 = = 66 2 2


9. Sean a, b, c n´ umeros enteros positivos tales que ac = b, bc = 12 y c = 2b, determine el valor de abc. Soluci´on Como b = ac entonces tenemos que: bc = 12 ⇒ ac · c = 12 Pero como c = 2b entonces acc = 12 ⇒ ac · 2b = 12 ⇒a·b·c=6 Respuesta correcta: opci´on B. 10. Una expresi´on equivalente a (x −

√ 2)(x 2 − 2) corresponde a: Soluci´on

(x −

√ √ √ √ √ 2)( 2x − 2) = 2x2 − 2x − 2x + 2 2 = 2x2 − 4x + 2 2

√ √ ahora tenemos que 4 = (−4)2 − 4 2 · 2 2 = 0 √ 2 √ 1 √ 2x − 4x + 2 2 = √ (x 2 − 2) 2 Respuesta correcta: opci´on: C. Y as´ı tenemos que


11. Se construye un rompecabezas recortando un cuadrado en cinco tri´angulos, un cuadrado y un paralelogramo tal y como se muestra en la figura. Si el ´area del cuadrado original es 1dm2 , entonces el a´rea del paralelogramo es:

Soluci´on Observe que el cuadrado original puede dividirse en 16 tri´angulos congruentes como se muestra en la figura

Como el paralelogramo est´a compuesto por dos de los tri´angulos congruentes, entonces el 2 a´rea del paralelogramo es 16 = 18 del a´rea del cuadrado y por lo tanto corresponde a su a´rea pues el cuadrado es de 1 dm2 de ´area. Respuesta correcta: opci´on A. 12. En el tri´angulo 4ABC, ∠A = 600 , ∠B = 450 , AB = 41cm, AC = 30cm y D es un punto del lado BC tal que AD es la bisectriz del ∠A. Entonces, la longitud en cent´ımetros de AD corresponde a: Soluci´on Como AD es bisectriz entonces ∠BAD = ∠DAC = 30◦ y por la suma de los a´ngulos internos del tri´angulo ∠ACB = 180◦ − ∠A − ∠B = 75◦ y tambien ∠ADC = 180◦ − ∠DAC − ∠ACD = 75◦ . As´ı, 4ADC es is´osceles y AD = AC = 30. Respuesta correcta: opci´on C.


13. La probalidad de que al tomar un n´ umero entre 401 y 700 incluy´endolos, el n´ umero tenga sus tres cifras diferentes corresponde a: Soluci´on Entre 401 y 700 hay 700 − 401 + 1 = 300 n´ umeros. Si son de la forma abc, a tiene 3 posibilidades (4, 5 o 6). El siguiente d´ıgito b o c tiene 9 posibilidades (cualquier d´ıgito excepto el usado en a) y el u ´ltimo d´ıgito tiene 8 posibilidades (cualquiera excepto los = 18 . otros dos). Entonces la probabilidad es 3·9·8 300 25 Respuesta correcta: opci´on A. 14. En una bolsa de 200 confites hay 110 de frutas y el resto de leche. La cantidad de confites de frutas que hay que agregar a la bolsa para que el total sean el 70% de la bolsa es: Soluci´on Sea x la cantidad de confites de frutas que hay que agregar a la bolsa. En la bolsa habr´a 200 + x confites de los cuales 110 + x debe ser el 70% por lo que 110 + x = (200 + x)70%

110 + x = (200 + x)

70 100

11000 + 100x = 14000 + 70x

100x − 70x = 14000 − 11000

30x = 3000

x = 100 Respuesta correcta: opci´on B.


15. La expresi´on

√ 2 √3 (2− 3)2

√ 2 √3 (2+ 3)2

es igual a: Soluci´on

√ √ 2 √3 2 √3 − 2 2 (2− √ 3) √ (2+ √3) 2 3(7−4 3−7+4 3) √ 72 −42 32

=

√ √ 2√ 3 √ 2√ 3 √ − 22 −4 3+ 32 22 +4 3+ 32 √ √ √ 16 9 2 3·8 3 = 1 = 48 49−48

=

√ 2 √ 3 7−4 3

√ 2 √ 3 7+4 3

=

√ √ √ √ 2 3(7+4 3)−2 3(7−4 3) √ √ (7−4 3)(7+4 3)

=

= Respuesta correcta: opci´on C.

