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LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES 1


Competencias: . Definir la derivada de una función.

. Interpretar geométricamente la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una función. . Determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y mínimos de 2 una función en una variable.


La Pendiente de una Curva

ÂżUna curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva. Âży cuĂĄl es esta recta? 3


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

4


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

5


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

6


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

7


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

8


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

9


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

10


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

11


y

f ( x0 + h)

f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

12


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

13


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

14


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

15


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

16


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

17


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

18


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h

x0 + h

x

19


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0

x0 + h

x

h

20


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0

x0 + h

x

h

21


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 x + h 0

x

h

22


y

f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 x + h 0

x

h

23


y

f ( x0f+( xh)) 0

x0x + h 0

x

h

24


y

f ( x0f+( xh)) 0

xx0 + h 0

x

h

25


y

f ( x0f+( xh0)) xx00 + h

x

h

26


y

f ( x0f+( xh0)) 0 h x0x+

x

h

27


y

Tangente!!!

f ( x0f+( xh0)) x0 x+0h

x

28


y

f ( x0f+( xh0)) x0 +xh0

x

29


y

f ( x0f+( xh0)) x0 + hx0

x

30


y

f ( x0f+( xh0)) x0 + h x0

x

31


La Pendiente de una Curva y

f ( x0 + h)

∆y f ( x0 ) x0

∆x

x0 + h

x 32


La Pendiente de una Curva

f(x 0 + h) − f(x 0 ) m t = lim h →0 h Si h = ∆x

f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) m t = lim ∆x → 0 ∆x Es el límite de un cociente de incrementos

33


Ejemplo Determina la ecuación de la recta tangente a la curva que tiene por ecuación, y = 4 − x 2 en el punto de abscisa x = 1 y

x

34


Definición de Derivada

La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x es:

f(x + h) − f(x) f ´(x) = lim h →0 h siempre que el límite exista Nota 1: f es una función definida en un intervalo abierto que incluye a35 x.


Observación La derivada de una función es un límite. Nota 2: Para calcular ese límite se requiere que la función esté definida en el punto.

f(x + h) − f(x) f(x) − f(a) lim ⇔ lim h→ 0 x →a h x-a 36


REGLAS DE DERIVACIÓN

1. Sea f(x) = k, k ∈ ℜ entonces:

f ′( x ) = 0

2. Sea f(x) = x, entonces:

f ′( x ) = 1

D x (c) = 0

3. Sea f(x) = xn , n ∈ ℜ entonces: n −1

f ′( x ) = nx

4. Si f es derivable y c constante, se tiene: ′

( cf ( x ) )

= cf ′( x )

37


Reglas de Derivación 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que:

(αf ( x ) + βg ( x ) )

= α f ′( x ) + β g ′( x )

6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:

( f ( x) * g ( x) )

= f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x ) 38


Reglas de Derivación 7. Si f y g son funciones derivables y g (x) no es cero, entonces la derivada del cociente es:

 f ( x )  f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x )   = 2 g ( x)  g ( x)  8. Si f ( x) = [ g ( x)] yn ∈ ℜ , entonces la regla de la cadena se define por: n

f ′( x) = n[ g ( x)]

n −1

g ′( x ) 39


Observación Sea y = f(u) donde u = g(x)

y →u → x Si todas las derivadas involucradas existen, entonces otra forma de definir la REGLA DE LA CADENA es:

dy dy du = ∗ dx du dx

40


La funci贸n exponecial y=ex y la funci贸n logaritmo natural y= ln x

y

y = ex

e

y = ln x 1 1

e

x 41


Definición: Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si ex = y

Teorema Si p y q son números reales, entonces p i)

e ∗e = e p

q

p + q ii)

e p− q =e q e

iii)

(e )

p q

=e

pq

42


Derivadas de funciones EXP y LOG Derivada de funciones exponenciales f ′( x) = e x

i) f ( x) = e x ; ii) f ( x ) = e

g( x)

;

f ′( x) = e g ( x ) g ′( x )

Derivada de funciones logarítmicas i) f ( x) = ln x; ii) f ( x) = ln [ g ( x ) ];

1 x 1 f ′( x) = g ′( x) g ( x)

f ′( x) =

43


LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES 44


TEOREMA Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ’(c) = 0

45


PUNTOS CRITICOS Definición:

Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.

46


Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]

1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c Calcular f(a) y f(b) 3.

4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo. 47


TEOREMA

Sea f continua en [a, b] y derivab en (a, b), entonces: Si f ’(x)> 0 en (a, b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a,b] 48


Criterio de la primera derivada

c es un punto crítico de f y f es erivable alrededor de c, entonces:

Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c ntonces c es un punto de MÁXIMO local de f

Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c ntonces c es un punto de MÍNIMO local de f 49


TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) > +

0

la gráfica de f es cóncava hacia arriba en x = c 50


TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

< Si f ’’(c) -

0

la gráfica de f es cóncava hacia abajo en x = c 51


Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces, Si f ’’(c) > 0,

c es un punto de mínimo local

Si f ’’(c) < 0,

c es un punto de máximo local

52


Punto de inflexi贸n La gr谩fica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexi贸n si: 1 f es continua en c 2 La gr谩fica tiene tangente en el punto 3 La concavidad cambia de sentido en c 53


PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXION

i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: • Si f es •continua Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. • vertical) Si f ’’ cambia de signo

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Referencias

LA DERIVADA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N Y SUS APLICACIONES (2004). [Diapositiva de PowerPoint]. Recuperado de: http://beta.upc.edu.pe/matematica/Topesc/Unidad%20

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Cálculo iii corte