Page 1


RenĂŠ Descartes was een Franse filosoof en wiskundige. Descartes heeft enorm belangrijke ontdekkingen gedaan binnen de wiskunde. Een van zijn uitvindingen was om variabelen aan te geven met de letters x, y en z. Denk daar maar aan, de volgende keer als je een vergelijking uitschrijft.


Hartelijk welkom in Wizz! Ga er eens even lekker voor zitten en geniet van de artikelen die we voor jou hebben geschreven. In dit magazine kun je onder andere lezen over bitch fights, datingsites, films en transseksualiteit. Als je je afvraagt wat de verbindende factor is, dan is ons antwoord: wiskunde! Waarschijnlijk geloof je dat niet, dus ga het vooral zelf ontdekken in dit magazine. Veel plezier!

Inhoudsopgave 3

Bitch Fights in de wiskunde

6

Filmrecensie: A Beautiful Mind

7

Een dagje wiskunde studeren

9

Wiskunde is af? Nooit!

12

Wiskunde gedichtjes

13

Spelrecensie: Big Brain Academy

15

Hoe overleef je zonder rekenmachine?

19

Wiskunde humor

20

Wiskundig denken

21

Wiskunde vind jou prins op het witte paard!

23

Wiskunde in je profiel

26

Wiskundig denken: Antwoorden


Bitch fights in Vind jij het ook zo vervelend als je klasgenoot jouw (wiskunde) huiswerk wil overschrijven? Hoe zou jij reageren? Waarschijnlijk niet door je klasgenoot uit te dagen voor een wiskunde wedstrijd. Je zou denken dat de beroemde wetenschappers van vroeger heel netjes en beschaafd waren… Nou, de oude wiskundigen wisten heel goed hoe ze ruzie moesten maken! Dus zet ‘Onderweg naar morgen’ maar aan de kant, er is een nieuw soap: ‘Onderweg naar wiskunde’!

Tartaglia vs. Cardano

Het conflict tussen Tartaglia en Cardano ging over de oplossing van een derdegraads vergelijking (zie kader). We reizen terug in de tijd naar de zestiende eeuw. In Venetië woonde de arme wiskunde-leermeester die iedereen Tartaglia noemde. Dit was een bijnaam die hij te danken had aan een wond in zijn mond waardoor hij moeite had met praten, ‘tartagliare’ betekent stotteren. In 1535 ontdekte Tartaglia een regel waarmee hij een derdegraads vergelijking kon oplossen. Hij maakte deze methode echter niet bekend. In 1539 kwam een befaamd arts uit Milaan, Girolamo Cardano, er achter dat Tartaglia de oplossing had gevonden voor het probleem van de derdegraads vergelijking. Cardano was naast zijn beroep als arts ook zeer geïnteresseerd in de wiskunde en wilde daarom zeer graag weten hoe Tartaglia een derdegraads vergelijking kon oplossen.

Op 25 maart 1539 kwamen de twee bij elkaar in Milaan en daar vertelde Tartaglia zijn geheim aan Cardano, nadat deze gezworen had het aan niemand anders door te vertellen. Deze eed van geheimhouding betekende echter weinig voor Cardano die in 1545 Tartaglia’s methode publiceerde in zijn boek Ars Magna. Ondanks het feit dat Cardano in zijn boek schreef dat Tartaglia de oplossing had bedacht, was de laatstgenoemde woedend! De strijd die hier op volgde werd uitgevochten door Tartaglia en Ludovico Ferrari, een leerling van Cardano, die zijn meesters eer wilde verdedigen. En wat is nou een betere manier om zo’n geschil op te lossen dan een echte wiskundewedstrijd? Tartaglia en Ferrari daagden elkaar uit door elkaar steeds moeilijkere, wiskundige vraagstukken op te sturen. Zeer vermoeiend voor hen, maar uit dit gevecht zijn een paar mooie ontdekkingen gekomen!


de wiskunde Derdegraadsvergelijkingen Een derdegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax3 bx 2 cx d 0 . Zoals een tweedegraadsvergelijking op te lossen is met de ABC-formule, wilde men heel graag een soortgelijke formule hebben om een derdegraadsvergelijking op te lossen. 3 px q was al gevonden door De oplossing van een derdegraadsvergelijking van de vorm x e Scipione Ferro in het eerste of tweede decennium van de 16 eeuw. Deze oplossing werd echter niet bekend gemaakt en Tartaglia herontdekte deze oplossing later. Deze oplossing was van de vorm:

x

3

p3 27

q2 4

q 2

3

p3 27

q2 4

q 2

Newton vs. Leibniz

Sir Isaac Newton en Gottfried Leibniz worden beschouwd als de grondleggers van de hedendaagse calculus (zie kader). Beide mannen beweerden dat zij de calculus hadden uitgevonden, wat hier op volgde was een levenslange twist. In 1665-1666 ontwikkelde Newton zijn methode, die hij de fluxierekening noemde, hij publiceerde deze echter nog niet. Een aantal jaren later, in de periode 1673-1676 ontwikkelde Leibniz zijn eigen methode en hij publiceerde deze in 1684. Leibniz heeft tijdens de rest van zijn leven veel commentaar te verduren gekregen. Veel

mensen dachten dat hij de calculus niet zelf had uitgevonden maar slechts Newtons werk op een andere manier had opgeschreven. Heel opmerkelijk is dat niemand scheen te twijfelen aan Newtons bewering dat hij als eerst de calculus had uitgevonden, terwijl hij hier nog niks over gepubliceerd had en de documenten die bewezen dat hij gelijk had werden pas na zijn dood gevonden. Een aantal jaren na Leibniz’ publicatie was het weer rustig, Newton en Leibniz hadden min of meer elkaars werk geaccepteerd. Maar rond de eeuwwisseling laaide het vuur opeens weer op. Dit keer waren het niet


Calculus Dus Leibniz en Newton hebben de calculus uitgevonden? Leuk voor ze, maar wat betekent dat nou precies? Het woord calculus is Latijn voor een kleine steen die vroeger werd gebruikt om te tellen. Het woord wordt tegenwoordig gebruikt om de richting van de wiskunde aan te duiden die onder andere te maken heeft met functies, afgeleiden, integralen en limieten. Voor de mensen die al bekend zijn met deze termen, calculus gaat vooral over differentiëren en integreren. In de tijd vóór Newton en Leibniz bestonden er al wel functies, maar een methode om afgeleiden te bepalen, met als doel om de maxima en minima van een functie te bepalen, was er nog niet.

zozeer Leibniz en Newton die elkaar aanvlogen maar hun volgelingen. Leibniz kreeg het zwaar te verduren en werd vaak beschuldigd dat hij Newtons werk had overgeschreven. Het ging zelf zo ver, dat veel mensen begonnen te twijfelen of Leibniz wel echt onafhankelijk van Newton zijn calculus had uitgevonden. Tot op de dag van vandaag zijn er nog veel discussies over dit onderwerp. Wat we wel kunnen zeggen is dat, zelfs als Leibniz het idee van de calculus van Newton had afgekeken, hij er toch zeker iets heel moois van gemaakt heeft. De calculus, zoals we deze nu kennen, hebben we vooral te danken aan Leibniz. Zijn notatie en methodes waren veel handiger en mooier dan die van Newton. Eigenlijk maakt het niet zo veel uit wie nu precies de calculus heeft ontdekt. De calculus die we vandaag hebben is niet uitgevonden door slechts twee mensen. Newton en Leibniz zijn er misschien mee begonnen maar hun werk was toen nog erg vaag. Er zijn later nog vele grote wiskundigen mee verder gegaan en daarom hebben we tegenwoordig zo’n mooie wiskundige taal.