16. Se tienen cuadrados de lado 1, 2 y 3. La menor cantidad de cuadrados que se deben usar para completar un cuadrado de al menos uno de cada uno es: Soluci´on Con uno de lado 3, tres de lado 2 y cuatro de lado 1 se hace uno de lado 5. Si hay dos de lado 3, deber´ıan haber por lo menos 9 cuadrados m´as. Ahora, deben haber exactamente tres de lado 2 porque de haber m´as aumenta la dimensi´on y el n´ umero de cuadros usados. Por lo tanto, el m´ınimo es de 8 cuadros. Respuesta correcta: opci´on C.


17. Si r k s determine el valor de x

30

r x

s 2x + 15

Soluci´on Considere la siguiente figura. I H r

A

30 B x 30 C G

D x K 2x+15

E

s

F

m∠DEF = x puesto que son a´ngulos alternos internos entre paralelas. Por otra parte ∠HBI ∼ ´ltimo debido a que la medida = ∠GBC pues son opuestos por el v´ertice. Por u de un ´angulo externo es igual a la suma de las medidas de los dos ´angulos internos no adyacentes se cumple que: 30 + x = 2x + 15 de donde se obtiene que x = 15. Respuesta correcta: opci´on B.


18. La soluci´on de la ecuaci´on

x2

5 6 12 + = corresponde a: −1 x+1 2x + 1 Soluci´on

⇒ ⇒ ⇒

5 6 12 + = x2 − 1 x + 1 2x + 1 6 12 5 + = (x − 1)(x + 1) x + 1 2x + 1 5 + 6(x − 1) 12 = (x − 1)(x + 1) 2x + 1 12 6x − 1 = (x − 1)(x + 1) 2x + 1

  −1 ⇒ (6x − 1)(2x + 1) = 12(x − 1)(x + 1), x 6= 1, −1, 2 ⇒ 12x2 + 4x − 1 = 12x2 − 12 ⇒ 4x = −11 11 4 Respuesta correcta: opci´on A. ⇒ x=−

19. La soluci´on de la inecuaci´on −5 ≤

â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 3x < 10 es: 2 Soluci´on

â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2030;¤

â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 3x < 10 2

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;10 â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 3x < 20

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;3x < 24

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;24 < 3x â&#x2030;¤ 6

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;8 < x â&#x2030;¤ 2

24 6 <xâ&#x2030;¤ 3 3

Respuesta correcta: opci´on A.


20. Al dividir dos n´ umeros el cociente es 3 y el residuo es 7. Si la diferencia entre los n´ umeros es 257. ¿Cu´al es el mayor de los n´ umeros? Soluci´on Sean a y b los n´ umeros, a > b. El sistema de ecuaciones lineales que resuelve el problema es el siguiente: ( a = 3b + 7 (1) a − b = 257 (2) Sustituyendo (1) en (2) se obtiene: 3b + 7 − b = 257 ⇒ b = 125 ⇒ a = 3 · 125 + 7 = 382 Respuesta correcta: opci´on C.

21. Llamamos n´ umero sincero a un n´ umero entero positivo en el que ninguno de sus d´ıgitos es cero. La cantidad de n´ umeros sinceros menores que 2000 es: Soluci´on Observe que hay 9 n´ umeros sinceros menores que 10. Entre 10 y 100 hay 9 · 9 = 81 (9 en cada decena). Adem´as entre 100 y 200 hay 92 n´ umeros sinceros, igualmente ocurre en las centenas siguientes, por lo que entre 100 y 1000 hay 93 = 729. Entre 1000 y 2000 ocurre exactamente lo mismo, es decir, hay otros 729. En total hay 9 + 81 + 729 + 729 = 1548 n´ umeros sinceros menores que 2000 Respuesta correcta: opci´on B.


