Page 1

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ – ΑΦΑΙΡΕΣΗ 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις α. Α = ( −5 ) −  +2 − ( +6 − 10 )  + ( −2 + 9 ) − ( +7 − 6 )  . 2  3 1  7 3 1 β. Α = − +  − +  −  + − −  . 5  4 2   10 5 4 

  7  5 5   5 3   2 1 γ. Α =  − +  −  −  +  − ( −1)  +  − −  − +   .  6 4   3 8   12  8 12   δ. Α = 5 − ( 4 − 7 )  − (18 − 15 ) − ( 3 − 2 + 1)  − ( −4 − 7 + 3) + 8 . ε. Α = −2 − 8 −  4 −  −10 − ( 8 − 20 ) + ( −1 − 9 )    . 2. Υπολογίστε τον αριθµό που αντιπροσωπεύει καθεµιά από τις παρακάτω παραστάσεις α. 1 +  −  x − y + ω-8+ (1-x ) + ( 2 + y ) − ω   , όταν x=-2, y=6 και ω=-8. 2 5 1 1  β. −  x + y − ω −  + 8 − x + ω , όταν x = − , y = και ω = − . 3 6 6 3 

3. Υπολογίστε τον αριθµό που αντιπροσωπεύει καθεµία από τις παρακάτω παραστάσεις α. 20 +  − (1 − α ) − ( − β + 30 )  , όταν α+β=-100. 1  1 3  3  β. − − 1 +  − α  −  − b   , όταν a − b = − . 2  4 8  4   3 5  5  2 γ. − 1 −  − 2 − α  +  − b − 3  −  , όταν b − a = . 7   14  7  7

ΓΙΝΟΜΕΝΟ 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις  4   2  3  5  α. Α =  −   +  −  +  .  5   3  4  12 

β. Α = ( −5 )( −0,5 )( +7 )( −0,1)( −2 ) . 1

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


γ. Α = ( −3)( −2 ) −  −  −3 − ( −4 )   δ. Α = 10 −  − 5 − 4 − ( −3)   − 7 ( −5 + 3 ) + 1 − ( −2 )  . ε. Α = ( −4 )( +2 ) −  − ( 5 − 8 ) − 1 − (1 − 9 )   ( −3) . ζ. Α =

η. Α =

θ.

2 ( −3) − ( −1)( −4 )

( −6 )1 + ( −10 )

.

( −4 ) + ( −1)( +5 ) . ( −2 )( +2 ) + 5

( −1)( −3)( −5) − ( −2 ) 3 ( −4 ) − ( −59 ) ⋅ 0 ⋅121 . −2

−5

23

2. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις α) −2 3 ( −2 ) + α  + 3α + β . β) 3 (α + 2 ) + 5 ( β + 2 ) − 2β . 3. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις α) 10 − 4 ( −3)( −1)  :  −2 − 3 ( −1)  . 1 5 1  β) −2 :  − 3 − ( −1)  . 2  6 12 

γ) 1 −

−6 ( −4 ) . −5

4. Να υπολογιστεί η παράσταση Α = x + y − xy ( x − y ) + x : y , όταν α)x=3, y=0,5 και 3 1 β) x = − , y = . 4 2 5. −2  −8 − ( −2 )( −3)  : ( 0.4 − 4 ) − ( 5 − 0.5 )  . 6. ( 0.1 − 1) : ( 0.2 − 2 ) − 0.3 : ( 0.4 − 4 ) − ( 5 − 0.5 )  . 7. −2 − 8 −  4 −  −10 − ( 8 − 20 ) + ( −1 − 9 )    . 8. ( 3 − x − y ) + 1 − ( x − 7 + y ) − x  , όταν x=-8 και y=3.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

2


9. 20 +  − (1 − α ) − ( − β + 30 )  , όταν α+β=-100.

1  1 3  3  10. − − 1 +  − α  −  − β   , όταν α − β = − . 2  4 8  4   3 5  5  2 11. − 1 −  − 2 − α  +  − β − 3  −  , όταν β − α = . 7   14  7  7 1   5   7 6  2 5   1   12. ( −7 + 2 ) −  −3 +  :  −  +  − −− :  :− . 4   3   6 7  3 3    2    2  1   5 8   3 13.  − :  −  −  −  : ( −2 )  :  −  .  5  10   8 5    10  14. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις 1   5 1   4 1   1 Α = − −  −  +  − −  −  2 +  . 2   4 3   3 6   2

3   2    5  8     11   Β = ( −5 + 2 ) −  −2 +  :  −  +   −  −  + 1  :  −  . 4  3   8 6    3   15. Αν α=1, β=-2 και γ=3 να βρείτε την τιµή της παράστασης

Α=

αβ + βγ + γα . αβγ

16. Να υπολογιστεί η παράσταση Α = 5 −  −α − ( β + 3)  −  2 + ( y − x )  , όταν α+β=-7 και x-y=-3.

17. Να απλοποιηθεί η παράσταση

{

}

Α = 2 − 5 + α − ( β + 2 )  −  β − ( 2 + α )  . 18. Να υπολογιστεί η παράσταση

{

}

Α = 1 + −  x − ψ+ω-8+ (1-x ) + ( 2 +ψ ) − ω  , όταν x=-2, ψ=6 και ω= -8. 2 5 1 1  Β = −  x + y − z −  + 8 − x + z , όταν x = − , y = και z = − . 3 6 6 3 

19. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

1  1 3  3  Α = − − 1 +  − α  −  − β   , όταν α − β = − . 2  4 8  4 

3

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


 3 5   5  2 Β = − 1 −  − 2 − α  +  − β − 3  −  , όταν β − α = . 7   14  7  7 20. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

1 5   3   3  Α = −  ⋅ ( −3) − 1 −  ⋅  2 −   ⋅  − + 3  . 2   4   4  2 Β = 5 ⋅ ( −2 ) ⋅  − 7 − ( 2 − 7 )   ⋅ ( −4 + 6 ) .  2   1  Γ = −2 ⋅  − − 3  ⋅ ( −3) + ( −5 ) ⋅  − + 5  ⋅ 2 .  3   6 

∆ΥΝΑΜΕΙΣ 1. Να γραφούν σε µορφή µιας δύναµης οι παρακάτω παραστάσεις

Α = −2 4 2 3 . Α = ( −2 4 ) 2 6 . Α = ( −2 ) 2 6 . 4

Α = ( −2 ) ( −2 ) . 6

8

2. Να γραφούν σε µορφή µιας δύναµης οι παρακάτω παραστάσεις

Α = −24 25 ( −2 ) ( −2 ) ( −24 ) 2−6 ( −2 ) . 3

6

Β = − ( −24 ) ( −2 ) 23 ( −82 ) ( −16 ) . 2

Γ=

9 − ( −27 ) 32 ( −813 )

( −3 )

5

( −3 ) 2

−24 ( −2 ) ( −2 ) ⋅ 24 ( −23 ) 5

∆=

3

2−2 ( −2 ) ( −23 )( −83 ) 2

.

3. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις 3 2 2 Α = 13 − ( −2 ) + ( −1 − 2 ) − ( 4 − 8 )  .   4 2 3 Β = −22 − ( 5 − 7 ) − (1 − 2 − 3) − ( 4 − 7 )  .  

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

4


Γ = 42 − ( 3 − 5 ) − 34 : ( −3) . 4

∆ = −32 ( −2 ) + ( −1 − 4 ) : ( −5 ) − 14 . 3

3

2

4. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις Α = ( −2 ) ⋅ 5 − ( −2 ) : 22 + ( −5 ) : ( −5 ) − 1 . 4

3

3

2

3 4 4 Β = ( −4 ) : 4 − 2  + ( −3) − ( −5) : 53 − 1 .    

2 3 5 Γ = ( −6 ) : ( −6 ) + ( −5 ) : ( −52 )  : 2 .   −4 3

 1 −−  : 2 2 2  1  ∆= :−  . 2  1  8 1−  −   4 3  1 1 1 2 Ε = ( −1) ⋅ ( −4 )  −  − 4 :  .  2  2 4   4

5. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις Α = ( 7 −3 ⋅ 7 −5 ) − 4 .

Β = ( −2 )

−5

( −2 ) ( +2 ) ( −8) 5 ( −2 − 2 ) . −

5

−3

2

( −2 ) ( 2 ⋅ 22 )( −2−4 ) Γ = ( −2 + 3 ) . −5 ( −8) ( −2−2 ) −2

−50

∆ = − ( −16−5 ) ( −8 )

−3

( −32 ) 2 . 2

3

6. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις

Α = (10810−210−310−4 ) . −2

Β=

( −8 )

2

( −2 )16 ( −9 ) ( −27 ) ⋅ 3 −3

−2 − 3 ( −3 )

−3

−2

2

.

7. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις Α = 41− x + 82 − x + 163− x − 8 x − 2 − 4 x −1 , όταν x=3.

5

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


B = x y −1 − y1− x , όταν x=3 και y=-2. 1 Γ =1 +  2 x

x+2

1 −  4

x +4

1 −  8

x +6

, όταν x=-6.

8. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις

Α=

  2  2   1  2 3  2 −  −   :   −  ⋅ ( −2 )    3    4   4 ( −3 )  1  :−  6  6 2

1

4

 1  −  ( −4 ) 2 , Β=  3  2 1  1   −−  3  6

9. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις Α = 32 − x + 93− x − 81x − 4 − 3x −5 , όταν x=0. Β = − 2 4 − x − ( −2 ) Γ = ( −6 )

x− y

5− x

+ 4 x − ( −4 )

x−2

, όταν x=4.

− x y − y x , όταν x=5 και y=-2.

∆ = x 2 − 2 xy + y 2 − ( x + y ) , όταν x=4 και y=-2. 2

10. Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις 1  2  Α = −2 ⋅  3−2 + −2  + ( −2 ) + 4 + 2 −2 ( −32 ) . 2   1  Β = − ( −3 ) + 2 ⋅ 3 −  −2 ⋅  3  2

−2

−2

11. Να υπολογίσετε τη τιµή του Α

Α = 4 ( x + y − 2 ) + 3 ( 4 + x − y ) + 2 xy + 4 x 2 Αν x=-1 και y=2. 12. Να υπολογίσετε τη τιµή του Β Β = x2 + y2 + 2 ( x + y ) − 4 ( x + y ) Αν x=2 και y=3. 2

13. Να υπολογίσετε τη τιµή του Γ Γ = 4 x 2 + 2 y 2 − 4 ( x + y ) − 3 ( x − 1) − 2 ( x − 3) Αν x=4 και y=5. 2

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

6

2

2

 1 1 −  3 : 2 1 1−    3


14. Να υπολογίσετε τη τιµή του ∆

∆ = x2 − 3 ( x + y ) − 4 ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 4 ( x + y ) Αν x=-1 και y=2. 15. Να υπολογίσετε τη τιµή του Ε

Ε = x 2 + y 2 − 3x3 + 4 y 3 − 2 x + 3 y − 5 ( x − y ) Αν x=-2 και y=-3. 3 16. Γ = ( 32 ) − ( −2 )  − ( −52 ) .   2

2

2

∆ = −32 ( −2 ) + ( −1 − 4 ) : ( −5 ) − 14 3

3

2

7

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.1ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.2 1.3 1.4ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

8

- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ


ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1.1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρία α) Ορισµός µεταβλητής – Πως παριστάνουµε µια µεταβλητή: Η µεταβλητή είναι ένα σύµβολο που παριστάνει έναν αριθµό. Για να παραστήσουµε µια µεταβλητή συνήθως χρησιµοποιούµε γράµµατα όπως τα κ.λ.π. β) Αριθµητική Παράσταση είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς. γ) Αλγεβρική Παράσταση είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές. Οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης είναι οι προσθετέοι της (η αφαίρεση είναι πρόσθεση αντιθέτων). Αναγωγή Οµοίων Όρων σε µια αλγεβρική παράσταση είναι η διαδικασία µε την οποία γράφουµε σε απλούστερη µορφή τις αλγεβρικές παραστάσεις. Επιµεριστική Ιδιότητα: (α + β ) γ = αγ + βγ .

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1.Αριθµητική παράσταση. 2.Η έννοια της µεταβλητής. 3.Αλγεβρική παράσταση. 4.Επιµεριστική ιδιότητα – αναγωγή οµοίων όρων. (α + β ) γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ

α ⋅ γ + β ⋅ γ = (α + β ) γ Εφαρµογή: 5. · Σκέψου έναν οποιοδήποτε αριθµό. · Πολλαπλασίασε τον επί 3. · Πρόσθεσε 5 στο αποτέλεσµα. · Πολλαπλασίασε το αποτέλεσµα επί 6. · Πρόσθεσε στο αποτέλεσµα 12. · Πολλαπλασίασε το αποτέλεσµα επί 10.

9

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


· Αφαίρεσε 420 από το γινόµενο. · ∆ιαίρεσε τη διαφορά δια 180. ∆είξε ότι το αποτέλεσµα είναι ο αρχικός αριθµός που σκέφτηκες.

Προτεραιότητα των πράξεων. α. Σε αριθµητικές παραστάσεις χωρίς παρενθέσεις: · Πρώτα υπολογίζουµε τις δυνάµεις, αν υπάρχουν. · Στη συνέχεια κάνουµε τους πολλαπλασιασµούς και τις διαιρέσεις µε τη σειρά που δίνονται. · Τέλος κάνουµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. β. Σε αριθµητικές παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις, κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις και στη συνέχεια τις πράξεις, µε τη σειρά που αναφέραµε παραπάνω, στην αριθµητική παράσταση που προκύπτει.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

10


Φύλλο εργασίας 1. Ο πατέρας του Νίκου έχει τριπλάσια ηλικία από τον Νίκο. α) Αν ο Νίκος είναι 13 ετών, πόσων ετών είναι ο πατέρας του;....................... β) Αν ο Νίκος είναι 15 ετών, πόσων ετών είναι ο πατέρας του;....................... γ) Αν ο Νίκος είναι x ετών, πόσων ετών είναι ο πατέρας του;......................... δ) Αν ο Νίκος είναι x ετών, πόσων ετών θα είναι ο Νίκος και πόσο ο πατέρας του σε 5 έτη;....................................... 2. Ένα CD µουσικής κοστίζει 13,5 €. α) Πόσο κοστίζουν τα 2 CD;......................... β) Πόσο κοστίζουν τα 12 CD;....................... γ) Να χρησιµοποιήσετε το γράµµα α για να συµβολίσετε το πλήθος των CD που θέλουµε να αγοράσουµε και µε τη βοήθεια αυτού του γράµµατος να εκφράσετε το κόστος της αγοράς αυτής................................. 3. Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ=ΒΓ. α) Αν ΑΒ=6, να βρείτε την περίµετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆.

....................................................................................................... β) Αν ΑΒ=8, να βρείτε την περίµετρο του τετράπλευρου ΑΒΓ∆.

...................................................................................................... γ) Να χρησιµοποιήσετε ένα γράµµα για να συµβολίσετε το µήκος της πλευράς ΑΒ και να εκφράσετε την περίµετρο του τετράπλευρου ΑΒΓ∆ µε τη βοήθεια του γράµµατος αυτού.