Wil je meer weten? De strijd tussen Leibniz en Newton is een van de bekendste in de geschiedenis van de wetenschap. Over dit onderwerp zijn zo veel boeken geschreven dat het moeilijk is samen te vatten in een paar alinea’s.


Het komt niet vaak voor dat een filmmaker besluit om een film te maken over het leven van een A beautiful wiskundige. Waarschijnlijk komt dit doordat mensen Titel mind denken dat wiskundigen maar een saai leven Duur 135 minuten hebben. Dat dit niet het geval is laat de film ‘A Biografie, beautiful mind’ zien. De film is gebaseerd op het Genre drama leven van de wiskundige en Nobelprijswinnaar John Première 21 februari Nash. Hij is bekend geworden door zijn bijdragen (NL) 2002 aan de speltheorie. Regiseur Ron Howard Tijdens zijn studententijd is John Nash een vreemde eend in de bijt. Terwijl zijn medestudenten druk zijn Russell Crowe met drinken en vrouwen versieren, stort John zich Acteurs Ed Harris op de wiskunde. Zelfs het versieren van vrouwen Jennifer benadert John op een wiskundige manier. Connelly Daarnaast heeft hij een enorme drang om iets nieuws te ontdekken binnen de wiskunde. Dit leidt soms tot frustratie, maar ook daadwerkelijk tot nieuwe bruikbare theorieën, waarvoor hij later de Nobelprijs zal krijgen. Wanneer hij zijn studie heeft afgerond, gaat hij werken bij het Pentagon. Hier is hij dag in dag uit bezig met het decoderen van geheime informatie van de vijand. Zijn collega’s verbazen zich over het gemak waarmee John informatie weet te ontcijferen. John vindt dit werk eigenlijk onder zijn niveau en kijkt er dan ook niet van op dat hij benaderd wordt voor een speciale opdracht. Deze opdracht zet uiteindelijk het leven van John op zijn kop. De film gaat over liefde, complotten en wiskunde. Misschien vind je dat wiskunde niet zo goed past binnen dit rijtje. Wanneer je de film bekijkt zul je ontdekken dat wiskunde juist de verbindende factor is. Nu draait het in de film niet alleen om wiskunde, maar vooral om de problemen waarmee John Nash te maken krijgt. Deze problemen zorgen ervoor dat de film spannend is, maar ook dat je blijft nadenken. Het is dan ook geen film voor een luie avond, maar wel een film met een heel goed verhaal. Dus een absolute aanrader!


Volg de dag van Annemarie, een eerstejaars wiskunde student aan de Universiteit Utrecht. 8:45 uur Wakker worden. Oh jee, alweer verslapen, te laat  over vijftien minuten begint college al. Snel kleren aan, spullen pakken. Ontbijt? Laat maar zitten. 9:05 uur Pfffew net op tijd! De docent is gelukkig nog niet begonnen. Heb ik nog tijd om even snel koffie te halen? Owh, hij begint al, dan maar in de pauze. 9:45 uur Yes, pauze! Snel even koffie halen. Op zich, van alle plekken waar je ’s ochtends rustig kan wakker worden is de uni nog niet eens de slechtste. Nou moet ik eerlijk toegeven dat ik meestal wel gewoon op tijd ben, dat ik niet door m’n wekker heen slaap en dat ik dus niet met een duf en brak hoofd in de collegezaal zit. Nu eerst nog even snel wat te eten halen voor de pauze voorbij is. 10:00 uur Zo, weer in de collegezaal. Nu ik koffie heb gehad, wakker ben, ben ik er helemaal klaar voor om de docent m’n volle aandacht te geven. Collegeblok, check. Pen, check. Ok, kom maar op! 10:03 uur He daar trilt iets, telefoon. Smsje, of ik mee ga naar een feestje vanavond? Hmmm, zeker wel zin in maar eigenlijk moet ik ook even hard werken aan een opdracht die ik morgen moet inleveren. Oh ja, ik ging opletten. Ik zit nu bij Infinitesimaalrekening. ‘Infiniwat?’ Ja, het klinkt heel moeilijk maar het valt best mee. Infinitesimaalrekening wordt voor het gemak door alle studenten afgekort tot Infi en is een van de belangrijkste vakken uit het eerste jaar. Bij dit vak leer je vooral heel veel basisdingen, die je nodig hebt tijdens de rest van je studie. Dit vak, net als veel vakken uit het eerste jaar, bestaat uit hoorcollege en werkcollege (drie keer raden wat het verschil is). Op dit moment zit ik met 100 andere studenten in een zaal te luisteren naar de docent die ons iets vertelt over limieten. Straks begint het werkcollege waar we opgaven gaan maken die te maken hebben met wat de docent ons nu probeert uit te leggen. Werkcolleges zijn veel kleiner, meestal zit je dan met een groepje van 20 studenten in een lokaal met een begeleider die je kan helpen. 12:45 uur Lunchpauze! En meteen is het een enorme drukte in het universiteitsgebouw, alle collegezalen stromen leeg. Dit is een goed moment om even lekker te socializen met medestudenten. 13:10 uur Over 5 minuten heb ik college Lineaire Algebra, *zucht*, eigenlijk helemaal geen zin . Zal ik….? Nee! Kom op! We gaan gewoon naar college!


17:00 uur Zo! De colleges zitten er weer op voor vandaag! Jeej, vrijheid! Oh nee, ik moet die opdracht nog afmaken. Naja, eerst maar eens even eten regelen voor vanavond, even kijken of m’n huisgenoten zin hebben om samen te eten. 18:20 uur Het is een gezellige drukte in onze keuken. We wonen hier met 8 studenten op de vierde verdieping van de leukste studentenflat in Utrecht! Ik heb echt geluk met m’n huisgenoten, we doen veel samen en ik hoef eigenlijk nooit alleen te eten. Op dit moment is het spitsuur in de keuken, het aanrecht is overvol en er staan 3 mensen om het fornuis heen om hun pannen in de gaten te houden. Ik houd van deze drukte! Ja lekker, doe mij ook maar een biertje! 19:30 uur Wat een gezelligheid! Het liefst zou ik nog even in de keuken blijven chillen, lekker film kijken met de rest van de huisgenoten. Maar ik moet nu echt nog even aan de bak. Als ik nu heel goed doorwerk mag ik vanavond naar dat feest van mezelf! Zelfdiscipline is echt iets wat je nodig hebt als je gaat studeren. Op de universiteit krijg je veel meer vrijheid dan op de middelbare school. Zeker in het begin was dat erg wennen voor mij. Niemand die controleert of je je huiswerk af hebt. Het is niet verplicht om op te dagen bij college, wat een vrijheid! Totdat je er opeens achterkomt dat je weken achterloopt en je vreselijk moet stressen om je tentamens nog te halen. Gelukkig lukt het me inmiddels al redelijk goed om mezelf er toe te zetten goed te plannen en ook te doen wat ik gepland heb. 20:00 uur Jeetje, deze opdracht is toch wel erg moeilijk  20:41 uur Even kijken of een van m’n studiegenootjes online is, misschien dat zij al wat verder zijn dan ik. 21:05 uur Even pauze nemen hoor, ik kom er echt niet uit. 22:30 uur Oei, die pauze duurde iets te lang :S… waarom is het ook zo gezellig hier in huis?? Ok, nu even focussen. 22:53 uur Volgens mij heb ik hem door!! :D 23:01 uur Oh nee, toch niet. 23:34 uur Yes, doorbraak!! Yes, yes, yes! Dit is wat ik nou zo leuk vind aan wiskunde, het is moeilijk en soms lijkt het alsof je er echt niet uit komt. Maar dan opeens zie je het licht en is opeens alles zo logisch, dat voelt echt zo goed! Het geeft echt een kick als je een probleem uiteindelijk oplost wat eerst onmogelijk leek! Heerlijk! 23:45 uur Opdracht af en netjes opgeschreven, klaar!! Nu mag ik lekker feesten! Kom maar op, Partyyyy!!!!


