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INSTITUTO GUATEMALTECO AMERICANO 6o. Secretariado “B”

2013 M. Rebeca Barrueto T. (1) y A. Cristina Herrera M. (9)


ÍNDICE 1) Introducción 2) Conjuntos (a) Por extensión (b) Por comprensión 3) Formas de representar (a) Diagrama de Venn (b) Diagrama entre llaves 4) Operaciones entre conjuntos (a) Unión (b) Intersección (c) Diferencia (d) Diferencia Simétrica (e) Complemento 5) Clases de Conjuntos (a) Finito (b) Infinito (c) Unitario


(d) Vacío (e) Universal (f) Iguales (g) Disjunto 6) Anexo (Hoja de Trabajo) 7) Resumen (Summary) 8) Recomendaciones 9) Conclusiones 10) Bibliografía y E-grafía


INTRODUCCIÓN

A continuación se presentará una investigación acerca de los conjuntos matemáticos, su definición, las diferentes clases de conjuntos que existen así como sus formas de representarlos, también se explicarán los tipos de operaciones que en estos se pueden realizar, llevará consigo ejemplos de forma gráfica y descriptiva de cada elemento que se dará a conocer.


¿Qué es un Conjunto? Es una agrupación de elementos, no solo físicos sino también abstractos. Estos pueden tener algo en común.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras:  Por extensión: Es cuando se escriben cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo:

B= {rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, añil, violeta}

 Por comprensión: Es cuando solo se menciona una frase que represente a los elementos, sin nombrarlos. Ejemplo: A= {Números pares} B= {El conjunto de números naturales menores que 7} C= {El conjunto de los colores del arcoíris}

Los conjuntos se denominan

C= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

por las letras mayúsculas: A, B, C,...

A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}


A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} B= {rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, añil, violeta} C= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

A= {Números pares} B= {El conjunto de números naturales menores que 7} C= {El conjunto de los colores del arcoíris}


Formas de Representar un Conjunto  Diagrama de Venn Es donde se representa gráficamente la relación lógica que existe entre dos conjuntos, estos se representan mediante un círculo u ovalo.

Ejemplos:

1 2 3 4

5

02 4 6 8

6

10

7

 Diagrama entre llaves: Los elementos se encuentran entre llaves, y el conjunto va precedido del nombre del conjunto seguido del signo igual.

Ejemplos: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B= {0, 2, 4, 6, 8, 10}


Le贸n

Rosado

Oruga

Morado

Pez

Celeste Negro

A= {a, e, i, o, u} B= {0, 2, 4, 6, 8, 10}


B= {venus, Neptuno

Operaciones entre Conjuntos

Uni贸n

Es la uni贸n de los elementos que conforman dos o m谩s conjuntos en uno solo y se representa por el s铆mbolo U.

Ejemplo 1: A= {a, e, i, o, u}

M= {a, m, o, r}

A U M = {a, e, i, o, u, m, r} AUM

Ejemplo 2: A= {1, 3,5, 7} A U B= {1, 2, 3, 4, 5, 7} AUB

B= {1, 2, 3, 4, 5}


Ejemplo 1: A= {a, e, i, o, u}

M= {a, m, o, r}

A U M = {a, e, i, o, u, m, r} AUM

Ejemplo 2: A= {1, 3,5, 7} A U B= {1, 2, 3, 4, 5, 7} AUB

B= {1, 2, 3, 4, 5}


Intersección

Es la unión de los elementos que se repiten en dos o más conjuntos y se representa por el símbolo “∩”.

Ejemplo 1:

A= {a, e, i, o, u} M= {r, o, s, a} A ∩ M= {a, o}

Ejemplo 2: R= {1, 4, 5, 8} P= {2, 4, 6, 8} R ∩ P= {4, 8}


Ejemplo 1:

A= {a, e, i, o, u} M= {r, o, s, a} A ∩ M= {a, o}

Ejemplo 2: R= {1, 4, 5, 8} P= {2, 4, 6, 8} R ∩ P= {4, 8}


Es la operación que permite crear un nuevo

Diferencia

conjunto que agrupe a todos los elementos de

A que no pertenecen a B, el símbolo que se utiliza es - .

Ejemplo 1: A= {0, 1, 2, 3} B= {2, 3, 4, 5} A-B= {0, 1}

Ejemplo 2: A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o} A – B = {b, c, d}


Ejemplo 1:

A= {0, 1, 2, 3} B= {2, 3, 4, 5} A-B= {0, 1}

Ejemplo 2: A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o} B – A = {i, o}


Diferencia Simétrica

Es un conjunto que contiene todos los elementos de ambos conjuntos sin tomar en cuenta la intersección. Se representa por el símbolo ▲

Ejemplo 1: A= {0, 1, 2, 3} B= {2, 3, 4, 5} A ▲ B= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2: R= {león, gato, perro, pez} S= {pez, ave, león, cisne} R ▲ S= {gato, perro, ave, cisne}