.............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. 4. Ένα παντελόνι πωλείται x €, ένα πουκάµισο πωλείται y €, ένα ζευγάρι παπούτσια πωλείται ω € και µία µπλούζα πωλείται φ €. Να εκφράσετε µε τη βοήθεια των µεταβλητών αυτών τα χρήµατα που θα δώσουµε για να αγοράσουµε: α) δύο παντελόνια, ένα πουκάµισο, δύο ζευγάρια παπούτσια και τρεις µπλούζες. β) ένα παντελόνι, δύο πουκάµισα και πέντε µπλούζες. γ) ένα από κάθε είδος.

.............................................................................................................................. .............................................................................................................................. 11

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Ασκήσεις

1. Να απλοποιήσετε της παραστάσεις: α) 2 ⋅ (α − 3β ) − (α + 5β − 1) + 3 ( 2α − β ) β) 3 − 5 ( −2 x + 1) + 3 ( −2 x − 3) − 4 ( 5 x + 3) γ) 2 x −  7 − 3 ( 2 x − 1)  + 3 ( 2 x − 7 ) δ) − x +  x − ( 2 − 3 y )  − 5 y + 3 ( x + y ) ε) 3x + ( x − 3 y ) ⋅ 2 − 3 ( 2 x − 4 y ) − 7 y

2. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α) 2 x − ( −3x + y − 2 ) − ( 5 x + y ) − 3 ⋅ ( 2 x − 3 y + 1) β) 5 − 5 + ( 3 − 2 + 1)  −  7 + ( 3 − 2 + 7 )  γ)

x −1 x + 3 2x −1 1 − + − 4 3 6 3

δ)

3x + 2 x − 1 3x − 2 − + 5 2 10

ε) 3 ( 2 x + y ) + 4 ( −3x + 1) − 2 ( x − 3) + 4 ( 5 x + y ) στ) 2

x − 1 3x + 2 x+2 +3 −4 5 6 15

3. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α) 2 + (α − 3β ) − ( 2α − 3β − 1) β) 1 − ( 3x − y ) ⋅ 2 + ( −4 x + 5 y ) ⋅ ( −3) − ( x − 2 y ) ⋅ ( −2 ) γ) x + 2 ( 3 x − y ) + 4 ( 4 x + 2 y ) − 6 ( 3x − y + 1)

4. Να υπολογίσετε τη τιµή των παραστάσεων αν x=-1 και y=3.

A = x − 2 ( y + 3x ) + 4 ( 5 + x − y ) + 3x − 2 y B = 1 − ( −2 x + y − 1) − 2 ( 3x − y − 2 ) Γ = 2 x − ( x − 2 y ) ⋅ 3 − ( 2 x + y + 6 ) − 6 ( 2 x + 1)

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

12


5. Να γίνουν οι πράξεις: A=

x −1 y − 2 x − 2 y − − 4 6 8

B=

x −1 3 y x + 3y + −2 2 4 4

6. Να υπολογίσετε η τιµή της παράστασης: A = ( x − 3 y + ω ) − ( 2 x + 4 y )  − ( y − 2 x ) − ( 4 x + 3 y )  αν x=-3 και y=-1 και

ω=10. 7. Να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: 3 A = −6 −  4 − 9 − ( −2 )  + 6 ( −3) − 13  

13

B = 5 ⋅ 7 − ( −3)  − 6 ⋅ ( −4 )  ⋅ ( −2 ) . 3

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ

Θεωρία Μια σχέση ισότητας ή ανισότητας είναι στην ουσία µια ζυγαριά, η οποία είτε ισορροπεί, είτε γέρνει προς την µία πλευρά, είτε γέρνει προς την άλλη. Αν α και β παριστάνουν τα βάρη µιας ζυγαριάς, τότε θα ισχύει µία µόνο από τις σχέσεις:

α = β , α < β , α > β . Για να χειριστούµε σωστά µια ισότητα, είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη µας µερικoύς βασικούς κανόνες: •

Αν και στα δύο µέλη µιας ισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή: αν α = β τότε α + γ = β + γ .

Αν και από τα δύο µέλη µιας ισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή: αν α = β τότε α − γ = β − γ .

Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή: αν α = β τότε αγ = βγ .

Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας διαιρεθούν µε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή: αν α = β και γ ≠ 0 τότε

α ÷γ = β ÷γ . Εξίσωση ονοµάζεται η ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό που συµβολίζεται συνήθως µε x. Σε µία εξίσωση µπορούµε να «µεταφέρουµε» όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσηµό τους. Πως επιλύουµε µία εξίσωση:

1. Απαλοιφή παρονοµαστών 2. Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους 3. Κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων 4. ∆ιαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

14


Η εξίσωση 0 x = 0 που επαληθεύεται για όλες τις τιµές του x καλείται ταυτότητα. Η εξίσωση 0x = a µε είναι αδύνατη.

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

1. Αν α = β τότε α + γ = β + γ . 2. Αν α = β τότε α − γ = β − γ . 3. Αν α = β τότε α ⋅ γ = β ⋅ γ . 4. Αν α = β τότε

α β = µε γ ≠ 0 . γ γ

5. Τι ονοµάζεται εξίσωση; 6. Μεταφορά ενός όρους από το ένα µέλος στο άλλο µιας εξίσωσης. 7. Απαλοιφή παρανοµαστών. Γίνεται α. ΕΚΠ. β. Χιαστί στη περίπτωση

α γ = ⇒ α ⋅δ = β ⋅γ β δ

Προσοχή! µε την απαλοιφή παρανοµαστών η γραµµή του κλάσµατος γίνεται παρένθεση. 8. Αδύνατη εξίσωση 0 ⋅ x = a µε a ≠ 0 9. Ταυτότητα 0 ⋅ x = 0 . Λύση εξίσωσης  Απαλοιφή παρανοµαστών.  Πράξεις.  Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους.  Αναγωγή οµοίων όρων.  ∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου.

15

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Ασκήσεις ΟΜΑ∆Α Α΄ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) 6 ( x + 2 ) − 4 ( x + 3) = 2 x − 3 (1 − x ) + 4 β) ( x − 1)( 2 + x ) = 5 − x ( 4 − x ) + 4 γ) 2 ( 3 − x ) + ( x − 2 )( x − 3) = ( x + 2 )( x + 3) δ) 3 ( 2 x + 1) − 2 ( 3 x + 1) = 4 x − 3 − 4 ( x − 1)

2. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α)

x − 2 2x −1 1 + = x− 4 3 3

β)

x 4x −1 2x + 9 5 −3+ = + −x 2 4 4 4

γ)

2x −1 4x +1 1− x − − =1 2 3 6

δ) 2 − ε)

x − 2 5 − 2x 1 = − 4 3 4

1 − 3x x − 7 x − 2 1 − = + 2 4 3 12

στ)

2 − 5x 1 x +1 + =− +1 4 3 2

3. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4 x − 3 = 7 x β)

1 x + 5 ( x − 1) = 2 − ( x + 4 ) 4

γ) − x + 2 = 3 x + 4

4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3 + 2 x = 4 ( 2 + 3x ) β) 3 ( x + 5 ) − 2 ( 4 x + 3) + ( 6 x − 5) = x + 4

{

}

γ) 7 x − 5 x − 7 − 6 ( x − 3)  = 3x − 1

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

16


{

}

δ) x + 2 − x − 8 − 2 8 − 3 ( 5 − x ) − x  = 0

5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2 x − 5 = β)

x x + =5 2 3

γ) x − δ)

4x − 3 5

2 x − 1 3 ( x + 1) = 3 4

x−7 1 x+9 − = 1+ 2 3 9

ΟΜΑ∆Α Β΄

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)

4 − 5 x 3 ( x − 1) − = 2x − 6 12 2

β)

3x − 5 4 x − 2 3 ( x − 2 ) x − 23 − = + 2 5 10 2

γ)

2 x − 1 3x − 2 5 x − 4 7 x + 6 − = − 3 4 6 6

δ)

x + 3 2 ( 6 x + 4 ) 5 ( 3x − 5 ) − = 2 3 6

2. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)

1 5  3 4 7 x− − x+ + = 0 3 2 5 3 2

β)

1 1 1 1  x +1 x− + x+  = 3 2 2 3 4

γ)

1 1  7x  3x − 6 − 5  − 5   + 13 ( x − 5) + = 0  9 4  2 

{

}

δ) 5 3  2 ( x + 1) + 12  + 2 − 100 = 20 x + 130

{

}

ε) − 2 ( x − 4 ) − 3 ( x + 1) + 10 − 2 ( x + 1) − 60 = 15 ( x + 1) στ) ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1

17

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3. Να λυθούν οι εξισώσεις α) 0, 7 x − 3, 35 = 6, 4 − 3, 2 x . β) 3, 25 x − 0, 75 x = 9 + 1,5 x . γ) 4 x + 1 = 1 − x . δ) x + 3 = 1 − x . ε)

1 x+2 x +1 = . 2 2

4. Αν α+β=2, τότε να λύσετε την εξίσωση

(α + β ) ( x + 1) − (α + β )( x + 1) + x + 1 = α + β 2 − α + β + 1 . ( ) ( ) 2

α + β +1

5. ∆ίνεται η εξίσωση αx+5=3x-7 i) Για ποια τιµή του α η εξίσωση είναι αδύνατη. ii) Να βρείτε την τιµή του α, αν η εξίσωση έχει ρίζα το 1. iii) Για α=0 να λύσετε την εξίσωση.

6. Αν είναι

x 1 2− y y − = 0 και − =1 3 2 6 3

i) Να υπολογίσετε τα x, y. ii) Να υπολογίσετε τα άθροισµα 2x-3y. iii) Αφού υπολογίσετε την παράσταση Α = 2 ότι Α = −

1 . 4y

7. Να λυθούν οι εξισώσεις α.

x x +1 = 2 3

β.

1 − 2x = −1 x +1

γ.

4x + 8 =4 x+2

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

18

x − y −2 − ( xy − 1) να διαπιστώσετε y


1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Θεωρία Αν έχουµε µία σχέση που συνδέει δύο ή περισσότερες µεταβλητές, µπορούµε χρησιµοποιώντας τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων δηλαδή να λύσουµε τη σχέση αυτή ως προς µία µεταβλητή. π.χ. Η σχέση 3α = βγ , αν λυθεί ως προς α, γίνεται: α =

βγ 3

.

Στην Φυσική η µάζα m ενός σώµατος συνδέεται µε τον όγκο V του σώµατος και την πυκνότητά του p µε την εξίσωση: m = pV . Επιλύνοντας την εξίσωση αυτήν π.χ. Ως προς p έχω: m = pV ⇒ p =

m . V

19

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Θεωρία Στην καθηµερινή ζωή παρουσιάζονται πολλές φορές προβλήµατα πρακτικής αριθµητικής που η επίλυσή τους είναι συχνά επίπονη και πολύπλοκη. Στην παράγραφο αυτή, θα µάθουµε να χρησιµοποιούµε µεταβλητές και εξισώσεις, για να απλοποιούµε τη λύση τέτοιων προβληµάτων. Η λύση προβληµάτων µε τη βοήθεια εξισώσεων περιλαµβάνει τα ακόλουθα βήµατα:

1. ∆ιαβάζουµε καλά το πρόβληµα και διακρίνουµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα.

2. Χρησιµοποιούµε ένα γράµµα (συνήθως το x ) για να εκφράσουµε τον άγνωστο αριθµό που πρέπει να προσδιορίσουµε.

3. Εκφράζουµε όλα τα άλλα µεγέθη του προβλήµατος µε τη βοήθεια του x . 4. Γράφουµε την εξίσωση του προβλήµατος χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα της εκφώνησης.

5. Λύνουµε την εξίσωση. 6. Ελέγχουµε αν η λύση που βρήκαµε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήµατος. Πρόβληµα: Μία βρύση γεµίζει µια δεξαµενή σε 10 λεπτά. Μια άλλη βρύση γεµίζει την ίδια δεξαµενή σε 5 λεπτά. Σε πόσα λεπτά της ώρας γεµίζει η δεξαµενή, αν ανοίξουν και οι δύο βρύσες;

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος Επίλυση προβληµάτων  ∆ιαβάζουµε το πρόβληµα, βρίσκουµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα.  Εκφράζουµε µε x τον άγνωστο αριθµό.  Εκφράζουµε όλα τα άλλα µεγέθη µε τη βοήθεια του x.  Γραφούµε την εξίσωση.  Λύνουµε την εξίσωση.  Ελέγχουµε αν η λύση ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήµατος. 1. Να γραφούν οι εξισώσεις. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

20


α. Ένας αριθµός αυξηµένος κατά 13 ισούται µε 24. β. Το ένα έβδοµο του αθροίσµατος δυο αριθµών ισούται µε το ένα τέταρτο της διαφοράς τους. γ. Το P είναι x% του Q. 2.

Τρεις φίλες έχουν συνολικά 200 €. Η Τασία έχει διπλάσια χρήµατα από την

Ελένη, η Ελένη τριπλάσια από την Βούλα. Πόσα χρήµατα έχει η κάθε µία;

21

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Φύλλο εργασίας

Λύση µε εξίσωση: Για να αναδασωθούν δυο περιοχές συνολικής έκτασης 10 στρεµµάτων χρειάστηκαν 240 δεντρίλια. Στην πρώτη περιοχή φυτεύτηκαν 30 δεντρίλια ανά στρέµµα και στη δεύτερη 20 δεντρίλια ανά στρέµµα. Να υπολογίσετε την έκταση κάθε περιοχής.

1. Έστω x στρέµµατα η έκταση της πρώτης περιοχής. 2. Αφού η περιοχή είναι συνολικά 10 στρέµµατα, η έκταση της δεύτερης περιοχής ως συνάρτηση του x είναι .................................................................... 3. Αφού στην πρώτη περιοχή φυτεύτηκαν 30 δεντρίλια ανά στρέµµα, ο αριθµός των δεντριλίων που φυτεύτηκαν στην πρώτη περιοχή ως συνάρτηση του x είναι...................................................................................................................... 4. Αφού στην δεύτερη περιοχή φυτεύτηκαν 20 δεντρίλια ανά στρέµµα, ο αριθµός των δεντριλίων που φυτεύτηκαν στη δεύτερη περιοχή ως συνάρτηση του x είναι...................................................................................................................... 5. Εποµένως, ο συνολικός αριθµός δεντριλίων που φυτεύτηκαν και στις δύο περιοχές ως συνάρτηση του x είναι...................................................................... 6. Επειδή χρειάστηκαν 240 δεντρίλια, προκύπτει η εξίσωση.................................. Η λύση της εξίσωσης είναι................................................................................... 7.Εποµένως, η πρώτη περιοχή έχει έκταση............................................................. και η δεύτερη περιοχή έχει έκταση......................................................................

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

22


Λύση µε πρακτική αριθµητική: 1. Αν υποθέσουµε ότι θα φυτέψουµε 20 δεντρίλια σε καθένα από τα 10 στρέµµατα, τότε ο συνολικός αριθµός των δεντριλίων που χρειάζονται για την αναδάσωση είναι......................................................................................................., ενώ σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης χρειάστηκαν στην πραγµατικότητα

...................................... δεντρίλια. Η διαφορά είναι: (Αριθµός δεντριλίων που πραγµατικά χρειάστηκαν) – (Αριθµός δεντριλίων που θα χρειαστούν, αν φυτέψουµε 20 δεντρίλια ανά στρέµµα) =

.................................................................................................................................... Ο αριθµός των επιπλέον αυτών δεντριλίων οφείλεται στο ότι στην πρώτη περιοχή φυτέψαµε σε κάθε στρέµµα .......................................... δεντρίλια, δηλαδή

................................ περισσότερα απ’ όσα φυτέψαµε σε κάθε στρέµµα της δεύτερης περιοχής. Εποµένως, η πρώτη περιοχή έχει έκταση 40:10 = ..................... στρέµµατα και η δεύτερη ............................................. στρέµµατα.