Wiskunde is Tijdens alle jaren die je op de middelbare school door brengt, zie je erg veel onderwerpen voorbij komen in de wiskundeles. Welke vraag er bij al die onderwerpen ook gesteld wordt, het antwoordenboekje of je docent heeft altijd een antwoord klaar. Je zou bijna denken dat elke wiskundige vraag een antwoord heeft. Maar toch is dit niet zo. Ook nu zijn er nog genoeg vragen waar geen antwoord op is en sommige daarvan zijn al ruim 150 jaar oud. Zal de wiskunde ooit af zijn?

Als je wiskundigen die laatste vraag zou stellen, zal het antwoord erg vaak nee zijn. In ieder geval niet tijdens ons leven. Het verleden heeft bewezen dat wanneer er een groot wiskundig probleem opgelost werd dit voor antwoorden zorgde, maar dat er ook altijd nieuwe vragen ontstonden. Op deze manier zullen er altijd vragen overblijven en zal de zoektocht naar de antwoorden altijd door blijven gaan. Om het dan bij voorbaat maar op te geven? Nee, want veel antwoorden kunnen ervoor zorgen dat ons leven een stuk makkelijker wordt.

van zeven uitgekozen problemen, waarbij voor elk probleem 1 miljoen dollar is uitgeloofd. Elk van deze problemen stond bekend als (ĂŠĂŠn van) de moeilijkste problemen binnen het vakgebied. Ook was er al vaak een poging ondernomen om de oplossing te vinden alleen, steeds zonder succes. Verder hoopte het CMI op deze manier meer aandacht te krijgen voor de wiskunde en iedereen erop te wijzen dat er nog steeds grenzen waren die verlegd konden worden. Niet geheel zonder succes. De Riemann-hypothese

De Millenniumproblemen Om de wiskunde te vieren in het nieuwe millennium loofde het Clay Mathematics Institute (CMI) een prijs uit. Tijdens een congres op 24 en 25 mei 2000 in Parijs (100 jaar nadat David Hilbert zijn lijst van onopgeloste wiskunde problemen bekend had gemaakt) maakten zij bekend dat ze een geldprijs van zeven miljoen dollar uitloofden voor diegene die de oplossing zou vinden

David Hilbert

Volgens veel wiskundigen is het belangrijkste onopgeloste probleem in de wiskunde de Riemann-hypothese, vernoemd naar Bernhard Riemann. Riemann, geboren in 1863, heeft veel betekend voor de hedendaagse wiskunde. Hij was op veel vlakken actief. Zijn bijdragen bestaan onder andere uit de Riemann-meetkunde, de Riemann-oppervlakken en Riemannintegralen. Hij zou echter vooral bekend

De 23 van Hilbert De Duitse wiskundige David Hilbert publiceerde op 8 augustus van het jaar 1900 een lijst met 23 van de volgens hem belangrijkste onopgeloste wiskundige problemen van de 20e eeuw. Dit deed hij tijdens het Internationaal Congres voor Wiskundigen in Parijs. Van deze lijst zijn 10 problemen inmiddels opgelost en 9 problemen gedeeltelijk of zo goed als opgelost. De Riemann hypothese is het enige probleem dat zowel op de lijst van Hilbert als de lijst van Milleniumproblemen voorkomt.


af? Nooit! Worden door een stelling die hij zelf niet bewees omdat hij dat op dat punt niet noodzakelijk achtte: de Riemann-hypothese. Naast het feit dat het mogelijk het belangrijkste onopgeloste probleem is, is het ook nog eens één van de oudste onopgeloste problemen. In 1859 publiceerde Bernhard Riemann zijn artikel Ueber die

Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Over het aantal

priemgetallen kleiner dan een gegeven waarde) in het blad van de Universiteit van Berlijn. In dit artikel behandelde hij een aantal nieuwe ideeën over de studie naar priemgetallen (getallen die enkel deelbaar zijn door zichzelf en 1, zoals 2, 3, 5 en 7). Deze ideeën hebben er onder andere toe geleid dat een destijds onopgelost probleem, de priemgetalstelling, opgelost werd. Deze stelling zegt dat het aantal priemgetallen onder een bepaalde x is ongeveer gelijk aan x / e log( x) . Dus er liggen ongeveer

1000 / e log(1000) 145 priemgetallen onder de 1000. In zijn artikel probeerde Riemann ook iets zinnigs te zeggen over de verdeling van priemgetallen onder de andere ‘normale’ getallen. Dit lijkt in eerste instantie nogal willekeurig. Maar toch kwam Riemann met een formule voor het aantal priemgetallen. Hiervoor gebruikte hij de eerder genoemde priemgetalstelling, met een kleine correctie. Die correctie bestond uit de nulpunten van een formule, de zogenaamde zèta-functie: ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … Hier is ζ de Griekse letter zèta en s is een variabele uit het complexe vlak. Elke losse breuk kan geen nul worden en ook niet minder dan nul. Daarom zal deze som nooit nul worden en kan je dus geen nulpunten vinden. Er is wel een oplossing, maar die zit in het complexe vlak.

Complexe getallen Op school leer je dat je geen wortel kunt nemen van een negatief getal. Wiskundigen houden er niet zo van wanneer iets niet kan, dus hebben ze hiervoor een oplossing bedacht:

1 i . Deze i staat voor imaginair, of met andere woorden, het getal bestaat niet echt. En zo krijg je bijvoorbeeld 9 3i . Met deze getallen dat kun je gewoon rekenen. Als we het vorige getal van 4 aftrekken, krijg je 4 - 3i. Deze complexe getallen kunnen we in een assenstelsel zetten. Op de x-as liggen gewone (reële) gehele getallen, zoals normaal, maar langs de y-as liggen dezelfde getallen, vermenigvuldigd met i. Dus het getal 4 - 3i krijgt in dit assenstelsel coördinaat (4,-3). Dit assenstelsel noemen we het complexe vlak.