22. El ABCD es un cuadrado y el 4BCE es rect´angulo. Si las medidas de los lados de la figura son n´ umeros enteros y el per´ımetro de la figura es 20, entonces el a´rea de la figura es: D

C

A

B

E

Soluci´on Sea CE = x y BE = y, por pit´agoras tenemos `2 + x2 = y 2 ; veamos casos. Si ` = 1 entonces x + y = 17, as´ı x = 17 − y entonces 1 + (17 − y)2 1 + 172 − 34y + y 2 290 34

= y2 = y2 =y

no entero

Si ` = 2 entonces x + y = 14 as´ı x = 14 − y entonces 22 + 142 200 28

= 28y =y

no entero.

Si ` = 3, entonces x + y = 11, as´ı 9 + 112 130 22

= 22y =y

Si ` = 4, entonces x + y = 8 as´ı 16 + 64

= 16y =y 5 =y

80 16

As´ı x = 3 y el a´rea de la figura es 22. Respuesta correcta: opci´on B.


23. Existe m´as de un n´ umero entero positivo mayor que 1 que cuando se divide por todo entero k con 2 ≤ k ≤ 11 su residuo es 1. ¿Cu´al es la diferencia entre los dos n´ umeros m´as peque˜ nos con esa propiedad? Soluci´on Un n´ umero entero positivo x tiene residuo 1 cuando se divide por cualquier entero entre 2 y 11, si x = ab + 1 donde b es un entero no negativo y a es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 2, 3, ..., 11, es decir, a = 22 · 32 · 5 · 7 · 11. Por tanto, los dos enteros menores con la propiedad tienen una diferencia de 27720. Respuesta correcta: opci´on C.


24. La cantidad de n´ umeros de tres d´ıgitos satisfacen que la suma de sus d´ıgitos es un cubo perfecto es: Nota: un n´ umero entero n se dice cubo perfecto si existe un n´ umero entero m tal que n = m3

Soluci´on Los u ´nicos cubos perfectos posibles que se pueden formar considerando s´olo los n´ umeros de 3 cifras son 1, 8 y 27, as´ı tenemos. Solo hay un n´ umero cuya suma de cifras es 1, el 100 y s´olo hay un n´ umero cuya suma de cifras es 27, el 999, ahora consideramos todos los n´ umeros cuyas cifras suman 8.

(a) Los n´ umeros de tres cifras distintas y que no contienen al cero, tenemos las triadas (1, 2, 5) y (1, 3, 4), cada triada genera 6 n´ umeros distintos, as´ı tenemos: en total 12 n´ umeros. (b) Los n´ umeros de tres cifras distintas que contienen al cero, tenemos las triadas (1, 0, 7), (2, 0, 6 y (3, 0, 5) cada triada genera 4 n´ umeros distintos, as´ı tenemos: en total 12 n´ umeros. (c) Los n´ umeros que contienen dos cifras iguales sin incluir el cero, tenemos las triadas (1, 1, 6), (2, 2, 4) y (3, 3, 6), cada triada genera 3 n´ umeros distintos, as´ı tenemos: en total 9 n´ umeros. (d) Adem´as se debe considerar al 800 y al 404.

∴ En total hay 36 n´ umeros de tres cifras que suman 8 y as´ı hay 38 n´ umeros que satisfacen la condici´on. Respuesta correcta: opci´on C.


25. La expresi´on

p √ √ 42 + 2 41 − 41 es equivalente a: Soluci´on

p √ √ 42 + 2 41 − 41

√ √ 41 + 2 41 + 1 − 41 q√ √ = ( 41 + 1)2 − 41 √ √ = 41 + 1 − 41 =1 =

p

Respuesta correcta: opci´on B.

Solucion II nivel  
Solucion II nivel  

Solución I Eliminatoria OLCOMA 2014 Segundo NIvel

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