23

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Προβλήµατα

1. Να βρεθεί ο αριθµός που το επταπλάσιο του αν ελαττωθεί κατά το µισό του να δίνει τον αριθµό αυτό αυξηµένο κατά 22. 2. Ποιος αριθµός πρέπει να προστεθεί στους όρους του κλάσµατος αυτό να γίνει ίσο µε το

5 , ώστε 12

4 . 5

3. Το άθροισµα δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 133. Να βρείτε τους αριθµούς αυτούς. 4. Ενός διψήφιου αριθµού το ψηφίο των δεκάδων είναι κατά 3 µεγαλύτερο από το ψηφίο των µονάδων. Το άθροισµα των ψηφίων του ισούται µε το

1 του 7

αριθµού. Να βρεθεί ο αριθµός. 5. Με ποιον αριθµό πρέπει να πολλαπλασιάσουµε τον αριθµό 62 για να τον αυξήσουµε κατά τα

2 του. 3

6. Ένας πατέρας είναι σήµερα 41 ετών και ο γιος του είναι 9 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου; 7. Ένας πατέρας είναι σήµερα 50 ετών και έχει κόρη 18 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια της ηλικίας της κόρης του; 8. Κάποιος ρωτήθηκε για την ηλικία του και απάντησε ως εξής: αν στην ηλικία µου προσθέσεις 3 χρόνια και διαιρέσεις το άθροισµα µε 2, στη συνέχεια προσθέσεις στο πηλίκο την ηλικία µου και διαιρέσεις το νέο άθροισµα µε 2, θα βρεθεί αποτέλεσµα 15. Πόσων χρονών είναι αυτός που ρωτήθηκε; 9. Οι ηλικίες δύο αδελφών είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθµοί. Αν στο γινόµενο των ηλικιών τους προστεθεί η ηλικία του µεγαλύτερου, βρίσκεται ο αριθµός

729. Να βρείτε τις ηλικίες. 10. Να βρεθούν οι ηλικίες δύο ατόµων αν γνωρίζουµε ότι πριν από 4 χρόνια η ηλικία του πρώτου ήταν διπλάσια της ηλικίας του δεύτερου και ότι µετά από 6 χρόνια η ηλικία του δεύτερου θα είναι τα

2 της ηλικίας του πρώτου. 3

11. Σε 40 κιλά θαλάσσιου νερού περιέχονται 3,4 κιλά αλατιού. Πόσο γλυκό νερό πρέπει να ρίξουµε έτσι, ώστε 40 κιλά από το νέο µίγµα που θα προκύψει να περιέχει 2 κιλά αλατιού.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

24


12. Σ’ ένα ορθογώνιο τρίγωνο η µια γωνία του είναι τα

4 κάποιας άλλης γωνίας 5

του. Να βρεθούν όλες οι γωνίες του. 13. ∆ύο αυτοκίνητα ξεκινούν ταυτόχρονα από δύο πόλεις Α και Β µε σταθερές ταχύτητες 45 και 38 αντίστοιχα και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Μετά από πόσες ώρες θα συναντηθούν και σε ποια απόσταση από την πόλη Α, αν η απόσταση ΑΒ των δύο πόλεων είναι 21. 14. Σ’ ένα ποτάµι του οποίου η ταχύτητα του ρεύµατος του νερού είναι 3 km/h κινείται µια βάρκα. Η βάρκα κινείται για 2 h έχοντας την κατεύθυνση του ρεύµατος και για 3 h έχοντας την αντίθετη κατεύθυνση. Αν η βάρκα διένυσε συνολικά 72 km να βρεθεί η ταχύτητα της βάρκας. 15. Μια βρύση γεµίζει µια άδεια δεξαµενή σε 4 ώρες, ενώ µια άλλη βρύση γεµίζει την ίδια δεξαµενή σε 12 ώρες. Σε πόσες ώρες θα γεµίσουν τη δεξαµενή, αν ρέουν και οι δύο ταυτόχρονα. 16. Ένας εκσκαφέας χρειάζεται 6 ηµέρες για να σκάψει τα θεµέλια ενός οικοδοµικού συγκροτήµατος. Όµως µετά το τέλος της τρίτης ηµέρας άρχισε να βοηθάει και δεύτερος εκσκαφέας, ο οποίος είχε τη µισή απόδοση από τον πρώτο. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσει η εκσκαφή; 17. ∆ύο εργάτες Α και Β, αν δουλέψουν µαζί τελειώνουν ένα έργο σε 6 ηµέρες. Ο εργάτης Α βγάζει διπλάσια δουλειά από τον Β. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο, αν δουλέψει ο καθένας µόνος του; 18. Ένα προϊόν αξίας 200 ευρώ πουλήθηκε 150. Πόσο τοις εκατό έκπτωση έγινε; 19. Ένα προϊόν αυξήθηκε τον ένα χρόνο 20% και τον επόµενο χρόνο κατά 25%. Η τελική τιµή έφτασε τα 300. Ποια ήταν η αρχική τιµή;

25

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Επαναληπτικά Προβλήµατα 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι κατά 24ο µικρότερη των γωνιών της βάσης. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. 2. Ένας ορειβάτης για να ανέβει στη κορυφή ενός βουνού και να επιστρέψει, χρειάζεται 14 ώρες. Αν κατά την ανάβαση βαδίζει µε ταχύτητα 3 km/h και κατά την κάθοδο µε 4 km/h, να υπολογίσετε το µήκος της διαδροµής. 3. Για να καλυφθούν τα έξοδα της εκδροµής ενός τµήµατος της Β΄ Γυµνασίου, κάθε µαθητής πρέπει να πληρώσει 2,5 €. Επειδή όµως 6 µαθητές δε µπορούσαν να συµµετάσχουν, οι υπόλοιποι πλήρωσαν 3,25 €. Πόσους µαθητές έχει το τµήµα αυτό; 4. Η Σοφία αγόρασε 10 στυλό µπλε και κόκκινα και πλήρωσε συνολικά 22 €. Πόσα στυλό αγόρασε από κάθε χρώµα, αν κάθε µπλε στυλό κοστίζει 2 € και κάθε κόκκινο 2,5 €; 5. Σε µια συγκέντρωση οι άντρες ήταν διπλάσιοι από τις γυναίκες. Όταν έφυγαν

6 άντρες µε τις συζύγους τους, έµειναν τριπλάσιοι άντρες από τις γυναίκες. Πόσοι ήταν οι άντρες και πόσες οι γυναίκες στην αρχή της συγκέντρωσης; 6. Ο κύριος Γιάννης θα πωλούσε στη λαϊκή αγορά όσα αυγά είχε µε 12 λεπτά το ένα. Επειδή όµως έσπασαν 26 αυγά, πούλησε τα υπόλοιπα µε 14 λεπτά τα ένα και εισέπραξε το ίδιο ακριβώς ποσό χωρίς να ζηµιωθεί. Πόσα αυγά είχε στην αρχή; 7. Ο Γιώργος είχε σκοπό να αγοράσει 15 τετράδια. Επειδή όµως του έκαναν έκπτωση 10 λεπτά σε κάθε τετράδιο, αγόρασε µε τα ίδια χρήµατα 18 τετράδια. Πόσο πλήρωσε το κάθε τετράδιο;

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

26


1.5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ Θεωρία

Όπως γνωρίζουµε, η σχέση που συνδέει τα βάρη µιας ζυγαριάς που δεν ισορροπεί, είναι µία σχέση ανίσωσης. Για παράδειγµα, για δύο άνισα βάρη α και β έχουµε την ανίσωση: α < β ή ισοδύναµα, την ανίσωση β > α . Μερικές φορές, επίσης, χρησιµοποιούµε το σύµβολο “ ≤ “ ή το σύµβολο “ ≥ “. Γράφουµε: α ≤ β , όταν είναι α = β ή α < β και διαβάζουµε: «το α είναι µικρότερο ή ίσο του β». Αν και στα δύο µέλη µιας ανίσωσης προσθέσουµε ή αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ανίσωση µε την ίδια φορά. ∆ηλαδή: Αν α < β τότε α + β < β + γ και α − γ = β − γ . Αν α > β τότε α + γ = β + γ και α − γ = β − γ . Αν και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν µε τον ίδιο θετικό αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ανίσωση µε την ίδια φορά. ∆ηλαδή: Αν α < β και γ > 0 τότε αγ < βγ και α ÷ γ < β ÷ γ . Αν α > β και γ > 0 τότε αγ > βγ και α ÷ γ > β ÷ γ . Αν και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ανίσωση µε την αντίστροφη φορά. ∆ηλαδή: Αν α < β και γ < 0 τότε αγ > βγ και α ÷ γ > β ÷ γ . Αν α > β και γ < 0 τότε αγ < βγ και α ÷ γ < β ÷ γ . Μια ανίσωση που περιέχει µία µεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισµένες τιµές της µεταβλητής καλείται ανίσωση µε έναν άγνωστο.

27

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Ο τρόπος που ακολουθούµε για να λύσουµε µια ανίσωση, είναι παρόµοιος µε τον τρόπο που ακολουθούµε στην επίλυση εξισώσεων. ∆ηλαδή:

1. Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους. 2. Κάνουµε αναγωγές οµοίων ορων. 3. ∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανίσωση δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουµε τη φορά της ανίσωσης. Παράδειγµα: Να επιλυθεί η ανίσωση 4 x + 3 > 2 x − 7 .

4 x + 3 > 2 x − 7 ⇒ 4 x − 2 x > −3 − 7 ⇒ 2 x −10 2 x > −10 ⇒ > ⇒ x > −5 2 2 Παράσταση της λύσης στην ευθεία των αριθµών.

Παρατηρούµε ότι επειδή η ανίσωση δεν επαληθεύεται για x=-5 στην παράσταση της λύσης ευθείας το -5 κυκλώνεται. Αν µια ανίσωση δεν αληθεύει για καµιά τιµή του x στην περίπτωση αυτή λέµε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη ενώ αν αληθεύει για κάθε τιµή του x τότε είναι αόριστη. Στην παράσταση των λύσεων αυτών στην ευθεία των αριθµών όταν είναι αδύνατη δε θα σηµειώσουµε τίποτα, ενώ στην περίπτωση αοριστίας είναι όλη η ευθεία των αριθµών.

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. α < β τότε α + γ < β + γ και α - γ < β - γ. α > β τότε α + γ > β + γ και α - γ > β – γ. 2.α < β και γ > 0 α ⋅ γ 〈 β ⋅ γ και α > β και γ > 0 α ⋅ γ 〉 β ⋅ γ και

α β 〉 γ γ

3.α < β και γ < 0 α ⋅ γ 〉 β ⋅ γ και

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

α β 〈 γ γ

α β 〉 γ γ

28


α > β και γ < 0 α ⋅ γ 〈 β ⋅ γ και

α β 〈 γ γ

4.Ανίσωση µε ένα άγνωστο. Λύση ανίσωσης · Απαλοιφή παρανοµαστών. · Πράξεις. · Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους. · Αναγωγή όµοιων όρων. · ∆ιαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου. (Προσοχή) 5. Αληθεύουν για κάθε τιµή του x οι εξής ανισώσεις: 0 ⋅ x < 2 0 ⋅ x > −3 0 ⋅ x ≤ 4 0 ⋅ x ≥ −5 0 ⋅ x ≤ 0 0 ⋅ x ≥ 0

6. ∆εν ισχύουν για κανένα x (αδύνατες) οι ανισότητες: 0 ⋅ x < −2 0 ⋅ x > 3 0 ⋅ x ≤ −4 0 ⋅ x ≥ 5 0 ⋅ x < 0 0 ⋅ x > 0

7. ∆ιπλή ανίσωση – Συναλήθευση.

29

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Ασκήσεις

1. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 6 x − 3 ( 4 − 2 x ) > 0 β) −2 ( 3 x − 6 ) < 6 ( 2 + x ) γ) −6 x + 5 + x ≥ − (13 + x ) δ)

2x − 1 > −3 3

ε)

x +1 > x +1 4

ζ) 5 ( 3x − 1) ≥ 11x + 7 η)

x + 2 x −1 ≤ 3 2

θ)

x x x −2+ ≥ −6 3 2 6

ι) 19 − ( x + 9 ) > 8 ( x − 1) 2. Να συναληθεύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 3 ( x + 1) + 2 x > x + 2 − ( 4 x − 1) β) −2 ( x − 3) + 5 x ≥ 3 ( x + 1) + x − 1 3. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: α)

4 7 18 ( x − 5) − 1 < x − 5 10 5

β)

x + 3 27 3 x − 1 x − > − 2 5 20 5

4. Να εξετάσετε αν έχουν κοινές λύσεις οι ανισώσεις: α) 4 ( x + 4 ) + x + 1 > 2 ( 4 x − 5 ) β) −6 ( x − 11) ≤ 4 ( x − 2 ) − 3 ( x + 1) 5. Να εξετάσετε αν έχουν κοινές λύσεις οι ανισώσεις: α.

x + 2 x + 9 x −1 − < + 2 και 3 6 2 x + 1 2x + 3 − x + 3 − > −x 4 5 4

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

30


β. 3 ( x + 2 ) > x + 12 και 5 x − 3 > x + 13 και

2 ( x − 5) < 2 − ( 5 − x )

31

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κριτήριο αξιολόγησης 1

1. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

γ)

Η παράσταση 3x2x+6x+x είναι ίση µε: Οι ανισώσεις 3x>6 και 2x<6 έχουν κοινές λύσεις: Η εξίσωση x=x:

δ)

Η ανίσωση 3x-3x<0:

ε)

Ο τύπος s=u·t λύνεται ως προς t και δίνει:

α) β)

στ) Ο

τύπος u=1+α·t λύνεται ως προς α και δίνει:

Α

Β

Γ

7x

8x

-8x

10x

x>8

x>3

2<x<3

3<x<4

Έχει λύση µόνο x=1

Είναι ταυτότητα

Είναι αδύνατη

Έχει λύση κάθε αριθµό

Είναι αδύνατη

Έχει λύση x<0

u s a = u −1 − t

t=

t = s ⋅u a=

t=

u t −1

s u u −1 a= t

Έχει λύση µόνο τους θετικούς αριθµούς Έχει λύση x>0

t = s −u a=

1+ u t

2. Στο πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α µε τη λύση της στη στήλη Β. Στήλη Α Εξίσωση 2x=4 3x=-6 4x+4=0 3x+x=0 4=8x 3. α) Να λύσετε την εξίσωση:

Στήλη Β Λύση εξίσωσης x=-2 x=-1 x=2 x=0,5 x=0 x −1 1 + = x + 1. 2 3

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3( x − 1) > 2( x − 2). γ) Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης είναι και λύση της ανίσωσης. 4. Να γράψετε ένα αριθµό που το διπλάσιο του είναι ίσο µε το τριπλάσιό του. 5. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους µε άθροισµα 12.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

32


Κριτήριο αξιολόγησης 2

1. Σωστό – Λάθος α) Αν α = β, τότε α · γ = β · γ. β) Αν α = β και γ ≠ 0 , τότε

α β = . γ γ

γ) Αν α = β, τότε γ – α = γ - β. δ) Αν 3x = 0, τότε x = - 3. 2. Να λύσετε την εξίσωση:

3 2x −1 5 − 2x − = . 5 10 10

3. Να βρείτε τις λύσεις της διπλής ανίσωσης: ∧

x +1 2− x ≤x≤ . 3 2

4. Να βρείτε τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου, αν γνωρίζουµε ότι η γωνία Β ∧

είναι ίση µε το διπλάσιο της Α και η γωνία Γ είναι κατά 20ο µικρότερη της Β .