Bernhard Riemann Maar wat is de stelling nu precies? Riemann heeft over deze nulpunten gezegd dat ze allemaal een reëel deel hebben dat gelijk is aan ½. Riemann heeft dit zelf gecontroleerd voor de eerste paar nulpunten. Omdat het voor die nulpunten klopte, is hij niet verder gegaan. Nu, ruim 150 jaar later, hebben de sterkste computers ter wereld de Riemannhypothese gecontroleerd voor de eerste 1,5 miljard nulpunten en tot nu toe geldt voor al die punten dat ze een reëel deel hebben dat gelijk is aan een half. Dat klinkt overtuigend genoeg, maar voor wiskundigen is dat niet zo. Zij willen een bewijs zien dat het echt niet anders kan dan dat voor elk nulpunt het reële deel gelijk is aan ½. Dus gaat de zoektocht voort Het belang Maar wat maakt deze stelling dan zo belangrijk? Dat zijn voornamelijk de gevolgen voor de wiskunde. Er zijn namelijk meerdere stellingen die bewezen zijn, als je er vanuit gaat dat de Riemann-hypothese waar is. Daarnaast zouden we ook meer te weten komen over de verdeling van priemgetallen. Als de Riemann-hypothese waar is, dan is er een regelmaat in de verdeling van de priemgetallen tussen de andere, ‘gewone’ getallen en dat terwijl men lange tijd dacht dat de priemgetallen willekeurig verspreid lagen. Dit zou een grote verandering teweeg brengen in de blik op de wiskundige wereld.

Opgelost Milleniumprobleem Maar met een stelling als de Riemannhypothese, die inmiddels ruim 150 jaar oud is, krijg je natuurlijk ook de vraag of er ook nog wel eens wat opgelost wordt. Het antwoord hierop is ja. Voor het vermoeden van Poincaré, probleem nummer drie op de lijst van Milenniumproblemen, is onlangs nog een oplossing gevonden. Dit probleem, bedacht door Henri Poincaré in 1904, is bewezen door de Russische wiskunde Grigoriy Perelman. Het bewijs hiervoor plaatste hij in drie artikelen op het internet in 2002 en 2003. In 2006 werd het bewijs, nadat het vele controles overleefd had, goedgekeurd. Perelman ontving hiervoor de Field’s Medal, de hoogste eer die een wiskundige kan ontvangen en op die manier dus vergelijkbaar met een Nobelprijs in andere vakgebieden. Nadat het bewijs ook de regels van het CMI had overleefd (zoals bijvoorbeeld een wachtperiode van ten minste twee jaar sinds de acceptatie van het bewijs, mochten er nog gaten gevonden worden), zou Perelman in 2010 zijn prijs in ontvangst nemen. Hij weigerde deze prijs echter, zoals hij vier jaar eerder ook de Field’s Medal weigerde. Als commentaar gaf hij dat hij niet geïnteresseerd is in het geld of de roem. “I don’t want to be on display like an animal in a zoo. I’m not a hero of mathematics. I’m not even that successful; that is why I don’t want to have everybody looking at me.” Conclusies Wat kunnen wij uit dit hele verhaal concluderen? Ten eerste dat je voor snel geld, niet bij de wiskunde hoeft te zijn. De kans dat jij het beter zal doen dan al die wiskundigen die er al jaren aan werken is erg klein en daarnaast moet je nog zeker twee jaar wachten voordat je het geld werkelijk krijgt. Maar laat dat je vooral niet tegenhouden! Ten tweede dat de wiskunde, sinds het begin van de ontwikkeling ervan duizenden jaren geleden, altijd verder uitbreidt. Of dit ooit zal stoppen is maar de vraag, maar gezien het feit dat een aantal problemen al meer dan een eeuw bestaan zonder dat er een oplossing gevonden is, kunnen we toch met zekerheid zeggen dat het nog wel even zal duren voordat alle wiskundige problemen de wereld uit zijn.


Kies exact `Wiskunde, Trudie, dat is niets voor vrouwen. Dat moet je als studie voor mannen beschouwen. Jouw hoofd is – met ere, ik wil je niet krenken om crème op te smeren, maar niet om te denken. Voor mij hoort een griet de Bouquetreeks te lezen en moet ze dus niet al te slim willen wezen. Dus neem nou die hobbel en kies voor je pannen. De wiskundeknobbel schiep God voor de mannen. De knobbels die ik bij een dame vind horen, zijn stevig en dik en die zitten van voren.’ Toen greep ze een pan en ze schatte de curve van hier tot haar man. Ze besloot het te durven. Constant bleef de straal toen de boog werd beschreven. Zo stopt dit verhaal met het eind van zijn leven.

Transseksueel Toen ik in moeders armen lag - ze voelde zich bijzonder rijk riep zij vol trots naar wie mij zag: `Het is een echte kubus, kijk!’ Ik was een kubus, naar men zei, met zijden, hoeken, waterpas, maar ach, mijn ziel vertelde mij, dat ik een piramide was. Ik trok vanuit een diepe drang steeds piramidekleren aan. Ik vocht ertegen, jarenlang, maar ging steeds piramider staan. Mijn psychiater gaf het op. Geen praatgroep wist een therapie. Ik vond na jarenlang getob mijn redding in de chirurgie. In een luguber soort kliniek, waar men van hoge prijzen houdt, werd ik – de ingreep was uniek tot piramide omgebouwd. Nu zit ik lekker in mijn vel en mijn probleem is opgelost, al heeft die hele grap me wel vier ribben uit mijn lijf gekost.

Uit: Wis- en natuurlyriek – met chemisch supplement van Drs. P & Marjolein Kool (Nijgh & Van Ditmar, 2000).


Als je al lange tijd bezig bent met je huiswerk, dan gebeurt het soms dat je hersenen ‘vol’ zitten en niets meer willen. Dan is het tijd voor wat ontspanning, bijvoorbeeld een spelletje. Maar de tijd voor een lang spelletje Monopoly is er niet en het liefst wil je je hersenen een beetje actief houden zodat je zo weer verder kan met je huiswerk. Je kan Triviant uit de kast halen, maar ook dat duurt te lang. Nu is er de oplossing! Iedere bezitter van een Nintendo DS kent ze wel, de hersenspelletjes. De bekendste is toch wel Dokter Kawashima’s Brain Training, maar ook Big Brain Academy is een grote speler in de markt. Dit laatste spel laat je opdrachten uitvoeren binnen vijf verschillende categorieën, namelijk logica, analyse, rekenen, geheugen en visie. Door de mini-games te spelen, berekent het spel het ‘gewicht’ van je hersenen, waarbij meer gewicht uiteraard betekent dat je slimmer bent. Het grootste nadeel van deze spellen is dat je een DS nodig hebt. Maar nu niet meer! Want Big Brain Academy is er nu zowel in een bordspel als een kaartspel! Bordspel In dit spel draait de speler aan een draaischijf. Deze eindigt op één van de vijf categorieën (vergelijkbaar met die in het DS spel), de joker (de speler mag zelf een categorie kiezen) of teamwork (de tegenstander mag een categorie kiezen). Wanneer de categorie gekozen is, heeft de speler 30 seconden om zo veel mogelijk vragen binnen die categorie goed te beantwoorden. Voor elke vraag die goed beantwoord wordt krijgt de speler een fiche, voor elke vraag die fout beantwoord wordt moet de speler een fiche inleveren. Nu zou je denken dat iedereen die geluk heeft en steeds de makkelijkste categorie draait, dit spel makkelijk zal winnen, maar hier is aan gedacht. Ook bij het bordspel gaat het namelijk om het gewicht van je brein en dit gewicht wordt gemeten door de fiches die je wint. De fiches van de makkelijkste categorie zijn een stuk lichter dan die van de moeilijkste categorie. Zo moet je dus kijken welke ategorieën je het beste liggen en hoe je aan het meeste gewicht in fiches komt. De verschillende opdrachten zijn: Logica: Gymnastiek – Het nadoen van de beweging die op het kaartje staat.