Ejemplo 1: A= {0, 1, 2, 3} B= {2, 3, 4, 5} A ▲ B= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2: R= {león, gato, perro, pez} S= {pez, ave, león, cisne} R ▲ S= {gato, perro, ave, cisne}


Es el conjunto que contiene elementos que le

Complemento

faltaban al conjunto A para ser el conjunto universal. Para hallar el complemento de un conjunto siempre nos deben dar el conjunto universal

Ejemplo 1: U= {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2

A= {2, 3}

3

A’= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2: U= {pez, gato, perro, lobo, ciervo, león} A= {gato, lobo, ciervo} A’= {pez, perro, león} A’

U

Pez

Gato Lobo Ciervo

Perro

León


Ejemplo 1: U= {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2

A= {2, 3}

3

A’= {0, 1, 4, 5}

Ejemplo 2: U= {pez, gato, perro, lobo, ciervo, león} A= {gato, lobo, ciervo} A’= {pez, perro, león} A’

U

Pez

Gato Lobo Ciervo

Perro

León


El producto cartesiano de dos conjuntos A y B,

Producto

denotado A x B, es el conjunto de todos los

Cartesiano

posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.

Ejemplo 1: A= {

,

}

B= {

,

,

}

Representaci贸n en forma de Tabla

,

,

,

,

,

,

Representaci贸n en forma de Diagrama


Ejemplo 1: A= {

,

}

B= {

,

,

}

,

,

,

,

,

,


La segunda componente de cada elemento del producto

cartesiano es la ordenada

Producto Cartesiano

La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la ABSCISA


Clases de Conjuntos

Finito

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.

Ejemplos: A= (1, 2, 3, 4) Infinito

B= (a, e, i, o, u) Es el conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos.

Ejemplos: B = {x/x son las estrellas del universo} Z= (x/x es la arena del mar) Unitario

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento.

Ejemplos: A= (2)

B= (manzana)

VacĂ­o

Se trata del conjunto que no tiene elementos y se representa por un cĂ­rculo con una lĂ­nea atravesada.

Ejemplos: A= (

)

R= (

)


Ejemplos: A= (1, 2, 3, 4)

B= (a, e, i, o, u)

Ejemplos: B = {x/x son las estrellas del universo} Z= (x/x es la arena del mar)

Ejemplos: A= (2)

B= (manzana)

Ejemplos: A= (


Universal

Es el conjunto que contiene a otros conjuntos dentro sí.

Ejemplos: A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 3, 4}

C = {6, 7, 8, 9}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} R= (a, b)

U=(a, b, c)

Son los conjuntos que tienen los mismos

Iguales

elementos.

Ejemplos: A= (2, 6)

B= (6, 2)

C= (pato, perro) D= (perro, pato)

Disjunto

Es cuando dos o más conjuntos no tienen elementos en común

Ejemplos: A= (1, 2 ,3)

B= (4, 5, 6)

F= (María, Pedro, Juan)

G= (José, Lucas, Lucia)


Ejemplos: A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 3, 4}

C = {6, 7, 8, 9}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} R= (a, b)

U=(a, b, c)

Ejemplos: A= (2, 6)

B= (6, 2)

C= (pato, perro) D= (perro, pato)

Ejemplos: A= (1, 2 ,3)

B= (4, 5, 6)

F= (MarĂ­a, Pedro, Juan)

G= (JosĂŠ, Lucas, Lucia)


ANEXO (HOJA DE TRABAJO) Instrucciones; Resolver del inciso 1-5 de forma de diagrama de Venn y entre llaves. 6-10 únicamente entre llaves. 1. Hallar A U B A = {1, 2, 3, 4}; B= {2, 4, 6, 8}; C = {3, 4, 5, 6} 2. Hallar A∩B Dados los conjuntos A= {2, 4, 6, 8, 10} B= {1, 2, 3, 4, 5} 3. Hallar A ▲ B A= {pez, cocodrilo, gato, perro, rata} B= {gorila, elefante, pez, gato, murciélago} 4. Hallar A-B A= {verde, rosa, naranja, azul, negro} B= {azul, corinto, amarillo, gris, rosa}


5. Hallar el Complemento de A (A’) U= {Luis, Verónica, Marta, José, Juan, Carla, Rosario} A= {Verónica, José, Carla} 6. Dé un ejemplo de un conjunto vacío. 7. Dé un ejemplo de un conjunto finito. 8. Dé un ejemplo de un conjunto igual. 9. Dé un ejemplo de un conjunto infinito. 10. Dé un ejemplo de un conjunto universal.