33

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

34


2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Θεωρία Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α, λέγεται ο θετικός αριθµός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθµό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συµβολίζεται

α.

µε

Επειδή = 0, ορίζουµε ως

0 = 0.

Από τον ορισµό της τετραγωνικής ρίζας προκύπτει: •

αν α ≥ 0 και α = x τότε x ≥ 0 και α = x 2 .

αν α ≥ 0 τότε

( α)

2

=α .

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθµού. 2. 02=0 άρα 0 = 0 . 3. Αν α = x όπου a ≥ 0 τότε: x ≥ 0 και x 2 = a . 4. Αν a ≥ 0 τότε

( α)

2

=α .

5. Αν α>0 και β>0 ισχύει

α α = β β

α ⋅ β = α ⋅ β και

6. Να κατασκευάσετε γεωµετρικά τους:

2, 3, 5 .

7. Προσοχή: Τελευταίο ψηφίο α

α

1

1ή9

4

2ή8

9

3ή7

6

4ή6

5

5

35

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


8. Η εξίσωση x 2 = a αν x ≥ 0 και α ≥ 0 έχει λύση τη x = α . 9. Η εξίσωση

x = α αν α ≥ 0 έχει λύση τη x = a 2 .

10. Προσοχή! Όταν έχουµε µια τετραγωνική ρίζα

α που δεν είναι ρητός

αριθµός, προσπαθούµε να γράψουµε τον αριθµό α ως γινόµενο δύο αριθµών, ώστε η ρίζα του ενός να είναι ρητός αριθµός. Για παράδειγµα γράφουµε:

18 = 9 ⋅ 2 διότι

9 = 3 και όχι:

άρρητοι.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

36

18 = 6 ⋅ 3 διότι

6 και

3 είναι


Ασκήσεις

1. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α.

9=

β.

900 =

δ.

0, 25 =

ε. 144 =

θ.

0, 0144 =

ι.

γ.

25 =

η. 1, 44 =

0, 0009 =

κ.

0, 000001 =

2. Να υπολογίσετε τους αριθµούς: α.

7+ 4 =

β.

25 − 81 =

γ.

70 − 31 + 25 =

δ.

5 − 10 2 9 =

ε. 4 16 =

στ. 3 ⋅ 5 9 ⋅ 16 =

3. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α.

4 + ...... = 3

β.

7 − ...... = 2

γ.

20 =2 ......

δ.

...... =3 5

ε. 3 + ...... = 3

στ.

37

9 + ...... = 4

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


2.2 ΆΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Έστω τετράγωνο πλευράς µήκους 1 και διαγωνίου µήκους x τότε από το πυθαγόρειο θεώρηµα προκύπτει ότι: x 2 = 12 + 12 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = 2 . Με αυτόν τον τρόπο ανακαλύφθηκε στην αρχαία Ελλάδα ο αριθµός

2.

Για τον αριθµό 2 αλλά και ∀x που δεν υπάρχει ρητός τέτοιος ώστε: x =

µ µε µ, ν ∈  και µ, ν ≠ 0 ν

µ λέµε ότι ο x δεν είναι ρητός αριθµός. ν

Κάθε αριθµός που δεν είναι ρητός καλείται άρρητος αριθµός. Από τον ορισµό των άρρητων αριθµών βλέπουµε ότι οι άρρητοι έχουν άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Για παράδειγµα τα δεκαδικά ψηφία του Άλλοι άρρητοι αριθµοί:

2.

3, 5, 6, 7, 8 κ.ο.κ

Οι πραγµατικοί αριθµοί αποτελούνται όχι µόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους. Οι πραγµατικοί αριθµοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σηµείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγµατικό αριθµό και αντίστροφα κάθε πραγµατικός αριθµός αντιστοιχεί σε µοναδικό σηµείο της ευθείας. Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονοµάζουµε ευθεία ή άξονα των πραγµατικών αριθµών. Υπενθύµιση: οι φυσικοί και ακέραιοι αριθµοί είναι και ρητοί αριθµοί. Συνεπώς το σύνολο των ρητών αριθµών εµπεριέχει τους φυσικούς και ακέραιους αριθµούς.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

38


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

1.Φυσικοί αριθµοί 2.Ακέραιοι αριθµοί. 3.Ρητοί αριθµοί =

Α . Φ

4.Άρρητοι Πραγµατικοί αριθµοί

Ρητοί αριθµοί

Άρρητοι αριθµοί

Ακέραιοι αριθµοί

Κλασµατικοί αριθµοί

Αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί

Θετικοί ακέραιοι αριθµοί (φυσικοί)

Μηδέν

39

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Φύλλο εργασίας

1. Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός αριθµού είναι ίσο µε το γινόµενο του αριθµού αυτού µε τον εαυτό του. ∆ηλαδή α 2 = α ⋅ α . Για παράδειγµα 52 = 5 ⋅ 5 = 25 ή 7 2 = 7 ⋅ 7 = 49 .

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) 32=.................... β) 82=.................... γ) 12=.................... δ) 02=.................... 2

3 ε) 1,22=................. στ) 2,32=............... ζ) 0,32=................ η)   = .............. 5 2

2 θ)   = ............. 7

2. Μερικές φορές την παραπάνω εργασία πρέπει να την κάνουµε αντίστροφα! Για παράδειγµα µπορείτε να βρείτε ποιος αριθµός (θετικός ή µηδέν) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση των κενών στις παρακάτω ισότητες; α) (..........)2=25 β) (..........)2=16 γ) (..........)2=81 δ) (..........)2=100 ε) (..........)2=36 στ) (.........)2=0 ζ) (..........)2=1 θ) (..........)2=

η) (..........)2=0,09

9 1 ι) (..........)2= κ) (..........)2=4 25 4

λ) (..........)2=9

3) Ν συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες όπως φαίνεται στο παράδειγµα. Παράδειγµα: είναι 72=49 οπότε α) είναι (..........)2=25 οπότε

49 = 7

25 = ...... β) είναι (..........)2=64 οπότε

γ) είναι (..........)2=1 οπότε 1 = .......... δ) είναι (..........)2=0 οπότε

64 = ...... 0 = ..........

4) Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες όπως φαίνεται στο παράδειγµα. Παράδειγµα: είναι 100 = 10 γιατί 102=10 α) είναι

81 = .......... γιατί (......)2=........ β) είναι

64 = .......... γιατί (......)2=........

γ) είναι

0 = .......... γιατί (......)2=.......... δ) είναι

36 = .......... γιατί (......)2=........

ε) είναι

0, 09 = ........ γιατί (......)2=........ στ) είναι

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

40

25 = ....... γιατί (......)2=........ 9


Κριτήριο αξιολόγησης

1) Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις: α) Ένας αριθµός x για τον οποίο είναι χ2=25 είναι ο: Α. 12,5 Β. 50 Γ. -5

∆. 7

β) Η τετραγωνική ρίζα του 25 είναι: Α. 12,5 Β. -5 Γ. 5 ∆. 7 γ) Στον άξονα των πραγµατικών αριθµών «δεξιότερα» του 11 βρίσκεται ο αριθµός: Α. 3 Β.

7

δ) Ο αριθµός Α.

6

Γ. 13

∆. 10

2 + 4 είναι ίσος µε:

Β. 4 Γ.

∆. 2

2

ε) Από τους επόµενους αριθµούς, άρρητος είναι ο:

Α. 16

Β.

25 4

Γ. 13,41 ∆.

3

2) Σωστό – Λάθος α) Αν x2 = α, τότε β) Αν a ≥ 0 , τότε

α =x

( α)

2

γ) Επειδή 1, 4142 < 2 < 1, 4143 , µε προσέγγιση χιλιοστού έχουµε: 2 = 1, 414

3) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο µε πλευρά α=4cm. Να υπολογίσετε το ύψος του. 4) Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ=10 cm. Να υπολογίσετε την πλευρά του.

41

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Επαναληπτικές ασκήσεις

1. Ποιοι από τους επόµενους δεκαδικούς αριθµούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; α) 3,1211221

β) 3,121121121....

γ) 3,121122112221122221

δ) 7,01001000100001...

2. Να λύσετε την εξίσωση

5⋅x = 3⋅x+

2 . 5+ 3

3. Η διαγώνιος ενός τετράγωνου είναι 4 cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του. 4. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές µε µήκη 5, x, x+1. Αν το x ικανοποιεί την σχέση ( x + 1)( x + 2 ) = 38 + x 2 , τότε: α) Να υπολογίσετε το x. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε και το µήκος της υποτείνουσας. 5. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α)

( (

25

)

2

+

)(

(−

γ) 1 + 2 1 − 2

25

)

2

+ 252

β) 3

)

δ)

(

) ( − 16 )

16 2 + 16 −

2

5+2 3−4 5+ 3

6. Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών τους αριθµούς: 1, − 5, 13, 18, − 2 5, 10, 50

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

42


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

43

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία Συναρτώ:συνδέω δύο φαινόµενα, καταστάσεις ή γεγονότα µε σχέση λογικής ακολουθίας και εξάρτησης: H επιτυχία των νέων εκπαιδευτικών µέτρων είναι άµεσα συναρτηµένη µε την ενεργή συµµετοχή των αρµοδίων. Tα προβλήµατα της νεολαίας συναρτώνται µε τη γενικότερη κοινωνική κρίση. (ορισµός του ρήµατος συναρτώ).Η λέξη συνάρτηση προκύπτει από το ρήµα συναρτώ. Στα µαθηµατικά η λέξη συνάρτηση δηλώνει την σχέση µεταξύ µεταβλητών. Αν για παράδειγµα έχουµε δύο µεταβλητές x, ψ και η τιµές της ψ εξαρτώνται από τις τιµές της x τότε λέµε ότι η µεταβλητή ψ εκφράζεται σαν συνάρτηση της µεταβλητής x. Οι τιµές που λαµβάνουν οι x, ψ µπορεί να είναι τιµές καιρικών φαινοµένων, οικονοµικών και ιατρικών αποτελεσµάτων ή ακόµα µηχανολογικών µετρήσεων. Γενικά µπορεί να είναι οποιεσδήποτε τιµές. Αυτό σηµαίνει ότι µε την σχέση των x, ψ

(δηλαδή την συνάρτηση) µπορούµε να περιγράψουµε πάρα πολλά φαινόµενα που συµβαίνουν στον κόσµο µας. Παράδειγµα: έστω η συνάρτηση ψ= 2x .∆ίνοντας τιµές στο x το ψ λαµβάνει από την συνάρτηση τιµές διπλάσιες του x .Μπορούµε να φτιάξουµε έναν πίνακα τιµών:

x

2 3 4 5

ψ

4 6 8 10

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

1. Ορισµός 2. Τιµές 3. Πίνακας τιµών

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

44


3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Θεωρία Το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο αποτελείται από δύο προσανατολισµένες ευθείες (άξονες), κάθετες µεταξύ τους. Οι προσανατολισµένες ευθείες καλούνται σύστηµα αξόνων το οποίο αποτελείται από τον άξονα τετµηµένων και τον άξονα τεταγµένων και συµβολίζονται αντίστοιχα µε x και y. Το σηµείο όπου τέµνονται λέγεται αρχή του συστήµατος συντεταγµένων. Ένα σηµείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο προσδιορίζεται µοναδικά από ένα ζεύγος αριθµών, την τετµηµένη και την τεταγµένη. Η τετµηµένη είναι η απόσταση του σηµείου από τον άξονα y και η τεταγµένη είναι η απόσταση του σηµείου από τον άξονα x. Η τετµηµένη και η τεταγµένη αποτελούν τις συντεταγµένες του σηµείου. Η αρχή των αξόνων ταυτίζεται µε το σηµείο (0,0). ∆ηλαδή, έχει µηδενική απόσταση από τους άξονες x και y. Eπιπλέον ορίζεται απόσταση ίση µε 1, σύµφωνα µε την οποία αριθµούνται οι άξονες. Οι συντεταγµένες (x, ψ) ενός σηµείου Μ δηλώνουν τη θέση του Μ κατά την ορθή προβολή του στους άξονες τετµηµένων και τεταγµένων αντίστοιχα.

2ο τεταρτηµόριο

1ο τεταρτηµόριο

3ο τεταρτηµόριο

4ο τεταρτηµόριο

45

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Προσδιορισµός της θέσης ενός σηµείου Μ σε ένα σύστηµα αξόνων:

Γραφική παράσταση συνάρτησης: ονοµάζεται η απεικόνιση µιας συνάρτησης µε γραφικό τρόπο σε ένα σύστηµα συντεταγµένων. Η γραφική παράσταση αποδίδει οπτικά µια συνάρτηση δίνοντας άµεσα τις πληροφορίες που χρειαζόµαστε (µια εικόνα χίλιες λέξεις). Με περισσότερη εξοικείωση η γραφική παράσταση µπορεί να µας πληροφορήσει και για τη γενικότερη συµπεριφορά της συνάρτησης, ώστε να µπορούµε να την κατανοήσουµε και να προβλέψουµε τη συµπεριφορά της διαισθητικά. Αυτή η ικανότητα είναι εξαιρετικά χρήσιµη, ειδικά αν ο τύπος της συνάρτησης είναι πολύπλοκος ή χρειάζεται αρκετές πράξεις για υπολογισµό. Συνήθως τα σηµεία της συνάρτησης είναι άπειρα, ώστε να είναι αδύνατος ο υπολογισµός όλων των σηµείων και η απόδοσή τους γραφικά. Έτσι, για την κατασκευή της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης χρειάζεται πρώτα η µελέτη της συνάρτησης, ώστε να κατασκευαστεί ένας πίνακας τιµών της συνάρτησης. Ύστερα µε κατάλληλη επιλογή µερικών σηµείων και ακολουθώντας τις οδηγίες από τον πίνακα τιµών µπορεί να κατασκευαστεί µια ικανοποιητική γραφική παράσταση.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

46


Η ίδια παράσταση µε περισσότερα σηµεία

47

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Σύστηµα ορθογωνίων αξόνων. Ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων. Αρχή των αξόνων. 2. Τετµηµένη – Τεταγµένη – Συντεταγµένες. 3. Προσδιορισµός σηµείου από τις συντεταγµένες του. 4. Σηµεία αξόνων Κάθε σηµείο του άξονα x΄x έχει τεταγµένη 0:A(x,0) Κάθε σηµείο του άξονα y΄y έχει τετµηµένη 0:B(0,y) Η Αρχή Ο έχει συντεταγµένες (0,0) 5. Τεταρτηµόρια. 6. Συµµετρικά σηµεία: · Ως προς τον άξονα x΄x : ίδια τετµηµένη – αντίθετη τεταγµένη · Ως προς τον άξονα y΄y: αντίθετη τετµηµένη – ίδια τεταγµένη · Ως προς την αρχή των αξόνων: αντίθετη τετµηµένη – αντίθετη τεταγµένη 7. Απόσταση δύο σηµείων: Α(x,y) , B(x2,y2) : AB =

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2

2

.

8. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Για µια συνάρτηση µε την οποία ένα µέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου µεγέθους x, γραφική παράσταση είναι το σύνολο όλων των σηµείων του επιπέδου µε συντεταγµένες (x,y).

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

48


Φύλλο Εργασίας Η µεγάλη µέρα έφτασε! Ο πιο κρίσιµος αγώνας στην ιστορία της Εθνικής οµάδας ποδοσφαίρου της Ελλάδας θ’ αρχίσει σε λίγο. Ο οµοσπονδιακός προπονητής δίνει τις τελευταίες οδηγίες στους παίκτες. Τους εµψυχώνει και εξηγεί τη θέση του καθενός. Για να γίνει πιο κατανοητός, δείχνει στους παίκτες ένα σχεδιάγραµµα µε δύο κάθετους άξονες οι οποίοι διέρχονται από το κέντρο του γηπέδου. ‘Έχει χωρίσει µάλιστα τους άξονες αυτούς σε ίσα διαστήµατα µε µήκος 1 cm στο σχεδιάγραµµα, αλλά στην πραγµατικότητα κάθε cm αντιστοιχεί σε 10 m. Για να περιγράψει καλύτερα τη θέση του καθενός χρησιµοποιεί δυο αριθµούς: Από το σηµείο όπου βρίσκεται κάθε παίκτης, φέρνει κάθετες στους άξονες. Ο αριθµός που αντιστοιχεί στον άξονα x΄x λέγεται τετµηµένη και ο αριθµός που αντιστοιχεί στον άξονα y΄y λέγεται τετµηµένη του παίκτη. Για παράδειγµα, λέει ότι ο παίκτης Β έχει τετµηµένη -3 και τεταγµένη 2. Πιο απλά γράφει Β(-3,2) και λέει ότι ο παίκτης Β έχει συντεταγµένες (-3,2).

49

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τις θέσεις και των 11 παικτών: Παίκτης

Τετµηµλενη x

Τεταγµένη y

Συντεταγµένες (x,y)

Α Β

-3

2

(-3, 2)

Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Κ Λ Μ 2. Ο προπονητής δίνει εντολή στον παίκτη Μ, να κινείται τρία τετράγωνα µπροστά, όταν επιτίθεται η οµάδα και δύο τετράγωνα πίσω, όταν αµύνεται. Ποιες είναι οι συντεταγµένες των θέσεων στις οποίες πρέπει να βρίσκεται ο παίκτης σ’ αυτές τις περιπτώσεις; Όταν επιτίθεται:............................................ Όταν αµύνεται:..................................................................................................... 3. Ο προπονητής δίνει εντολή στον παίκτη Θ να τροφοδοτεί, αν µπορεί, τον παίκτη Μ µε µακρινές διαγώνιες µπαλιές. Χρησιµοποιήστε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµατίζουν οι παίκτες Θ, Κ και Μ για να υπολογίσετε τις αποστάσεις µεταξύ των τριών αυτών παικτών.

.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

50


Από τα παραπάνω παραδείγµατα συµπεραίνουµε ότι: ............................................ 4. Για να οργανώσουµε και να µελετήσουµε καλύτερα έναν επίπεδο χώρο, χρησιµοποιούµε δυο κάθετους άξονες x΄x και y΄y µε κοινή αρχή ένα σηµείο Ο. Λέµε ότι έχουµε ένα ................................................................................................. Αν στους άξονες αυτούς χρησιµοποιούµε την ίδια µονάδα µέτρησης, τότε λέµε ότι έχουµε ένα ................................................................................................................. 5. Κάθε σηµείο Μ του επιπέδου καθορίζεται από ένα µοναδικό ζεύγος αριθµών

(α, β) που ονοµάζονται .................................. του σηµείου Μ. Ο αριθµός α ειδικότερα λέγεται ............................. του σηµείου Μ, ενώ ο αριθµός β λέγεται

................................ του σηµείου Μ. 6. Αν ένα σηµείο ανήκει στον άξονα x΄x, τότε έχει ........................ ίση µε 0. 7. Αν ένα σηµείο ανήκει στον άξονα y΄y, τότε έχει ........................ ίση µε 0. 8. Η αρχή των αξόνων Ο έχει συντεταγµένες ......................................................... 9. Παρατηρήστε τους παίκτες Κ και Μ. Οι θέσεις τους είναι συµµετρικές ως προς ..................................... . Οι τετµηµένες τους είναι ................................., ενώ οι τεταγµένες τους είναι ............................................................................. . Γενικά, µπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι το συµµετρικό ενός σηµείου

(α, β) ως προς τον άξονα x΄x, έχει συντεταγµένες .............................................. 10. Παρατηρήστε τους παίκτες Θ και Κ. Οι θέσεις τους είναι συµµετρικές ως προς

.......................................... . Οι τετµηµένες τους είναι ................................ ενώ οι τεταγµένες τους είναι ............................................... . Γενικά, µπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι το συµµετρικό ενός σηµείου (α, β) ως προς τον άξονα y΄y έχει συντεταγµένες .............................................................................

51

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


11. Παρατηρήστε τους παίκτες Κ και Η. Οι θέσεις τους είναι συµµετρικές ως προς ................................................... . Οι τετµηµένες τους είναι ..................................... και οι τεταγµένες τους είναι ...................................................... . Μπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι το συµµετρικό ενός σηµείου (α, β) ως προς την αρχή Ο των αξόνων έχει συντεταγµένες ................................................................. .

12. Γενικά, ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερις γωνίες που λέγονται ................................ και συµβολίζονται µε λατινικούς αριθµούς Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και ΙV. 13. Μπορούµε να καταλάβουµε σε ποιο τεταρτηµόριο βρίσκεται ένα σηµείο Μ (α, β) από τα πρόσηµα των αριθµών α και β. Στο Ι τεταρτηµόριο το α είναι ....................... και το β ......................................... . Στο ΙΙ τεταρτηµόριο το α είναι ....................... και το β ....................................... . Στο ΙΙΙ τεταρτηµόριο τα α είναι ............................ και το β ................................. . Στο ΙV τεταρτηµόριο τα α είναι ........................... και το β .................................. . 14. Για να υπολογίσουµε την απόσταση δύο σηµείων Α και Β του επιπέδου, χρησιµοποιούµε το ........................... σ’ ένα τρίγωνο µε υποτείνουσα την ΑΒ.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

52


3.3 & 3.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=ax+β

Θεωρία ∆ιερεύνηση: Ι) α ≠ 0 και β = 0 : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αx είναι µια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το α δίνει την κλίση της ευθείας και είναι: α

ψ x

για x ≠ 0 .

αν α = 1 τότε ψ = x.

αν α = 2τότε ψ = 2x.

53

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


αν α = -2 τότε ψ = -x

II) α ≠ 0 και β ≠ 0 : Η γραφική παράσταση της ψ = α x + β είναι µια ευθεία παράλληλη της γραφικής παράστασης της ψ = α x που διέρχεται από το σηµείο (0, β) του άξονα (ψ΄ψ).

ψ=2x+1,

σχήµα 1

σχήµα 2

ψ=2x -1

σχήµα 3

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

ψ=2x+1

54


Παρατηρείστε τι συµβαίνει όταν β > 0 και τι όταν β < 0 (σχήµα1 και σχήµα 3). Η εξίσωση της µορφής: α x + β x = γ µε α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει ευθεία (δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι µια ευθεία). Παραδείγµατα εξισώσεων: 12 x + 3ψ = 12 ⇒ 3ψ = −12 x + 12 ⇒ψ = −4 x + 4 .

Η εξίσωση ψ=κ παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ ενώ τέµνει τον άξονα ψ΄ψ στο κ. Η εξίσωση χ=κ παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα ψ΄ψ ενώ τέµνει τον άξονα χ΄χ στο κ. Η εξίσωση ψ=0 παριστάνει τον άξονα χ΄χ και η χ=0 τον άξονα ψ΄ψ.

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Ανάλογα ποσά y = σταθερός=a x

ή y=ax

2. Γραφική παράσταση y=ax · Ευθεία διερχόµενη από την αρχή των αξόνων. · Ο άξονας x΄x είναι ευθεία µε εξίσωση y=0·x ή y=0. · Αν α>0 η ευθεία βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτηµόριο. · Αν α<0 η ευθεία βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτηµόριο. · Για να σχεδιάσουµε αρκεί να βρούµε ένα ακόµη σηµείο της (εκτός απ’ την αρχή των αξόνων).

55

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3. Κλίση ευθείας y=ax. Ο λόγος

y = a λέγεται κλίση της ευθείας y=ax. x

· Η ευθεία y=x είναι διχοτόµος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων. · Η ευθεία y=-x είναι διχοτόµος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων. 4. Να σχεδιάσετε το διάγραµµα διαστήµατος – χρόνου µιας ευθύγραµµης οµαλής κίνησης για u=2m/s 5. Γραφική παράσταση της y=ax+β , β≠0 · Ευθεία παράλληλη της y=ax. · ∆ιέρχεται από το σηµείο (0, β) του άξονα y΄y. · Έχει κλίση ίση µε τον αριθµό α. 6. Η εξίσωση της µορφής ax+βy=γ. · Με α≠0, β≠0 παριστάνει ευθεία. · Όταν α=0 και β≠0 παίρνει τη µορφή:

0·x+βy=γ ή βy=γ ή y =

γ β

ή y=κ και παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον

άξονα x΄x. · Όταν α≠0 και β=0 παίρνει τη µορφή: α·x+0·y=γ ή αx=γ ή x =

γ ή x=κ και παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον α

άξονα y΄y. 7. Σηµεία τοµής της ευθείας αx+βy=γ µε α≠0, β≠0 µε τους άξονες: · ο άξονας x΄x έχει εξίσωση y=0. Βρίσκουµε το σηµείο τοµής µε τον άξονα x΄x θέτοντας y=0 και υπολογίζουµε την τετµηµένη x του σηµείου. · Ο άξονας y΄y έχει εξίσωση x=0. Βρίσκουµε το σηµείο τοµής µε τον άξονα y΄y θέτοντας x=0 και υπολογίζουµε την τεταγµένη y του σηµείου.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

56


Φύλλο εργασίας 1 Ένα κατάστηµα ρούχων κάνει έκπτωση 40% σε όλα του τα είδη! Αν ονοµάσουµε x την κανονική τιµή ενός είδους πριν από την έκπτωση και y την µειωµένη τιµή του είδους αυτού µετά την έκπτωση: 1. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τις τιµές διαφόρων ειδών: Πίνακας 1

παντελόνι

πουκάµισο

φουστάνι

µπλούζα

παπούτσια παλτό

x παλιά τιµή

50 €

30 €

70 €

20 €

40 €

100 €

«έκπτωση» y νέα τιµή 2. ∆ύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα, όταν ............................................................

.................................................................................................................................... 3. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: y x

Συµπέρασµα: ............................................................................................................. 4. Όταν δυο ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε ο λόγος

y ....................................... x

.................................................................................................................................... 5. Χρησιµοποιήστε το συµπέρασµα του ερωτήµατος 3 για να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x ................................................................................................. 6. Στο διπλανό σύστηµα συντεταγµένων να παρατηρήσετε τα σηµεία µε συντεταγµένες (x, y) που βρήκατε στον πίνακα 1. Τι παρατηρείτε; ...................................................................................................

57

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


7. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=0.6x. Συµπέρασµα: ....................................................................................................... 8. Από τη γραφική παράσταση (χωρίς υπολογισµούς) να βρείτε την τιµή µε την έκπτωση που πωλείται ένα ζευγάρι κάλτσες, ένα µαγιό και ένα σακάκι που έχουν χωρίς την έκπτωση 10 €, 35 € και 80 € αντίστοιχα. 9. Από τη γραφική παράσταση (χωρίς υπολογισµούς) να βρείτε πόσο είχαν χωρίς την έκπτωση, ένα παντελόνι που αγοράστηκε τελικά µε την έκπτωση 54 € και µία φούστα που αγοράστηκε τελικά µε την έκπτωση 60 € .................................

..............................................................................................................................

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

58


Φύλλο εργασίας 2

1. Στο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y=2x, y=2x+1, y=2x+3, y=2x-3, y=2x-5.

2. Τι κοινό χαρακτηριστικό έχουν και οι πέντε αυτές ευθείες;

.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

Συµπέρασµα: όλες οι ευθείες µε εξίσωση της µορφής y=2x+β, όπου το β µεταβάλλεται, είναι ....

.................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

3. Γενικά, όλες οι ευθείες µε εξίσωση y=ax+β, όπου το α είναι σταθερός αριθµός και το β µεταβάλλεται είναι ......................................................................................

.................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

4. Στο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y=2x+3, y=3x+3, y=-2x+3, y=-x+3 και y=x+3.

59

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


5. Τι κοινό χαρακτηριστικό έχουν και οι πέντε αυτές ευθείες;

.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

Συµπέρασµα: Όλες οι ευθείες µε εξίσωση της µορφής y=αx+3,όπου τα α µεταβάλλεται, .............

.................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

6. Γενικά, όλες οι ευθείες µε εξίσωση y=αx+β, όπου το β είναι ο σταθερός αριθµός και το α µεταβάλλεται, ................................................................................

....................................................................................................................................

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

60


3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y =

α x

- Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Θεωρία Ενώ η συνάρτηση ψ=αx δείχνει ότι τα χ, ψ είναι ανάλογα (ποσά ανάλογα) η συνάρτηση ψ =

α x

δείχνει ότι τα x, ψ είναι αντιστρόφως ανάλογα (ποσά αντιστρόφως

ανάλογα).

Η (α) είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης η (β) ψ = παράσταση της συνάρτησης ψ =

συνάρτησης ψ =

3 είναι η γραφική x

2 η (γ) είναι η η γραφική παράσταση της x

1 . x

σχ.1

σχ.2

61

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =

α

µε α ≠ 0 λέγεται υπερβολή και

x

αποτελείται από δύο κλάδους (σχ.1 & σχ.2) που ευρίσκονται: στο 1ο και 3ο τεταρτηµόριο όταν α>0 και στο 2ο και 4ο όταν α<0. Έχουν κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων και άξονες συµµετρίας τις ευθείες ψ = x και ψ = -x.

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά x⋅ y = a ή y =

α x

µε α≠0.

2. Προσοχή η συνάρτηση y =

α x

δεν ορίζεται για x=0.

3. Υπερβολή: η γραφική παράσταση της y =

α x

µε α≠0.

Αποτελείται από δύο κλάδους: · Στο 1ο και 3ο τεταρτηµόριο όταν α>0. · Στο 2ο και 4ο τεταρτηµόριο όταν α<0. Έχει: · Κέντρο συµµετρίας την αρχή 0 των αξόνων. · Άξονες συµµετρίας τις διχοτόµους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες

y=x και y=-x.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

62


Επαναληπτικές ασκήσεις

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=(3a+1)x+2 διέρχεται από το σηµείο Α(2, -2). α) Υπολογίστε το a. β) Συµπληρώστε τον πίνακα

x y

-2

-1

0

1

2

γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. 2. Από 120 κιλά τεύτλα παράγονται 18 κιλά ζάχαρη. α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Βάρος τεύτλων σε κιλά x 120 60 30 Βάρος ζάχαρης σε κιλά y 18 36 54 β) Να εκφράσετε το βάρος της παραγόµενης ζάχαρης ως συνάρτηση του βάρους των τεύτλων. γ) Πόση ζάχαρη θα παραχθεί από 10 τόνους τεύτλα; δ) Για να έχουµε παραγωγή 3 τόνων ζάχαρης, πόσα τεύτλα χρειάζονται; 3. Μία ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σηµείο Α

(

)

3,3 .