Zwaargewicht – Door een aantal afgebeelde weegschalen bepalen welk dier het zwaarst is. Padvinders – Het tekenen van een lijn over de figuur zodat alle dieren verbonden zijn. Geheugen: Getalgeheugen – Een andere speler laat je twee getallen zien die jij moet herhalen zodra ze weg zijn. Tongbrekers – Een andere speler leest de tongbreker voor en jij herhaalt hem. Lokroep – Een andere speler leest het kaartje voor en zodra hij klaar is moet jij het herhalen. Analyse Blokkendoos – Bepaal het aantal blokken in de toren aan de hand van een gegeven plaatje. Traceren – Je krijgt hetzelfde figuur twee keer, alleen in één is een lijn rood gemaakt. Doe dit ook in het andere figuur. Beestenstreken – Een soort van woordzoeker, maar dan met de plaatjes van dieren. Rekenen Woordrekenen – Er staat een som in woorden uitgeschreven, reken hem uit. Wisselgeld – Bepaal in welk van de twee velden het meeste geld ligt. Appels en peren – Kies twee velden die samen evenveel objecten bevatten als het bovenste veld. Visie Zoek het setje – Zoek de twee overeenkomende plaatjes. Woordmix – Gebruik de letters om twee woorden mee te maken. Tangram – Gebruik de puzzelstukjes om een figuur na te maken. Wanneer er vijf rondes zijn geweest, eindigt het spel. De spelers gooien alle verdiende fiches dan op de meegeleverde weegschaal en gaan zo meten wie het meeste gewicht heeft. De speler voor wie de weegschaal in het voordeel uitvalt, die wint.


Kaartspel Het kaartspel komt in een kleine, handige trommel. Het kaartspel werkt met dezelfde categorieën, alleen worden slechts de eerste twee van de drie spellen per categorie gebruikt. Het verschil zit hem er verder in dat je, als je aan de beurt bent, alle categorieën door elkaar krijgt, waardoor je een grotere afwisseling in opdrachten krijgt. Ook werkt het beloningssysteem anders. Je krijgt geen straf voor foute antwoorden, er wordt alleen gekeken naar het aantal goede antwoorden. Heb je er in 30 seconden 0-3 goed, dan win je niets. Bij 4-6 krijg je een bronzen medaille, bij 7-9 een zilveren en bij 10 en meer een gouden medaille. Na een van tevoren vastgesteld aantal rondes worden de medailles ingewisseld. Twee bronzen mogen

ingeruild worden voor een zilveren en twee zilveren voor een gouden. De persoon met de meeste gouden medailles wint uiteindelijk het spel. + Voor (zo goed als) alle leeftijden. + Erg competitief. + Kost weinig tijd. + Houdt je hersenen actief. – Het is geen spel dat je veel achter elkaar zult spelen. Spel: Big Brain Academy Bord- en Kaartspel Uitgever: University games Spelers: 2-6 spelers Tijd: 30-45 minuten Leeftijd: 8+


Hoe overleef je Stel je voor dat je rekenmachine stuk is, de batterij van je mobiel leeg is en er is geen computer in de buurt. Als je nu een ingewikkelde berekening op moet lossen, dan weet je vast nog wel een oplossing te bedenken zodat je niet zelf hoeft te rekenen. Maar vijftig jaar geleden bestond de zakrekenmachine nog niet. In 1964 was de lichtste en kleinste rekenmachine de Sharp CS-10A. Deze woog zo’n 25 kilo en kostte meer dan duizend euro. Het is maar goed dat ze de rekenmachine verder ontwikkeld hebben, want anders zou je schooltas wel erg zwaar worden.

Voordat de rekenmachine werd ontwikkeld, waren mensen al volop aan het rekenen. De makkelijke berekeningen konden ze gewoon uit het hoofd, maar voor moeilijke berekeningen waren ze soms dagen aan het rekenen. Vooral twee grote getallen vermenigvuldigen was een lastige opgave en dan kon het ook nog eens gebeuren dat je een foutje maakte, waardoor het antwoord niet eens klopte. Dit is natuurlijk heel erg frustrerend en daarom zijn er allerlei manieren bedacht om vermenigvuldigen makkelijker te maken. John Napier Iemand die zich bezig hield met het bedenken van methodes om rekenen makkelijker te maken was John Napier. Deze Schot was in zijn vrije tijd bezig met wiskunde en bedacht twee goed werkende methodes die vermenigvuldigen makkelijker maken. Het eerste dat hij bedacht staat bekend als ‘de botten van Napier’. Deze naam klinkt wel luguber, maar het valt enigszins mee. De ‘botten’ zijn gemaakt van ivoor, dus van slagtanden van bepaalde dieren. Tegenwoordig is ivoor verboden, maar dat is vermoedelijk niet de enige reden dat we deze ‘botten van Napier’ niet meer tegen komen. De andere methode die Napier bedacht zijn de logaritmen. Deze komen we nog wel tegen binnen de wiskunde, maar

Waarvoor gebruikten mensen vroeger berekeningen met grote getallen? Aangezien er geen TomTom bestond en mensen veel reisden (over zee) bepaalden ze aan de hand van de sterren hun locatie. Hiervoor moesten ingewikkelde berekeningen uitgevoerd worden. Ook werden de sterren en hun banen uitgebreid bestudeerd. Geleerden wilden begrijpen wat voor banen sterren aflegden en hoe dit te verklaren was.

niet meer om vermenigvuldigen makkelijker te maken. Daarvoor gebruiken we nu de rekenmachine, maar toen die nog niet bestond waren Napiers methoden een uitkomst.

De botten van Napier Op de foto zie je een oude versie van de botten van Napier. Op elk staafje staat de tafel van een bepaald getal. Wanneer je twee getallen met elkaar wilt vermenigvuldigen, bijvoorbeeld 8 x 8192, dan leg je de staafjes 8,1,9 en 2 naast elkaar.


zonder rekenmachine? 6

0 4

6

5

7 8

5

1 2

3

6

6

Om 8 x 8192 uit te rekenen, kijk je in de rij van 8. De getallen die je daar ziet staan, tel je op de volgende manier bij elkaar op. Je krijgt nu het getal 65536 en dit is het product van de getallen 8 en 8192.

3000 x 4831 = 14493000, dit is te veel, maar 2000 x 4831 = 9662000 en dit kan wel. De hele berekening zie je hieronder.

14232126 : 4831 = 9662000 2000x 4570126 4347900 900x 222226 193240

Stel dat je 78 x 8192 uit wilt rekenen, dan bereken je op dezelfde manier 7 x 8192 en daarna vermenigvuldig je dit getal met 10. Vervolgens kun je beide getallen bij elkaar optellen. Deze methode werkt erg goed wanneer je grote getallen moet vermenigvuldigen. Je maakt minder gauw een fout, omdat je alleen hoeft op te tellen in plaats van vermenigvuldigen. Daarnaast kun je met deze methode ook sneller rekenen, zeker wanneer rekenen niet je beroep is. Ook kun je de botten van Napier gebruiken om een deling uit te rekenen. Als je het getal 14232126 wilt delen door 4831, dan leg je de staafjes 4, 8, 3 en 1 op het rekenbord. Nu begin je aan de linkerkant en kijk je wat het grootste getal is dat je van 14322126 af kunt halen.

