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Introducción a la Derivada

Antes de iniciar, es importante reflexionar… Dónde estoy, y a dónde voy?

Dominio del Lo que yo Fuerzas externas Cálculo que atacan quiero lograr!! Diferencial y r a s m a c o i t t a c Tá es n Posición actual o i Dónde estoy? c Ej. Apatía, irresponsabilidad ac distracciones, etc.


Introducción a la Derivada

Recordemos el camino trazado… Unidad 1. Funciones de una variable Unidad 2. Limites y continuidad

Unidad 3. La derivada Unidad 3. La derivada

Cálculo Diferencial

Unidad 4. Aplicaciones de la derivada

Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…

Y elanalizamos Ya También tema que funciones… limites iniciamos de hoy funciones… es….


Introducción a la Derivada

“La pregunta del millón…”

Qué es una derivada? ( un minuto de silencio…)

veamos un ejemplo...


Introducción a la Derivada

“La pregunta del millón…” Si tenemos una función definida por

y=x

La mayoría contestaría: “su derivada es:

2

y′ = 2 x

MUY BIEN!! ….. Pero……..

Qué es una derivada? “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”


Introducción a la Derivada

Algunos conceptos básicos.

La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente

Recta secante “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos”

“es una recta que tiene un punto en común con un circulo”

apliquemos lo anterior en una func


Introducci贸n a la Derivada

Algunos conceptos b谩sicos. Funci贸n original

La recta secante y la recta tangente en una funci贸n


Introducci贸n a la Derivada

Algunos conceptos b谩sicos.

La recta secante y la recta tangente en una funci贸n

Funci贸n original

Recta secante


Introducci贸n a la Derivada

Algunos conceptos b谩sicos.

La recta secante y la recta tangente en una funci贸n

Funci贸n original Recta tangente


Introducción a la Derivada

Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

( x2 , y2 ) y2 − y1

( x1 , y1 )

x2 − x1

y2 − y1 m= x2 − x1 Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!


Introducción a la Derivada

Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original

( x2 , y2 ) Recta secante

( x1 , y1 )

y2 − y1 m= x2 − x1


Introducción a la Derivada

Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto?

Recta tangente

( x1 , y1 )

y2 − y1 m= =? x2 − x1


Introducción a la Derivada

Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat

Rene Descartes

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos.

Cómo?


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

mtan

Observe que si hacemos Supongamos que deseamos diversas aproximaciones de rectas conocer la pendiente de la secantes, podemos hacer una recta tangente en X=1 muy buena estimaci贸n de la Pendiente de la recta tangente


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )


Introducci贸n a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan

( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )


Introducción a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

mtan

Observa que el punto

( x2 , y2 )

Cada vez se acerca más al punto

( x1 , y1 )

( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

Continuar

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Atajo


Introducción a la Derivada

La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

mtan =

y2 − y1 Aprox. msec x2 − x1

Procedemos a sustituir:

msec

y2 − y1 = x2 − x1


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

mtan =

y fy(2x− 2 ) −1 f ( x1 ) x2 x−2 x−1 x1

f ( x2 ) f ( x1 )

y2 − y1 y =mfsec( x=) x2 − x1

Considerando: Procedemos a sustituir:


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

∆x = x2 − x1

mtan =

f ((xx22))−−f (fx(1 )x1 ) x2 −∆xx1

Ahora Consideremos:

∆x = x2 − x1


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

∆x = x2 − x1

mtan =

f ( x2 ) − f ( x1 ) ∆x

Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que ∆x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

∆x = x2 − x1

mtan =

f ( x2 ) − f ( x1 ) ∆x

Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que ∆x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

∆x = x2 − x1

mtan =

f ( xf2 )( x−2 )f −( xf1 )( x1 ) lim ∆x ∆x ∆x → 0

Se puede observar que el punto ( x2 , y2 ) cada vez se aproxima más al punto ( x1 , y1 ) pero no llegará a tocarlo

Podemos expresar lo anterior así:

∆x → 0

Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así:


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

∆x = x2 − x1

mtan =

ff ((xx1 2+)∆−x)f−( xf 1()x1 ) lim ∆∆xx

∆x → 0

Finalmente considerando lo siguiente:

x2 = x1 + ∆x

La expresión nos queda así:


Introducción a la Derivada

La derivada.

mtan ( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

∆x = x2 − x1

mtan =

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) lim ∆x

∆x → 0

Finalmente considerando lo siguiente:

x2 = x1 + ∆x

La expresión nos queda así:


Introducción a la Derivada

La derivada. Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como:

=

La Derivada Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:

mtan =

f ( x1dy + ∆x) −Por f (su x1 )origen basado en lim dx ∆x incrementos

∆x → 0


Introducción a la Derivada

La derivada. f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) dy = lim ∆x dx ∆x → 0

Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:

Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es:

y=x

2

dy = 2x dx

Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Comprobemos lo anterior con una breve práctica..


Introducción a la Derivada

Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función:

Recordemos que la derivada esta definida por el límite:

Al evaluar el término

f ( x + ∆x )

se puede observar que:

y = f ( x) = x

2

dy f ( x + ∆x) − f ( x) = lim dx ∆x →0 ∆x

y = f ( x + ∆x) = ( x + ∆x) Al sustituirlo obtenemos:

2


Introducción a la Derivada

Aplicación del límite obtenido…. f ( x + ∆x)

f (x)

dy ( x + ∆x) − x = lim dx ∆x →0 ∆x 2

2

Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos:

dy ( x + 2 x(∆x) + (∆x) ) − x = lim dx ∆x→0 ∆x 2

dy 2 x(∆x) + (∆x) = lim dx ∆x→0 ∆x

2

2

2 Reduciendo términos:

Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:


Introducción a la Derivada

Aplicación del límite obtenido…. 0

dy 2 x (∆x) + (∆x) = lim = lim 2 x + lim ∆x ∆x →0 ∆x →0 dx ∆x →0 ∆x 2

Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:

Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es:

y=x

2

dy = 2x dx

as al desarrollo del límite anterior po alizar su aplicación en diversas funci como se muestra en la siguiente tab


liquemos la derivada para obtener ndientes de las rectas tangentes

Tomada de “El Cálculo” por Louis Leithold


Representación gráfica de:

7 6

y=x

5 4

La función que representa su derivada es:

3 2 1 −4

−3

−2

−1

1 −1 −2

2

2

3

4

5

dy = 2x dx


Representación gráfica de:

7 6

y=x

5 4

La función que representa su derivada es:

3 2

mmtantan==−?2 −4

−3

1 −2

−1

2

1

2

3

4

−1

5

dy = 2x dx

−2

mos conocer la pendiente de la recta Observe que:

x = −1

Al sustituir en la derivada el valor de X:

mtan

dy = = 2(−1) = −2 dx


Representación gráfica de:

7 6

y=x

5 4

La función que representa su derivada es:

3 2

mtan = −2 −4

−3

1 −2

−1

1 −1

2

2

3

4

5

dy = 2x dx

−2

mos obtener las pendientes de divers ocalizadas en la gráfica de una funció


Representación gráfica de:

7 6

y=x

5 4

La función que representa su derivada es:

3 2 1 −4

−3

−2

−1

1 −1

2

2

3

4

5

dy = 2x dx

−2

mos obtener las pendientes de divers ocalizadas en la gráfica de una funció


Referencias 

Solís C., F. (2007). La recta tangente y su relación con la derivada de una función [Diapositivas de PowerPoint]. Recuperado de: http ://yaqui.mxl.uabc.mx/~fsolisc/oda_la_derivada .

Cálculo ii corte