α) Να βρείτε τη συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία αυτή. β) Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η παραπάνω ευθεία µε τον άξονα Οx. 4. Ο µισθός ενός υπαλλήλου αυξήθηκε κατά 10%. α) Να εκφράσετε τις νέες αποδοχές του υπαλλήλου ως συνάρτηση των προηγούµενων αποδοχών του. β) Αν οι νέες µηνιαίες αποδοχές του είναι 1300 €, να βρείτε τις προηγούµενες αποδοχές του. 5. α) Να σχεδιάσετε την ευθεία y=λx+2, αν γνωρίζουµε ότι το σηµείο Α(-7, -12) ανήκει στην ευθεία αυτή. β) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες χωρίς να τις σχεδιάσετε:

i) y =

1 x +1 2

ii) y = 3 x + 2

iii) y = 0,5 x

iv) y = x + 3

v) y = 3 x − 2

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Ένα αυτοκίνητο διανύει µια απόσταση 400 km σε 6 ώρες. Πόσο πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του, ώστε να διανύσει την ίδια απόσταση σε 5 ώρες; 7. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=2x+5.

63

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


α) Να υπολογίσετε την παράσταση Α(x)=f(x+2)+f(2x-1). β) Να λύσετε την εξίσωση Α(x)=0. 8. ∆ίνεται η ευθεία (ε) µε εξίσωση y=(2λ+1)x+3µ-2. Αν γνωρίζουµε ότι είναι παράλληλη στην ευθεία µε εξίσωση y=-5x+7 και περνάει από το σηµείο Β(-1, 6), να βρείτε τους αριθµούς λ, µ. 9. ∆ίνονται οι ευθείες (ε1): y=2x και (ε2): y=-0,5x. Να αποδείξετε ότι είναι κάθετες.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

64


Κριτήριο αξιολόγησης

1. Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε ανάλογα ποσά:

2

4

8

7

6

18

2. Η ευθεία του σχήµατος έχει κλίση Α. −

1 2

Β. 3

Γ. -2

∆. −

2 3

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντησή.

3. Η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Ο (0,0) και Α(-2, 6) είναι: Α. -2

Β. 3

Γ. -3

∆. −

1 3

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντησή. 4. Η ευθεία του σχήµατος έχει εξίσωση: 1 Α. y = − x 3

Β. y = 3 x

Γ. y = −3 x

∆. y = 2 x

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντησή.

65

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


5. Στο σχήµα δίνονται οι ευθείες ε1, ε2, ε3 και ε4. Να αντιστοιχίσετε σε καθεµία την εξίσωσή της. ε1 ε2 ε3 ε4

y=3x y=-2x y=0,4x 1 y=− x 2

y=-1,3x

6. Να σχεδιάσετε στο διπλανό σύστηµα ορθογώνιο αξόνων τις ευθείες µε εξισώσεις: 5 y=x, y=7x και y= − x . 2

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

66


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

67

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


4.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ – ∆ΕΙΓΜΑ Θεωρία Πληθυσµός λέγεται ένα σύνολο του οποίου µελετάµε τα στοιχεία ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους. Μεταβλητή λέγεται το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο µελετάµε τα στοιχεία ενός πληθυσµού. ∆είγµα λέγεται το κοµµάτι (υποσύνολο) του πληθυσµού που χρησιµοποιούµε για την µελέτη της µεταβλητής.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

68


4.2 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Θεωρία Για να παρουσιάσουµε τα στατιστικά στοιχεία και συµπεράσµατα µιας έρευνας δηµοσκόπησης χρησιµοποιούµε τα εξής γραφήµατα: Ραβδόγραµµα

Κυκλικό γράφηµα

Εικονογράφηµα

Χρονόγραµµα

Ραβδόγραµµα

69

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κυκλικό γράφηµα (πίτα)

Εικονόγραµµα

Χρονόγραµµα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

70


4.3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Θεωρία Συχνότητες: Πίνακας Παρατηρήσεων: περιέχει τις απαντήσεις του δείγµατος.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων: Η 3η στήλη δείχνει τις εµφανίσεις της αντίστοιχης τιµής στον παραπάνω πίνακα. Τιµές

∆ιαλογή

Συχνότητα

71

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σχετικές Συχνότητες: Η σχετική συχνότητα µιας τιµής προκύπτει από την διαίρεση της συχνότητας της τιµής µε το πλήθος των παρατηρήσεων. Στην συνέχεια εκφράζουµε αυτόν τον αριθµό επί τοις εκατό. π.χ. 3 ÷ 50 = 0, 06 ∆ηλαδή 6%. Τιµές

∆ιαλογή

Συχνότητα

Σχετικές συχνότητες (%)

Ο παραπάνω Πίνακας 2 καλείται πίνακας κατανοµής συχνοτήτων. Το άθροισµα όλων των συχνοτήτων µας δίνει το πλήθος των παρατηρήσεων και το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων είναι 100.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

72


4.4 ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Θεωρία Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων

Η διαδικασία µε την οποία χωρίζουµε το διάστηµα των παρατηρήσεων σε υποδιαστήµατα τα οποία καλούµε κλάσεις καλείται οµαδοποίηση παρατηρήσεων. Γραφική παρουσίαση µε ιστόγραµµα οµαδοποιηµένης κατανοµής συχνοτήτων

οι αριθµοί π.χ. 40, 46 λέγονται άκρα της κλάσης ενώ ο µέσος όρος των άκρων λέγεται κέντρο της κλάσης (είναι ο 43).

73

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ – ∆ΙΑΜΕΣΟΣ Θεωρία Η µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων δίνεται από:

Σε περιττό πλήθος παρατηρήσεων η µεσαία παρατήρηση καλείται διάµεσος. Σε άρτιο πλήθος παρατηρήσεων η διάµεσος είναι ο µέσος όρος των δύο µεσαίων παρατηρήσεων.

Για να βρούµε την µέση τιµή οµαδοποιηµένης κατανοµής:

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

74


75

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.1 ΕΜΒΑ∆ΟΝ ΕΠΙΠΕ∆ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Θεωρία Εµβαδόν µιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθµός που δείχνει την έκταση που καταλαµβάνει η επιφάνεια στο επίπεδο. Ο αριθµός αυτός εξαρτάται από την µονάδα µέτρησης που αναφέρεται σε αυτόν.

Μετρώντας τα τετραγωνάκια που καλύπτει κάθε σχήµα βρίσκουµε το εµβαδόν του.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

76


1.2 ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Θεωρία

3.

77

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.3 ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Θεωρία Το εµβαδόν τετραγώνου πλευράς α ισούται µε Ε = α2.

Το εµβαδόν ορθογωνίου πλευρών α, β ισούται µε Ε = α ∗ β .

Ο εµβαδόν παραλληλογράµµου είναι ίσο µε το γινόµενο µιας βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος Ε = β ∗υ .

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

78


Το εµβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο µε το µισό του γινοµένου µιας βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος της. Ε =

β ∗υ 2

Το εµβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο µε το γινόµενο του ηµιαθροίσµατος των βάσεών του επί το ύψος του. Ε =

( β + Β ) ∗υ 2

Όταν ζητηθεί να υπολογίσουµε το εµβαδόν ενός σχήµατος που δεν είναι ένα από τα σχήµατα που γνωρίζουµε να βρίσκουµε το εµβαδόν τους τότε το σπάµε σε γνωστά σχήµατα.

79

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

1. Τι είναι εµβαδόν επίπεδης επιφάνειας; 2. Μονάδες µέτρησης επιφανειών. 3. Εµβαδόν ορθογωνίου: Ε =α ⋅β .

4. Εµβαδόν παραλληλόγραµµου: Ε = β ⋅υ .

5. Εµβαδόν τριγώνου: Ε=

1 β ⋅υ . 2

6. Εµβαδόν ορθογωνίου τριγώνου: Ε=

1 β ⋅γ . 2

7. Εµβαδόν τραπεζίου: Ε=

( β + Β) υ. 2

8. Άσκηση: Η διάµεσος ενός τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δυο τρίγωνα που έχουν ίδια εµβαδά. 9. Προσοχή! Όταν θέλουµε να βρούµε το εµβαδόν µιας επιφάνειας που είναι πολύπλοκο γεωµετρικό σχήµα προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε µικρότερα γνωστά γεωµετρικά σχήµατα των οποίων γνωρίζουµε το εµβαδόν.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

80


1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Θεωρία Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισµα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών ισούται µε το τετράγωνο της υποτείνουσας. α 2 = β 2 + γ 2

Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήµατος: Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που ευρίσκεται απέναντι από την µεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. ∆ιατύπωση – Σχέση – Πότε ισχύει. 2. Αντίστροφο. 3. Γεωµετρική ερµηνεία.

81

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κριτήριο αξιολόγησης 1

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

82


83

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κριτήριο αξιολόγησης 2

1) Να συγκρίνετε το άθροισµα των εµβαδών των µαύρων και των γκρι τριγώνων, αν τα ορθογώνια του σχήµατος είναι ίσα.

2) Ένα θερµοκήπιο σχήµατος ορθογωνίου έχει µήκος 52 m και πλάτος 10 m. Θέλουµε να βάλουµε λίπασµα και ξέρουµε ότι χρειάζονται 20 kg για κάθε 100 m2. Πόσα κιλά λίπασµα θα χρειαστούµε; 3) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για τις διάφορες τιµές των βάσεων, του ύψους και του εµβαδού τραπεζιών. Βάση µικρή 4 cm ............... 4 cm 6cm

Βάση µεγάλη 6cm 7cm …………… 14cm

Ύψος 3cm 4cm 6cm ……………

Εµβαδόν …………… 24cm2 48cm2 120cm2

4) Μια αυλή έχει σχήµα ορθογωνίου µε διαστάσεις 20 m και 10 m. Θέλουµε να τη στρώσουµε µε τετραγωνικές πλάκες 0,2 m και αξίας 2 € η καθεµία. Να υπολογίσετε: α) το εµβαδόν της αυλής. β) τον αριθµό των πλακών που θα χρειαστούν για το στρώσιµο και τα χρήµατα που θα πληρώσουµε. 5) Τα τετράγωνα ΑΒΓ∆ και ΕΖΗΓ του σχήµατος έχουν 441 cm2 και 2401 m2 αντίστοιχα. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ και το µήκος της ΑΕ.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

84


Επαναληπτικές ασκήσεις

1) Σ’ ένα τραπέζιο η µία βάση του είναι διπλάσια της άλλης. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 8 cm και έχει εµβαδόν 60 cm2, να υπολογίσετε τα µήκη των δυο βάσεων του παραπάνω τραπεζίου. 2) Να αποδείξετε ότι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα των βάσεων ενός τραπεζίου το χωρίζει σε δύο τραπέζια µε ίσα εµβαδά. 3) Σε τραπέζιο ΑΒΓ∆ η βάση Γ∆ είναι διπλάσια από την ΑΒ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓ∆ έχει εµβαδόν ίσο µε τα 2/3 του εµβαδού του τραπεζίου. 4) Σ’ ένα τραπέζιο η περίµετρός του είναι 36 cm και το εµβαδόν του είναι 55 cm2. Αν οι µη παράλληλες πλευρές του έχουν µήκος 6 και 8 cm, να βρείτε το ύψος του. 5) ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε βάσεις ΑΒ και Γ∆ και οι διαγώνιές του ΑΓ, Β∆ τέµνονται στο Ο. Να συγκρίνετε τα εµβαδά των τριγώνων: α) ΑΒ∆ και ΑΒΓ β) ΑΟ∆ και ΒΟΓ. 6) Αν η περίµετρος ορθογωνίου τριγώνου είναι 39 cm, η υποτείνουσα του 16 cm και η µια κάθετη πλευρά του κατά 3 cm µεγαλύτερη από την άλλη, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου. 7) Στο ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ το ύψος του Α∆ είναι 5 cm και το εµβαδόν του είναι 45 cm2. Να βρεθούν οι βάσεις του, αν η µία είναι διπλάσια της άλλης. 8) Σε ένα τρίγωνο τετραπλασιάζουµε τη βάση του και πενταπλασιάζουµε το αντίστοιχο ύψος. Τι συµβαίνει στο εµβαδόν; 9) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε την ευθεία µε εξίσωση

y=0,75x. Αν είναι το σηµείο της µε τεταγµένη 3, να βρείτε την τετµηµένη του Α και το µήκος ΟΑ. 10) Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 3x και 4x και η διαγώνιος του είναι 25 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου, την περίµετρο και το εµβαδόν του.

85

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

86


2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Θεωρία

Ο λόγος που προκύπτει αν διαιρέσουµε την απέναντι κάθετη πλευρά µε την προσκείµενη κάθετη πλευρά οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντοτε σταθερός (είναι πραγµατικός αριθµός) και καλείται εφαπτοµένη της γωνίας.

87

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Γνωρίζουµε ότι το µας δίνει την κλίση της ευθείας που είναι η γραφική παράσταση της. Παρατηρούµε ότι η είναι η κλίση αφού εφω = α. Να σχεδιαστεί γωνία τέτοια ώστε: εφω =

1 . 5

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Υποτείνουσα, απέναντι κάθετη πλευρά, προσκείµενη κάθετη πλευρά. 2. Εφαπτοµένη. 3. Κλίση ευθείας: y=αx, εφω=α. 4. Κατασκευή γωνίας µε εφαπτοµένη

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

88

1 . 5


2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Θεωρία Ο λόγος που προκύπτει αν διαιρέσουµε την απέναντι κάθετη πλευρά µιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ηµίτονο της γωνίας. Ο λόγος που προκύπτει αν διαιρέσουµε την προσκείµενη κάθετη πλευρά µιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνηµίτονο της γωνίας. Όπως προκύπτει από τον ορισµό του ηµίτονου και συνηµίτονου: εφω =

Να σχεδιαστεί γωνία ω τέτοια ώστε: ηµω =

ηµθ =

(ηµθ ) + (συνθ ) 2

2

3 . 5

ψ ρ

συνθ =

εφθ =

ηµω συνω

χ ρ

ψ χ

2 2 ψ 2 χ 2 (ψ + χ ) ρ 2 = 2+ 2 = = 2 =1 ρ ρ ρ2 ρ

89

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο για τις γωνίες του θ, φ προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις:

ηµθ =

β γ β γ β γ , συνθ = , εφθ = , επίσης ηµφ = , συνφ = , εφφ = άρα: α α γ α α β

ηµθ = συνφ , συνθ = ηµφ , εφθ ∗ εφφ = 1

Όταν η οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται τότε αυξάνεται το ηµίτονο και η εφαπτοµένη ενώ µειώνεται το συνηµίτονο. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ηµίτονα τότε αυτές είναι ίσες. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνηµίτονα τότε αυτές είναι ίσες. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτόµενες τότε αυτές είναι ίσες.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

90


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 5. Ηµίτονο 0 < ηµω < 1 . 6. Συνηµίτονο 0 < συνω < 1 . 7. Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: εφω =

ηµω . συνω ∧

8. Να δείξετε σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α = 90ο ηµ Β = συν Γ και ∧

συν Β = ηµ Γ . 9. Κατασκευή γωνίας µε ηµίτονο

3 . 5

10. Πως µεταβάλλεται το ηµίτονο, το συνηµίτονο και η εφαπτοµένη οξείας γωνίας. ∧

11. ηµω = ηµφ ⇒ ω = φ . ∧

συνω = συνφ ⇒ ω = φ . ∧

εφω = εφφ ⇒ ω = φ .