40x

28986 28986 0

6x 2946

Logaritmen Het grote voordeel van de botten van Napier is dat ze eenvoudig te gebruiken zijn. Een nadeel is dat je er alleen mee kunt vermenigvuldigen en delen. Gelukkig was Napier niet zomaar te stoppen en schreef hij een boek: Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Dit boek schreef hij in het Latijn (de wetenschappelijke taal in die tijd) maar het werd al snel vertaald in andere talen. In de inleiding van het boek schrijft Napier waarom hij het boek geschreven heeft.


Hieronder staat een Engelse vertaling uit het jaar 1616.

Seeing there is nothing (right well-beloved Students of the Mathematics) that is so troublesome to mathematical practice, nor that doth more molest and hinder calculators, than the multiplications, divisions, square and cubical extractions of great numbers, which besides the tedious expense of time are for the most part subject to many slippery errors, I began therefore to consider in my mind by what certain and ready art I might remove those hindrances. And having thought upon many things to this purpose, I found at length some excellent brief rules to be treated of (perhaps) hereafter. Na lang denken heeft Napier dus een methode bedacht die vermenigvuldigen, delen en worteltrekken (zowel tweede- als derde-machts wortels) eenvoudig maakt. Dit is natuurlijk ideaal in een tijd dat een rekenmachine niet bestaat. Nu heeft Napier het wel over ‘calculators’, maar dit zijn mensen die berekeningen maken. Voor deze mensen is de methode van Napier erg interessant, maar hoe werkt de methode eigenlijk? Hieronder zie je een tabel met getallen. De onderste rij is gevormd door het getal van de bovenste rij (dit getal noemen we ) in te vullen in de volgende formule y 2 x :. 1 2

2 4

11 2.048

3 8

4 16

12 4.096

5 32 13 8.192

6 64

7 128

14 16.384

8 256 15 32.768

Hoe vermenigvuldig je 2.048 met 8.192 met behulp van de tabel? Zoek beide getallen op in de onderste rij van de tabel. Kijk daarna welke nummers, in de grijze balk, bij deze getallen horen. Dit zijn dus 11 en 13. Tel nu deze nummers bij elkaar op (=24) en zoek dit nummer op in de grijze balk. Kijk nu welk getal bij 24 hoort. Dit is 16.777.216

vermenigvuldigen. Ook worteltrekken en machtsverheffen is mogelijk. Zo is

16.777.216 gelijk aan 4.096 en 2.0482 = 4.194.304. Zie je welke regels je hiervoor

moet gebruiken? Zo ja, dan lukt het vast ook om met de tabel de volgende berekeningen te maken: 163 en 5 33.554.432 . Als je nog twijfelt of je het goede antwoord hebt, dan kun je dit natuurlijk even controleren met je rekenmachine. Een soortgelijke tabel kunnen we maken voor elk willekeurig grondtal. De volgende tabel hoort bij de formule y 3x . 1 3

2 9

3 27

4 81

5 243

6 729

7 2187

Eerder hebben we de 2log gezien, hiervan zit geen knopje op je rekenmachine. Toch kan je op je rekenmachine wel bijvoorbeeld 2log25 uitrekenen. Dit doe je door middel van de 10log en de volgende rekenregel: p g

log x =

p

log( x) . Hiermee kunnen we log( g ) 10

2

log 25 uitrekenen: 2log 25 =

log(25) . log(2)

10

22 23 24 25 4.194.304 8.388.608 16.777.216 33.554.432 Met behulp van deze tabel kun je de vermenigvuldiging 2.048 x 8.192 uitrekenen, zonder dat je een rekenmachine nodig hebt. Het antwoord is namelijk 16.777.216. Zie jij hoe je dit antwoord kunt aflezen uit de tabel? Zo ja, kun je dan ook uitrekenen hoeveel 8 x 4.194.304 is? Als het lukt om te vermenigvuldigen, dan moet delen geen problemen opleveren. Als je het getal 33.554.432 deelt door 4.096 dan krijg je als antwoord 8.192. De methode die je gebruikt om te delen is precies het omgekeerde van de methode bij het

Ook binnen deze tabel kunnen we vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken. Helaas is het niet mogelijk om getallen uit beide tabellen te combineren. Om met 2 getallen te rekenen moet het grondtal van deze getallen wel hetzelfde zijn. Dit is alleen het geval als beide getallen in dezelfde tabel voorkomen. De getallen in de bovenste rij van de tabel noemen we de logaritme. In de eerste tabel staan logaritmen met grondtal 2. De officiĂŤle notatie ziet er zo uit: 2 log(4.096) 12 .


Op de vorige pagina heb je een aantal rekenregels voor logaritmen ontdekt. Het grondtal noemen we g en dan krijgen we de volgende rekenregels: g

log( x y )

g

log( x)

g

log( y )

g

log( x / y )

g

log( x)

g

log( y )

n g

log( x)

g

log( x) / n

Het is natuurlijk niet praktisch dat je niet kunt rekenen met willekeurige getallen. Daarom zijn er grondtallen bedacht, waarbij de stapjes tussen twee getallen zo klein mogelijk zijn. Maar wanneer je kleine stapjes neemt, heb je ook hele grote tabellen nodig om berekeningen te kunnen maken. Van deze tabellen werden boeken gemaakt en deze werden gebruikt totdat de rekenmachine kwam.

Een stukje uit een tabellenboek met logaritmen. Tegenwoordig hebben we gelukkig de rekenmachine. Dat gaat toch echt een stuk sneller dan het opzoeken van twee getallen in een tabellenboek. Maar mocht je rekenmachine ooit stuk zijn, dan weet je nu allerlei manieren om toch te kunnen rekenen met grote getallen. En misschien is het ook leuk om aan je opa of oma te vragen hoe zij vroeger rekenden zonder rekenmachine. Als zij dan tabellenboeken met logaritmen noemen, dan weet je precies waar ze het over hebben!


Wiskunde humor vind je snel! Het internet staat vol met grappige wiskunde! Zie hier een paar mooie voorbeelden. Probeer ze zelf ook maar eens te vinden!


Wiskunde gaat echt niet alleen maar over berekeningen, formules, kansen, hoeken en grafieken. Mensen die wiskunde bestuderen leren zichzelf een bepaalde manier van denken aan. Waardoor ze vaak goed kunnen inschatten hoe een bepaalt probleem opgelost kan worden en dat gaat veel verder dan alleen sommetjes maken. Probeer een aantal van de onderstaande raadsels op te lossen en kijk of jij ook een talent heb voor wiskundig denken.

Kameleons We hebben een groep kameleons, bestaande uit twintig rode, achttien blauwe en zestien groene kameleons. Als twee kameleons van verschillende kleuren elkaar tegenkomen, veranderen ze allebei in de derde kleur. Kunnen uiteindelijk alle kameleons dezelfde kleur krijgen? Zo ja, hoe dan? Zo nee, waarom niet?

Bacteriën in een pot We hebben één bacterie. Na één minuut splits deze bacterie in tweeën. Na nog een minuut splitsen allebei de bacteriën zich, zodat er nu vier zijn. Met dit tempo, kan één bacterie in één uur een pot vullen. Als je dit weet, hoe lang kost het dan om de pot te vullen als je met twee bacteriën begint?