1. Hallar A U B A = {1, 2, 3, 4}; B= {2, 4, 6, 8} Solución: A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

2. Hallar A∩B Dados los conjuntos A= {2, 4, 6, 8, 10} B= {1, 2, 3, 4, 5} Solución A ∩ B = {2, 4}

3. Hallar A ▲ B A= {pez, cocodrilo, gato, perro, rata} B= {gorila, elefante, pez, gato, murciélago} Solución A ▲ B = {cocodrilo, perro, rata, elefante, murciélago, gorila}


4. Hallar A-B A= {verde, rosa, naranja, azul, negro} B= {azul, corinto, amarillo, gris, rosa} Solución A -B= {verde, naranja, negro}

5. Hallar el Complemento de A (A’) U= {Luis, Verónica, Marta, José, Juan, Carla, Rosario} A= {Verónica, José, Carla} Solución A'= {Luis, Marta, Juan, Rosario}


6. Dé un ejemplo de un conjunto unitario. R= (sol) 7. Dé un ejemplo de un conjunto finito. F = {El conjunto de los colores primarios} 8. Dé un ejemplo de un conjunto igual. C= (María, Ana) D= (María, Ana) 9. Dé un ejemplo de un conjunto infinito. D=( x/x son los animales acuáticos) 10. Dé un ejemplo de un conjunto universal. U = {manzana, pera, fresa, mora, banano, mandarina}

A = {mandarina, banano}

B = {pera, fresa}


SUMMARY Sets are group’s which includes elements that can have something in common, these are physical and abstract elements, it can be determinate by extension or comprehension. By extension we want to say that describes each element of the set and by comprehension is when only mentioned a phrase that represent elements of the set without named each one. Sets also can be represented by Venn Diagrams and between keys. Venn diagram are in which represent the relation that exist between sets, these are represented by circles and ovals. On the contrary of Venn diagram, Keys Diagram is the letter that defines the set, continued by the equal sign and the keys grouped the set. The types of sets are seven these are: 1. Universal: Is when sets have other sets. 2. Infinity: This set has an unlimited quantity of elements. 3. Finite: Have a limited quantity of elements. 4. Unitary: It has only one element. 5. Equal: Sets have the same elements. 6. Empty: It doesn’t have elements. 7. Disjoint: Sets doesn’t have elements in common.


Also, we can make operations with sets for example:  Union: Is when joining elements of two or more sets into one.  Intersection: Is when joining only the elements in common between sets.  Difference: Is when grouped elements from A that doesn’t belongs to B.  Symmetric difference: This operation has elements of both sets without the intersection.  Complement: This set has elements that missing in other set to become the universal set, and always people give us the universal set to find the elements. As we can see mathematics sets have different classes, operations, demonstrations in which describe how useful work in sets up for real life is. It is good to investigate and know the different meanings that words can have, because for us can be only words but when we search the meaning we can see that it means different depends the branch in which you work. In conclusion we can see that if we use sets correctly we obtain a good learning, also it is something basic that teach us to grouped different elements of real life for example: numbers, vocals, animals, etc. It is interesting how intersection, union and all of the set operations doesn’t have operation signs like we know, but they created special signs to make this kind of operations, and it is good for learning because it is a funny way and different of explain both children and adults


RECOMENDACIONES

 Es bueno aprender y conocer las características básicas de lo que podemos hacer con los conjuntos, ya que se pueden realizar operaciones como la unión, intersección, etcétera.

 Conocer el significado de las palabras es bueno porque nos ayuda

a

aprender

a

diferenciar

entre

el

significado

matemático y del idioma español.

 Es de suma utilidad los conjuntos ya que estos se pueden explicar con el diario vivir de las personas y formar ejemplos.


RECOMMENDATIONS

-

It is good to know and learn the basic characteristics of what we can do with sets, because you can make operations like union, intersection, difference etc.

-

Know the meaning of the words is good because we learn to difference about the mathematic meaning and normal language also when we speak we can compare with a lot of branches we have around the world.

-

It is very useful learn sets because we can explain them with the real life of the people and make examples of this.


CONCLUSIÓN

Con este trabajo aprendimos más sobre lo que es conjuntos en general, sus aplicaciones, clases, operaciones y así mismo sus definiciones esto nos ayudó ya que ahora podremos manejar significados reales acerca de los conjuntos matemáticos, también aprendimos las diferentes operaciones que conlleva este tema, fue interesante ver que los ejemplos demostrados se pueden relacionar con la vida real.


CONCLUSION

With this investigation we learn more about general meanings of sets, their applications, classes, operations and their definitions, this help us because now we can handle their real meanings when we talk about mathematic sets, also we learn the different operations that has this topic. It was interesting saw the examples shown because we can relate it to the real life.


BIBLIOGRAFÍA ALGEBRA INTERMEDIA. UN ENFOQUE DEL MUNDO REAL Autor:

Ignacio Bello Edición: 01

Fecha de publicación: 01-MAY-09

E-GRAFÍA  http://matematicaadaptada1.blogspot.com/2011/09/clasesde-conjuntos.html  http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_ didacticos/conjuntos_y_operaciones_agsm/conjuntos_33.ht ml  http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm  http://www.google.com.gt/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1& source=web&cd=7&ved=0CE8QFjAG&url=http%3A%2F%2Fes .scribd.com%2Fdoc%2F7652194%2F2-Operaciones-EntreConjuntos&ei=FLsRUcP8FpSE9gTtoIGYCA&usg=AFQjCNE THTEWDi1BBCvq_klpZIZdB28mwQ  http://artigoo.com/clases-de-conjuntos

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