91

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Φύλλο εργασίας

1. Λεξιλόγιο: ∧

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε ορθή γωνία Α , λέµε ότι: Η πλευρά ΒΓ είναι η υποτείνουσα. Οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ είναι οι κάθετες πλευρές και µάλιστα: ∧

· Η πλευρά ΑΒ είναι η προσκείµενη κάθετη στη γωνία Β . ∧

· Η πλευρά ΑΓ είναι η απέναντι κάθετη στη γωνία Β .

Β Να συµπληρώσετε τις φράσεις: Στο τρίγωνο ΚΛΜ

Γ

Α

Μ

Λ

Κ

Η υποτείνουσα είναι η ............................................................................................... ∧

Η προσκείµενη κάθετη πλευρά στη γωνία Κ είναι η ............................................... ∧

Η απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία Κ είναι η ..................................................... ∧

Η απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία Μ είναι η .....................................................

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

92


Στο τρίγωνο ΡΣΤ Ρ

Σ Τ

Η υποτείνουσα είναι η ............................................................................................... ∧

Η πλευρά ΡΣ είναι ........................................................................... στη γωνία Τ . ∧

Η πλευρά ΡΤ είναι .............................................................................. στη γωνία Τ . ∧

Η πλευρά ΡΣ είναι .............................................................................. στη γωνία Σ .

2. Στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα οι σηµειωµένες οξείες γωνίες είναι ίσες.

Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: τρίγωνο υποτείνουσα απέναντι προσκείµενη κάθετη κάθετη 1 2 3 4

απεναντι καθετη υποτεινουσα

προσκειµενη καθετη υποτεινουσα

3. Παρατηρούµε ότι σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια οξεία γωνία θ,

απεναντι καθετη είναι ο ίδιος. υποτεινουσα Ο λόγος αυτός ονοµάζεται ........................................................................................ προσκειµενη καθετη β) Ο λόγος είναι ο ίδιος. υποτεινουσα Ο λόγος αυτός ονοµάζεται ........................................................................................ α) Ο λόγος

93

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


4. ∆ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήµατος. Ζ 5 ∆

12 13 Ε

Να συµπληρώσετε τους αριθµούς: ∧

ηµ Ε =

.......... ..........

συν Ε =

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

.......... ..........

ηµ ∆ =

94

.......... ..........

συν ∆ =

.......... ..........


Κριτήριο αξιολόγησης 1

1. Με βάση το σχήµα να συµπληρώσετε τις προτάσεις:

α) Η ......................... είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Β . ∧

β) Η ......................... είναι η προσκείµενη κάθετη πλευρά της γωνίας Γ . γ) Η ΑΓ είναι η προσκείµενη κάθετη πλευρά της γωνίας ......................................... δ) Η ΑΒ είναι η απέναντι πλευρά της γωνίας ...........................................................

2. Χρησιµοποιώντας το παρακάτω σχήµα συνδέστε κάθε τριγωνοµετρικό αριθµό της στήλης (Α) µε το αντίστοιχο της στήλης (Β). στήλη (Α) ∧

ηµ Β

συν Γ

ηµφ ηµω

στήλη (Β) ∆Β ΑΒ Α∆ ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΒ ΑΓ Α∆ ΑΓ ΒΓ Α∆ Γ∆ ΑΓ

95

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3. Η γωνία ω στο σχήµα ανήκει σε τρία ορθογώνια τρίγωνα: στο ......................, στο ....................... και στο ............................

Θέλουµε να υπολογίσουµε το συνω. α) Σε ποιο από τα τρία τρίγωνα θα το υπολογίσετε;.................................................. β) Πόσο είναι το συνω;.............................................................................................. γ) Αν επιλέγατε ένα άλλο τρίγωνο για να το υπολογίσετε, το συνω θα ήταν ίσο, µεγαλύτερο ή µικρότερο από αυτό που βρήκατε στο (β) ερώτηµα; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας ............................................................................ 4. Στο σχήµα η υποτείνουσα ισούται µε:

Α: 13συν56ο, Β: 13ηµ56ο, Γ:

13 , ∆: συν 56ο

13 ηµ 56ο Να κυκλώσετε την σωστή απάντηση.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

96


5. ∆ίνονται τα σχήµατα:

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: γωνία θ συνθ ηµθ

42ο

53ο

8ο

97

48ο

37ο

82ο

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κριτήριο αξιολόγησης 2 1. Να συµπληρώσετε το σύµβολο «<» ή το «>» στις παρακάτω περιπτώσεις: α) ηµ54ο..........ηµ35ο, β) συν49ο..........συν29ο, γ) ηµ48ο..........ηµ84ο, δ) συν18ο..........συν38ο, ε) εφ38ο..........εφ62ο, στ) εφ89ο..........εφ1ο 2. Τα παρακάτω έξι τρίγωνα έχουν γίνει κατά λάθος όλα ίσα, ενώ δεν είναι.

Μπορείτε να βρείτε ποια από αυτά έχουν ίσες γωνίες; 3. Να υπολογίσετε το x στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα:

4. Χρησιµοποιώντας τις πληροφορίες του διπλανού σχήµατος, να βρείτε τα µήκη x, y και z. ∆ίνονται:

ηµίτονο συνηµίτονο

25ο 0,42 0,91

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

28ο 0,47 0,88

47ο 0,73 0,68

98

65ο 0,91 0,42


2.3 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 30ο, 45ο, 60ο Θεωρία

30ο

40ο

60ο

ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 1. Σε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 1 cm να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµ45ο, συν45ο και εφ45ο. 2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 2 cm φέρτε το ύψος και υπολογίστε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 30ο και 60ο. 3. Να βρεθεί το ύψος και το εµβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α.

99

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κριτήριο αξιολόγησης

1. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

30ο

45ο

60ο

ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 2. Χρησιµοποιώντας τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς 30ο ,45ο και 65ο, να επαληθεύσετε ότι: α) συν60ο=συν230ο-ηµ230ο,

β) ηµ60ο=2ηµ30ο·συν30ο,

γ) συν60ο=2συν230ο-1,

δ) συν60ο=1-2ηµ230ο,

ε) εφ245ο=εφ30ο·εφ60ο,

στ) ηµ230ο+ηµ260ο=εφ245ο

3. Αν ισχύει η σχέση εφ245ο+συν260ο=x·ηµ45ο·συν45ο·εφ60ο, να βρείτε την τιµή του x.

4. Το τελεφερίκ ενός χιονοδροµικού κέντρου, αναχωρεί από υψόµετρο 2000 m και φτάνει σε υψόµετρο 2800 m. Κινείται µε ταχύτητα 3 m/s. Το συρµατόσχοινο του τελεφερίκ σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία 30ο. Η διαδροµή διαρκεί περισσότερο από 9 λεπτά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

100


2.4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Θεωρία Τα µεγέθη που προσδιορίζονται επακριβώς όταν γνωρίζουµε το µέτρο τους λέγονται βαθµωτά ή µονόµετρα µεγέθη. Τέτοια είναι η µάζα, η θερµοκρασία, το βάρος κ.λ.π. Μεγέθη που εκτός από το µέτρο για να οριστούν ακριβώς χρειάζονται και την κατεύθυνση λέγονται διανυσµατικά µεγέθη. Τέτοια είναι η ταχύτητα του ανέµου, η δύναµη που εφαρµόζεται σε ένα σώµα κ.λ.π. Τα διανυσµατικά µεγέθη παριστάνονται µε διανύσµατα που συµβολίζονται µε βέλη έχοντας ένα σηµείο Α σαν αρχή το οποίο καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος και ένα σηµείο Β που είναι το πέρας (τέλος) του διανύσµατος. Το →

διάνυσµα συµβολίζεται µε: ΑΒ . →  →  Ένα διάνυσµα έχει τα εξής στοιχεία: ∆ιεύθυνση – Φορά  ΑΒ  – Μέτρο ΑΒ  

∆ιεύθυνση: την ευθεία (ε) που ορίζουν τα άκρα Α, Β ή οποιαδήποτε παράλληλη ευθεία προς την (ε). → Φορά: που ορίζεται µε  ΑΒ  αν το διάνυσµα έχει αρχή το Α και πέρας το Β ή µε  

 →   ΒΑ  αν το διάνυσµα έχει αρχή το Β και πέρας το Α.   →

Μέτρο: το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που συµβολίζεται µε ΑΒ .

Η ∆ιεύθυνση µε την Φορά καθορίζουν την κατεύθυνση του διανύσµατος. ∆ύο διανύσµατα είναι ίσα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα µέτρα. ∆ύο διανύσµατα είναι αντίθετα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα µέτρα και αντίθετη φορά.

101

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


→ → → → Τα διανύσµατα  ΑΒ  ,  ΒΓ  ,  Γ∆  ,  ∆Ε  λέγονται διαδοχικά διανύσµατα.        

ΛΥΣΗ:

ΛΥΣΗ:

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

102


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

1. Μονόµετρα – διανυσµατικά µεγέθη. 2. Η έννοια του διανύσµατος. · αρχή – σηµείο εφαρµογής. · πέρας. · άκρα. Χαρακτηριστικά ∆ιεύθυνση Φορά Μέτρο 3. Απόσταση – µετατόπιση. 4. Ίσα – Αντίθετα διανύσµατα.

103

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


2.5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ∆ΙΑΦΟΡΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Θεωρία

Το άθροισµα των διαδοχικών διανυσµάτων (µετατοπίσεων) είναι το διάνυσµα ΑΕ Άθροισµα ∆ιανυσµάτων: •

Η µέθοδος του παραλληλογράµµου (τα διανύσµατα έχουν κοινή αρχή).

α+ β =δ •

Η µέθοδος του πολυγώνου (τα διανύσµατα είναι διαδοχικά).

α+ β+γ =δ

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

104


∆ιαφορά ∆ιανυσµάτων χωρίς κοινή αρχή: •

Προσθέτω το αντίθετο διάνυσµα.

ΑΒ− Γ∆ = ΑΒ+ ∆Γ = ΑΒ+ ΒΕ = ΑΕ ∆ιαφορά δύο διανυσµάτων µε κοινή αρχή:

ΟΑ− ΟΒ = ΒΟ+ ΟΑ = ΒΑ

Το µηδενικό διάνυσµα είναι εκείνο του οποίου η αρχή και το πέρας ταυτίζονται →

δηλαδή το µέτρο του είναι 0 και συµβολίζεται µε 0 . Ουσιαστικά πρόκειται περί σηµείου.

105

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

12. ∆ιαδοχικά διανύσµατα. 13. Άθροισµα διανυσµάτων – Η µέθοδος του πολυγώνου. · Αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου. 14. Άθροισµα διανυσµάτων – Η µέθοδος του παραλληλόγραµµου. 15. ∆ιαφορά δύο διανυσµάτων. · Πρόσθεση του αντιθέτου. 16. ∆ιαφορά δύο διανυσµάτων µε κοινή αρχή. · Αρχή το πέρας του δεύτερου και πέρας το πέρας του πρώτου. 17. Μηδενικό διάνυσµα. · Αρχή και πέρας συµπίπτουν · Παριστάνει σηµείο.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

106


Κριτήριο αξιολόγησης

1. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Να γράψετε δύο ίσα και δύο αντίθετα διανύσµατα.

2. ∆ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ∆ και Ο το κέντρο του. Να συµπληρώσετε τις φράσεις: →

α) Τα διανύσµατα ΑΟ και ΓΟ είναι ............................... β) Τα διανύσµατα ΟΒ και ∆Ο είναι ............................... γ) Τα διανύσµατα ∆Α και ΒΓ είναι ...............................

3. Για το ίδιο σχήµα να κυκλώσετε τη σωστή απάντησή: →

α) Με ∆Α+ ∆Γ ισούται το διάνυσµα: Α: ΑΒ , Β: Β∆ , Γ: Β∆ , ∆: ΓΑ , Ε: ΑΓ β) Με ∆Α− ∆Γ ισούται το διάνυσµα: Α: ΑΓ , Β: ΓΑ , Γ: ∆Β , ∆: ∆Α , Ε: Β∆

4. ∆ίνεται το τυχαίο τετράπλευρο του διπλανού σχήµατος. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντησή.

Α: Α∆+ ΑΓ = ΒΓ+ Β∆ ∆: ΑΒ+ ΒΓ = ΑΓ+ Γ∆

Β: Α∆+ ΒΓ = ΑΓ+ Β∆

Γ: Α∆+ Β∆ = ΑΓ+ ΒΓ

Ε: Α∆− ΑΓ = ΒΓ+ Β∆

5. Να ενώσετε τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆, Ε, Ζ των διπλανών σχηµάτων µε διανύσµατα έτσι, ώστε: →

α) το άθροισµα τους να ισούται µε Α∆ . →

β) το άθροισµα τους να ισούται µε ΓΖ . γ) το άθροισµα τους να ισούται µε 0.

107

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


2.6 ΑΝΑΛΥΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΏΣΕΣ Θεωρία

Το διάνυσµα ΑΒ αναλύεται µε την βοήθεια των αξόνων στα διανύσµατα Α∆, ΑΓ τα →

οποία και καλούνται συνιστώσες του ΑΒ .

ΒΓ

Παρατηρούµε ότι: ηµθ =

ΑΓ →

ΑΒ

και συνθ =

ΑΒ = συνθ ∗ ΑΓ .

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

ΑΓ

108

άρα ΒΓ = ηµθ ∗ ΑΓ και


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Συνιστώσες ενός διανύσµατος. 2. Ανάλυση διανύσµατος σε δύο κάθετες συνιστώσες. 3. Μέτρα συνιστωσών.

109

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Επαναληπτικές ασκήσεις.

∧   1. Θεωρούµε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  Α = 90ο  . Στην προέκταση της ΑΒ  

θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα Β∆=ΑΒ. Να υπολογίσετε την σχέση των ∧

εφ ΑΓΒ , εφ ΑΓ∆ . Πως µπορούµε να σχεδιάσουµε γωνία ω τέτοια ώστε ∧

εφω = 5εφ ΑΓ∆ ; 2. ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=15 cm, ΒΓ=20 cm και φέρνουµε το ύψος του Α∆. Αν γνωρίζουµε ότι Β∆=7 cm, να υπολογίσετε: ∧

α) τη γωνία Β ,

γ) τη γωνία Γ ,

β) το ύψος Α∆,

δ) τη γωνία ΒΑ∆ ,

ε) τη γωνία ∆ΑΓ .