Gemene gevangenis directeur De gevangenisdirecteur neemt 1, 2 of 3 in gedachten. De gevangene mag nu één vraag stellen en de gevangenisdirecteur zal op die vraag eerlijk antwoorden met “ja”, “nee” of “dat weet ik niet”. Na dat antwoord moet de gevangene zeggen welk getal de directeur in gedachten had. Zoals gebruikelijk bij dit soort puzzels, zal de gevangene geëxecuteerd worden als hij het verkeerde getal noemt. Als hij het juiste getal zegt, dan komt hij natuurlijk vrij. Kijk voor de antwoorden op pagina 26 Bron raadsels: http://www.wiskundemeisjes.nl/category/puzzels/


Wiskunde vindt jouw Zit jij tijdens de wiskundeles ook altijd te dromen van die ene leuke jongen? Dan is het nu tijd om op te letten. Wiskunde is namelijk ontzettend handig bij het vinden van je droomdate. Veel datingsites maken gebruik van wiskundige modellen om mensen met elkaar te matchen. Om jouw prins op het witte paard te vinden moeten die modellen veel informatie kunnen verwerken.

Waar droom jij van tijdens de les? Wiskundige modellen De informatie die datingsites van jou hebben, hebben ze verkregen door jou een vragenlijst in te laten vullen. Om al jouw antwoorden te kunnen vergelijken met de antwoorden van je potentiĂŤle dates gebruiken datingsites wiskundige modellen, ofwel algoritmes. Deze algoritmes helpen met het selecteren en groeperen van de antwoorden. Een algoritme beschrijft de stappen die nodig zijn om een probleem op te lossen. Een computerprogramma lost het probleem daarna op door deze stappen te volgen. Het algoritme van een datingsite houdt bijvoorbeeld rekening met je woonplaats. De stap kan dan zijn: laat alleen profielen zien van mensen die in een straal van 20 kilometer van jouw woonplaats wonen. Iedere datingsite gebruikt zijn eigen algoritme met zijn eigen stappen om mensen te matchen. De meeste sites proberen hun precieze algoritme angstvallig geheim te houden. Toch zijn er voorbeelden van de

algoritmen die datingsites gebruiken om jouw toekomstige date te selecteren. Een voorbeeld van een algoritme EĂŠn van die voorbeelden is het algoritme dat Amarnath Thombre ontwikkelde. Thombre is het hoofd van de afdeling Strategie en Analyse van een Amarnath Thombre Amerikaanse datingsite. De kracht van zijn algoritme is dat het voor een betere match zorgt als je vaker op de site bent. De eerste stap voor algoritmes van datingsites is vaak hetzelfde. De eerste match wordt namelijk gemaakt op basis van je profiel. Het algoritme zoekt naar personen die bijvoorbeeld passen bij je leeftijd, religie en wat jij zoekt in een partner.


prins op het witte paard!

Tekst: Maggie Kuijpers

In de tweede stap komt de kracht van het algoritme naar voren. Het algoritme kijkt namelijk ook naar hoe jij je gedraagt op de website. Het komt nogal eens voor dat je dingen doet die niet helemaal aansluiten bij wat je op je profiel schrijft. Zo kan het bijvoorbeeld zijn dat je iemand in jouw woonplaats zoekt, maar dat je wel vaak profielen van jongens buiten je woonplaats bekijkt. Het algoritme weet dan dat de woonplaats van je prins toch niet zo belangrijk is. Verder zoekt het algoritme ook naar andere gebruikers die op jou lijken. Het kan zijn dat er iemand is die vaak op dezelfde profielen kijkt als jij. Of iemand die op dezelfde mensen reageert als jij. Het algoritme kijkt dan naar de voorkeuren van die ander om meer te weten te komen over voorkeuren die jij misschien ook hebt, maar niet hebt vermeld. Ten slotte gebruikt het algoritme de informatie die de datingsite zelf heeft opgedaan in zijn jarenlange bestaan. Zo zal je

niet snel een jongen kiezen die elke dag een pakje sigaretten rookt als je zelf helemaal niet rookt. Het algoritme maakt dus al keuzes voordat je de eerste profielen hebt bekeken. Niet altijd een happy end Helaas kunnen datingsites nog steeds niet beloven dat ze jouw droomdate zullen vinden. Dit komt doordat de algoritmes niet overal rekening mee kunnen houden. Ook al gebruikt een site een vragenlijst van wel 258 vragen, dan weet het algoritme nog steeds niet precies hoe jij in het echt bent. En dan is het natuurlijk ook nog maar de vraag of jij de antwoorden wel helemaal eerlijk hebt ingevuld. Het ideale algoritme voor datingsites is dus helaas nog niet gevonden. Maar met de bestaande wiskundige modellen kun je al een heel stuk dichterbij jouw prins op het witte paard komen. Toch maar wat beter opletten tijdens die wiskundeles dus, dan kan je straks zelf zo’n algoritme bedenken.

Was het maar zo simpel


Wiskunde in je profiel: Leuker gaan ze het niet maken, wel ingewikkelder! Wiskunde wordt al ruim 37.000 jaar beoefend. Destijds was het vooral tellen, maar in de loop van de jaren is er veel toegevoegd. Daarom is het ook niet vreemd dat wiskunde zo’n belangrijk deel is geworden van het onderwijs. Wiskunde is alleen zo’n groot vakgebied, dat het niet allemaal gegeven kan worden in die paar jaar dat je op de middelbare school zit. Daarom zijn er ook verschillende soorten wiskunde, die gegeven worden als verschillende vakken. Maar hoe is dat zo gekomen? En wat kan je nu precies verwachten bij de verschillende vakken wiskunde die je in je profiel tegen kan komen? In 1968 werd het vak wiskunde opgesplitst in twee vakken, wiskunde I en wiskunde II. Wiskunde I was verplicht wanneer een leerling een exacte studie wilde gaan doen en ook voor sommige andere studies. Hier moest je wel zelf al rekening mee houden, want wiskunde was niet verplicht op school. Hierdoor volgden zo’n 40% van de leerlingen geen wiskunde. Wiskunde II was ook niet verplicht en werd eigenlijk alleen gekozen door leerlingen met een groot talent binnen de exacte vakken. Om ervoor te zorgen dat meer leerlingen wiskunde zouden gaan kiezen, werd het vak wiskunde in 1985 omgegooid. Wiskunde I en II werden de deur uitgezet en vervangen door wiskunde A en wiskunde B. Wiskunde B leek aardig op het oude wiskunde I en was nog steeds bedoeld voor leerlingen die een exacte studie wilden gaan doen. Bij wiskunde A werden de bewijzen uit het curriculum gehaald en vervangen door meer toepassingen van wiskunde, zoals bijvoorbeeld statistiek en kansberekening.

Hierdoor werd wiskunde A geschikter gemaakt voor leerlingen die bijvoorbeeld een economische of maatschappelijke studie wilden gaan doen. In 1999 werd heel het schoolsysteem aangepast aan de komst van de Tweede Fase. Leerlingen moesten nu een profiel kiezen en de wiskunde werd daar zo op aangepast dat bij elk profiel een soort wiskunde hoorde. Leerlingen die een maatschappijprofiel kozen, kregen wiskunde A. Binnen het CM profiel was dit wiskunde A1 en binnen het EM profiel was dit wiskunde A12. Leerlingen die een natuurprofiel kozen, kregen wiskunde B. Binnen het NG profiel was dit wiskunde B1 en binnen het NT profiel was dit wiskunde B12. De inhoud van deze vakken werd aangepast naar wat leerlingen nodig zouden hebben voor de studies die ze met dat profiel zouden kunnen gaan doen.

Welke wiskunde moet ik kiezen zodat ik dit niet hoef te doen???


Bij veel scholen werd echter ingevoerd dat je het NG profiel ook kon doen met wiskunde A12 en niet enkel met wiskunde B1. Om deze doorbroken logica te herstellen, werd er in 2007 wederom een naamsverandering doorgevoerd naar wiskunde A, B, C en D. Wiskunde A en B zijn hierin vergelijkbaar met de wiskunde A en B die we van 1985 tot 1999 ook gehad hebben. Wiskunde A werd daarbij verplicht voor het EM en het NG profiel, wiskunde B werd verplicht voor het NT profiel. Voor de CM profielers werd wiskunde C in het leven geroepen. Wiskunde C is vergelijkbaar met wiskunde A1, maar richt zich meer op de basis, aangezien de leerlingen daar het meeste baat bij zullen hebben. Deze basis bestaat uit het kunnen rekenen met breuken, machten en procenten

en het oplossen van vergelijkingen. Wiskunde D is een keuze vak voor de leerlingen met wiskunde B en biedt onderdelen die vroeger uit wiskunde B geschrapt zijn, zoals bijvoorbeeld statistiek en kansberekening. Allemaal leuk en aardig natuurlijk al die naamsveranderingen, maar wat houden alle verschillende wiskundevakken nu werkelijk in? Wat kun je verwachten van de wiskunde die je bij jou profiel gaat krijgen? In de tabel hieronder kun je zien welke onderwerpen je bij welk wiskundevak kunt verwachten. Begrijp je een bepaalde term niet of weet je nog niet wat je erbij kunt verwachten? Vraag je docent dan of hij een boek uit een hoger jaar heeft zodat je wat opgaven kunt bekijken.

Vaardigheden Je leert om gaan met basisoperaties (+, -, :, ∙,√,2), formules en wiskundige hulpmiddelen (rekenmachine, passer, geodriehoek, computer). Functies en grafieken Je leert grafieken te tekenen, soorten functies herkennen en functies op te stellen aan de hand van een grafiek. Discrete Analyse Je leert rekenkundige (elke term is de vorige term plus een bepaald getal, dus 2, 6, 10, 14 enz.) en meetkundige (elke term is de vorige term vermenigvuldigd met een bepaald getal, dus 2, 4, 8, 16 enz.) rijen herkennen, ermee kunnen rekenen en het kunnen rekenen met recurrente functies (bijvoorbeeld een functie waarbij elke term gelijk is aan de vorige plus de term daar weer voor, dus 2, 3, 5, 8, 13, enz.). Kansberekening Je leert m.b.v. een rooster of schema het aantal mogelijkheden uit te beelden, kansen op een bepaalde situatie te bepalen en hiermee te rekenen. Differentiaalrekening Je leert de afgeleide van een functie te berekenen (en regels zoals de somregel en de productregel die hierbij gelden) en deze te gebruiken om maxima en minima van een functie te bepalen. Statistiek Je leert statistische gegevens verwerken, het kunnen werken met steekproeven (aangeven wat de doelgroep is, hoe groot de steekproef op een populatie moet zijn om voldoende informatie te geven) en het toetsen van hypothesen aan de hand van gegeven informatie. Integraalrekening Je leert integreren, integralen opstellen en je rekenmachine te gebruiken om de integraal te berekenen.


Goniometrische Functies Je leert de grafieken van de sinus, cosinus en tangens kennen, ermee te rekenen, grafieken te tekenen en ze te bewerken. Ook leer je aan de hand van een grafiek een formule op te stellen. (Voortgezette) Meetkunde Je leert het verschil tussen definities, vermoedens, stellingen en bewijzen. Verder leer je meetkundige situaties construeren en bewijzen te geven. Grafen en Matrices Je leert matrices te vertalen naar grafen en omgekeerd, of een verhaal om te zetten naar ĂŠĂŠn van beide. Ook leer je met matrices te rekenen, bijvoorbeeld optellen en vermenigvuldigen. Complexe getallen Je leert rekenen met complexe getallen, de geconjugeerde, het argument en de absolute waarde. Wiskunde in wetenschap De onderwerpen hier bepaald de school zelf, maar komen uit het hoger onderwijs.

Vaardigheden Functies en grafieken Discrete Analyse Kansberekening Differentiaalrekening Statistiek Integraalrekening Goniometrische Functies Voortgezette Meetkunde Grafen en Matrices Dynamische Modellen Meetkunde Complexe Getallen Wiskunde in wetenschap

Wiskunde A X X X X X** X

*: Geen rijen en recurrente betrekkingen **: Meer gefocust op de toepassing

Wiskunde B X X X*

Wiskunde C X X X X

Wiskunde D X

X

X X

X

X X X X X X X X


Kameleons De kameleons zullen nooit allemaal dezelfde kleur hebben. Als je alle kameleons in dezelfde kleur wilt krijgen, dan moet je ervoor zorgen dat je van de andere twee kleuren precies evenveel kameleons hebt. Dan kunnen die elkaar één voor één tegenkomen, waardoor ze allemaal veranderen naar de kleur die je wilde hebben. Je moet er dus voor zorgen dat het verschil in aantal tussen twee van de drie kleuren nul wordt. Aan het begin is het verschil tussen de verschillende kleuren ofwel twee, ofwel vier (waarom?). Kies nu twee van de drie kleuren en het verschil in aantal. Deze twee kleuren gaan we proberen gelijk te krijgen. Als dit verschil vier is (dus je hebt rood en groen gekozen) en je laat één van hen een blauwe tegenkomen, dan wordt het verschil drie groter(wanneer je een groene en blauwe tegen laat komen verdwijnt er één groene en er komen twee rode bij) of drie kleiner (wanneer je een rode een blauwe laat tegenkomen verdwijnt er één rode en komen er twee groene bij). Dit zal elke keer zo gelden. Het oorspronkelijke verschil van vier zal dus enkel veranderen door er drie bij op te tellen of drie van af te trekken, dit verschil zal dus nooit nul worden. Er zullen dus nooit evenveel rode als groene kameleons zijn. Kijk nu naar de situatie wanneer het verschil twee is. Ook hier geldt dat wanneer je één van de twee een kameleon van de derde kleur laat tegen komen het verschil in aantal tussen deze kleuren met drie kan toenemen of afnemen. Op zo’n manier kan het verschil van twee nooit nul worden. Het is dus onmogelijk om ervoor te zorgen dat je van twee kleuren precies evenveel kameleons hebt en daarom is het niet mogelijk om uiteindelijk ervoor te zorgen dat alle kameleons dezelfde kleur hebben.

Bacteriën in een pot

Gemene gevangenis directeur

Het antwoord is 59 minuten. Je zou kunnen denken dat omdat je met twee keer zoveel bacteriën begint, het twee keer zo kort duurt om de pot te vullen. Dit is niet waar! Als je met twee bacteriën begint dan zit je in dezelfde situatie als je met één bacterie begint maar dan een minuut later. Dus het duurt 59 minuten om de pot te vullen.

Hier zijn meerdere antwoorden mogelijk. Een van de vragen die een gevangene kan stellen is: “Ik heb een oneven getal in mijn hoofd, is dit getal deelbaar door jou getal?” Snap je waarom?


Wiskunde of Wiskunde en Toepassingen studeren in de gezelligste studentenstad van Nederland?

Kijk op uu.nl/bachelors voor meer informatie of schrijf je in voor de voorlichtingsdagen op uu.nl/voorlichtingsdagen


Wizz Magazine Definitef  

Eindopdracht voor Historical Aspects of Classroom Mathematics

Advertisement
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you