3. Θεωρούµε έναν κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ=3 cm. Από ένα σηµείο Α εκτός του κύκλου φέρνουµε την εφαπτοµένη ΑΤ= 4 cm. ∧

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ΤΑΟ και ΤΟΑ . ∧

β) Να βρείτε ένα σηµείο Β του κύκλου έτσι ώστε ΤΟΒ = 60ο . 4. Αν είναι ω=45ο και φ=60ο να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) Α = 2ηµω συνφ − συν 2ω + 2 συνωηµφ β) Β = (ηµφ + συνω ) − (συνφ − ηµω ) . 2

2

5. Να υπολογίσετε τις αριθµητικές τιµές των παραστάσεων: α) Α = εφ 2 45ο ⋅ηµ 60ο ⋅ εφ 30ο ⋅ εφ 2 60ο 3 β) Β = εφ 2 45ο + εφ 2 60ο − ηµ 30ο + συν 60ο − εφ 2 45ο 4

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

110


6. Σε ένα από τα πιο εντυπωσιακά παιχνίδια στη θάλασσα ένα ταχύπλοο έλκει ένα →

κολυµβητή δεµένο µε αλεξίπτωτο µε δύναµη µέτρου F = 1500 N . Αν η γωνία που σχηµατίζει το σκοινί µε το οριζόντιο επίπεδο είναι 50ο, να υπολογίσετε τις →

κάθετες συνιστώσες της δύναµης F . 7. Ένα σπασµένο δέντρο σχηµατίζει ορθογώνιο τρίγωνο µε το έδαφος. Το σπασµένο κοµµάτι σχηµατίζει µε το έδαφος γωνία 39ο, ενώ το άλλο κοµµάτι είναι

1,60 m. Να βρείτε το ύψος που είχε αρχικά το δέντρο. ∧

8. ∆ίνεται τρίγωνο ΚΛΜ µε γωνίες Κ = 37ο και Μ = 53ο . α) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΚΛΜ; β) Γνωρίζοντας ότι ΚΛΜ=25 m, να υπολογίσετε: i) την ΚΜ και ii) την ΛΜ. 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε την διάµεσο ΑΜ και την προεκτείνουµε κατά τµήµα ΜΝ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: → →

α) ΑΒ = ΓΝ

β) ΑΝ = ΑΒ+ ΑΓ

ΑΒ + ΑΓ γ) ΑΜ = . 2 →

10. Σε µία σήραγγα ενός ορυχείου τα βαγόνι µεταφοράς υλικού σύρεται σε ράγες που σχηµατίζουν µε το οριζόντιο έδαφος γωνία 48ο. Το βαγόνι ζυγίζει 2000 Ν µαζί µε τα ορυκτά µε τα οποία είναι γεµάτο. Να βρείτε πόση δύναµη ασκεί το συρµατόσκοινο στο βαγόνι για να κινείται µα σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω.

111

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

112


3.1 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ Θεωρία ∧

Μια γωνία χΑψ που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Αχ, Αψ τέµνουν τον κύκλο λέγεται εγγεγραµµένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ).

 του κύκλου (Ο, ρ) λέγεται αντίστοιχο τόξο της χΑψ και η γωνία ΒΑΓ το τόξο ΒΓ . βαίνει στο τόξο ΒΓ •

Κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης.

Οι εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν σε ίσο ή ίσα τόξα είναι µεταξύ τους ίσες.

Κάθε εγγεγραµµένη είναι ίση µε το µισό του µέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει. Οι εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν σε ίσο ή ίσα τόξα είναι µεταξύ τους ίσες.

Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή.

113

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης

Επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα είναι και µεταξύ τους ίσες. Ισχύει και το αντίστροφο.

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Εγγεγραµµένη γωνία. 2. Επίκεντρη γωνία. · Σε ένα κύκλο µόνο µια επίκεντρη γωνία βαίνει σε δοσµένο τόξο, το οποίο βλέπουν άπειρες εγγεγραµµένες γωνίες. 3. Σχέση εγγεγραµµένης – επίκεντρης. · Εγγεγραµµένη που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή. · Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. · Οι εγγεγραµµένες που βαίνουν σε ίσα τόξα είναι ίσες. · Κάθε εγγεγραµµένη έχει µέτρο ίσο µε το µισό του µέτρου του αντίστοιχου τόξου.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

114


Κριτήριο αξιολόγησης.

1. α) Να κάνετε την αντιστοίχηση ανάµεσα στα τόξα και τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες: Τόξο

Επίκεντρη γωνία

Κύκλος

180ο

Ηµικύκλιο

30ο

Τεταρτοκύκλιο

360ο

1 του κύκλου 12

90ο

β) Σωστό – Λάθος.

i) Αν σε δύο κύκλους έχουµε δύο ίσες επίκεντρες γωνίες, τότε τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι ίσα.

ii) Η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια κάθε εγγεγραµµένης που βαίνει στο ίδιο τόξο. iii) Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή. iv) Αν µια εγγεγραµµένη και η αντίστοιχή επίκεντρή της είναι ίσες, τότε και οι δύο είναι 0ο. 2. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η άκρη του ωροδείκτη ενός ρολογιού σε 3 ώρες διαγράφει τόξο: Α: 30ο,

Β: 60ο,

Γ: 90ο,

∆: 180ο

β) Το µέτρο µιας εγγεγραµµένης γωνίας που βαίνει σε τεταρτοκύκλιο είναι ίσο µε: Α: 30ο,

Β: 45ο,

Γ: 90ο,

∆: 90ο

γ) ∆ίνεται το τόξο ΑΒ = 100ο κύκλου (Ο, ρ) και η διχοτόµος Γ∆ της εγγεγραµµένης ∧

γωνίας ΑΓΒ . Τότε η επίκεντρη γωνία ΑΟ∆ είναι ίση µε: Α: 25ο,

Β: 50ο,

Γ: 75ο,

∆: 100ο

115

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


δ) ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ρ) για το οποίο ισχύει: ∩

ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ 2 . Τότε το τόξο ΒΓ είναι ίσο µε: Α: 45ο,

Β: 90ο,

Γ: 180ο,

∆: 360ο

3. Στο διπλανό σχήµα η ΑΓ είναι διάµετρος και ∧

ΑΒΓ = 2 x + 10o , Γ∆ = x + 10ο , ΑΒ = x + 20o . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆.

4. ∆υο κύκλοι (Ο1, ρ1) και (Ο2, ρ2) τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Έστω ΑΓ η διάµετρος του κύκλου (Ο1, ρ1) και Α∆ η διάµετρος του κύκλου (Ο2, ρ2). Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Γ, Β και ∆ είναι συνευθειακά.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

116


3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Θεωρία Ένα πολύγωνο µε ν – κορυφές λέγεται ν – γωνο. Εξαίρεση αποτελεί το πολύγωνο µε

4 κορυφές που λέγεται τετράπλευρο. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι µεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι µεταξύ τους ίσες. Κανονικά Πολύγωνα.

Κατασκευή Κανονικού Πολυγώνου:

117

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Κεντρική γωνία ν – γώνου.

Η κεντρική γωνία ω ενός ν – γώνου είναι ω =

360ο

ν

Σε οποιοδήποτε κανονικό ν – γωνο οι γωνίες ΜΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓ∆ είναι ίσες διότι βαίνουν σε ίσα τόξα.

Η γωνία φ ονοµάζεται γωνία του κανονικού ν – γώνου.

Σχέση κεντρικής γωνίας ω και γωνίας φ σε κανονικό ν – γωνο. Τα τρίγωνα που σχηµατίζονται ∧

είναι ισοσκελή άρα ω , φ είναι παραπληρωµατικές.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

118


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Είδη τετράπλευρων (πολύγωνα µε 4 πλευρές). · τετράγωνο · ορθογώνιο · παραλληλόγραµµο · ρόµβος · τραπέζιο · τυχαίο τετράπλευρο 2. Πολύγωνα µε περισσότερες κορυφές. 3. Κανονικό πολύγωνο. Περιγεγραµµένος κύκλος του πολυγώνου. Εγγεγραµµένο πολύγωνο στον κύκλο. 4. Κεντρική γωνία ν – γώνου.

ω=

360ο

ν

.

119

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


5. Γωνία κανονικού ν – γώνου: φ. φ=180ο – ω Παραπληρωµατική της κεντρικής γωνίας. Απόδειξη. 6. ∆ιαδικασία κατασκευής ενός κανονικού ν –γώνου. · Υπολογίζουµε την κεντρική γωνία ω =

360ο

ν

· Σχηµατίζουµε διαδοχικά ν επίκεντρες γωνίες που χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα. · Ενώνουµε τα άκρα των τόξων.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

120


Φύλλο εργασίας

1. Στο διπλανό σχήµα η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ είναι ίση µε 60ο. Να σχηµατίσετε τις γωνίες που έχουν κορυφή τα σηµεία ∆, Ε, Ζ, Γ και πλευρές που διέρχονται από τα σηµεία Α, Β. Με ένα µοιρογνωµόνιο να µετρήσετε τις γωνίες που σχηµατίσατε. Είναι: ∩

Α∆Β = .......... , ΑΕΒ = .......... , ∩

ΑΖΒ = .......... και ΑΓΒ = .......... ∧

Καθεµία από τις γωνίες Α∆Β, ΑΕΒ, ΑΖΒ, ΑΓΒ ∧

βαίνει στο τόξο ........................... και είναι ίση µε το µισό της ΑΟΒ . ΓΕΝΙΚΑ: κάθε εγγεγραµµένη γωνία

.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 2. Σε ένα κανονικό ν- γώνο για την κεντρική του γωνία ω και τη γωνία φ ισχύουν οι σχέσεις: ω = βρίσκουµε ν =

.......... , φ + ω = .......... . Αν λύσουµε τον πρώτο τύπο ως προς ν ..........

.......... . Από το δεύτερο τύπο βρίσκουµε ω = .......... ..........

ή φ = .......... . Να συµπληρώσετε τον πίνακα που αναφέρεται σε τέσσερα κανονικά πολύγωνα.

30ο Πλήθος πλευρών

Κεντρική γωνία

108ο φ γωνία

70 20ο

121

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3. Σε κύκλο µε ακτίνα 2 cm να κατασκευάσετε ένα κανονικό εξάγωνο. Να υπολογίσετε το µήκος της πλευράς του και να βρείτε το εµβαδόν του. Λύση Η κεντρική γωνία του κανονικού εξαγώνου είναι .......... ω= = 60ο . .......... Σχεδιάζουµε έξι διαδοχικές .................... γωνίες 60ο. Αυτές διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα .................... και οι αντίστοιχες χορδές τους είναι οι .................... του εξαγώνου. Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές µε µια γωνία 60ο, εποµένως είναι .................... και έτσι ΑΒ= .................... cm. ∧ ∧ ΟΚ ΟΚ ή ...... = ή ΟΚ = ...... cm . Είναι Ο = ..........ο και συν Ο1 = ...... ...... 1 1 Είναι ( ΟΑΒ ) = ⋅ ΑΒ ⋅ ΟΚ = ⋅ 2 ⋅ ...... = ...... cm 2 . 2 2 Το εµβαδόν του εξαγώνου είναι Ε = 6 ⋅ ( ΟΑΒ ) = ...... cm 2 .

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

122


Κριτήριο αξιολόγησης

1. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Πλήθος πλευρών κανονικού πολυγώνου 3

Γωνία κανονικού πολυγώνου

Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

72ο 6 40ο ο

144

2. Να κατασκευάσετε ένα κανονικό πεντάγωνο και ένα κανονικό δωδεκάγωνο. 3. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε γωνία ίση µε την κεντρική γωνία. ∧

4. ∆ίνεται κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ∆Ε και ΑΖ η διχοτόµος της γωνίας ΓΑΒ . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΖ και ΑΕ είναι κάθετες.

123

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ Θεωρία Το µήκος της περιφέρειας του κύκλου δίνεται από την σχέση: L = π ∗ δ ή L = 2 ∗ π ∗ ρ όπου δ η διάµετρος του κύκλου, ρ η ακτίνα του κύκλου και

π=3,14159... άρρητος. Ως γνωστόν δ = 2 ∗ ρ . ΑΣΚΗΣΗ:

Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος

1. Ο αριθµός π (άρρητος) Ο λόγος του µήκους L ενός κύκλου προς τη διάµετρο δ. 2. Μήκος κύκλου.

L = π δ ή L = 2 π ρ.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

124


3.4 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

Θεωρία Για να υπολογίσουµε το µήκος τόξου ενός κύκλου εφαρµόζουµε την απλή µέθοδο των τριών:

Όλος ο κύκλος που είναι 360ο έχει µήκος 2 ∗ π ∗ ρ .

Ένα τόξο µο l = 2πρ

πόσο µήκος l έχει;

µο 360ο

Το τόξο που έχει το ίδιο µήκος µε την ακτίνα ρ του κύκλου χρησιµοποιείται σαν µονάδα µέτρησης και καλείται ακτίνιο ή rad. Άρα ένας κύκλος µε ακτίνα ρ έχει µήκος 2π rad. Αφού l = 2πρ

α = 2π

µο 360ο

Από α = 2π

µο 360ο

τότε l = 2π

µο 360ο

ρ και θέτοντας

έχω ότι το µήκος του τόξου είναι: l = a ρ δηλαδή l = arad .

µο 360ο

⇒α =π

µο 180ο

α µο = . π 360ο σχέση µοιρών & rad.

125

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


3.5 ΕΜΒΑ∆ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ∆ΙΣΚΟΥ Θεωρία Για να υπολογίσω το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου κάνω τα εξής: Χωρίζω τον δίσκο σε πολύ µικρά τόξα. Τα τόξα αυτά τα ενώνω όπως φαίνονται στο επόµενο σχήµα 2.

σχήµα1. Ενώνω τα τόξα ανά δύο σύµφωνα µε το σχήµα 2. Παρατηρώ ότι σχηµατίζεται ένα σχήµα 2 σαν ορθογώνιο. Όσο πιο µικροί οι δίσκοι τόσο το σχήµα 2 θα µοιάζει µε ορθογώνιο.

σχήµα 2.

Η βάση του ορθογωνίου είναι:

2πρ = πρ . Άρα το 2

ορθογώνιο έχει βάση πρ και ύψος ρ. Άρα το εµβαδόν του είναι: Ε = πρ 2 . Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ: Ε = πρ 2 .

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

126


3.6 ΕΜΒΑ∆ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ Θεωρία

Εµβαδόν κυκλικού τοµέα: Ε = πρ

µο 360ο

.

Αν το τόξο έχει µετρηθεί σε ακτίνια και είναι α rad τότε έχουµε ότι Ε = πρ 2

α α 1 = ρ 2 ⇒ Ε = ρ 2α . 2π 2 2

127

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σχεδιάγραµµα Μαθήµατος 1. Μήκος τόξου µο l = 2πρ

µ 360

Εξαρτάται από:

· την κεντρική γωνία. · την ακτίνα του κύκλου.

2. Ακτίνιο (rad): Μονάδα µέτρησης των τόξων. Είναι το τόξο που έχει µήκος ίσο µε την ακτίνα του κύκλου. 3. Μήκος τόξου α rad. Ένα τόξο 1 rad έχει µήκος ρ Ένα τόξο α rad έχει µήκος l Άρα

1

α

=

ρ

ή l = aρ

l

4. Σχέση µοιρών ακτινών. Γνωρίζουµε: l = 2 πρ Άρα 2πρ =

µ 360

µ και l = aρ 360

= αρ ή π

µ 180

=α ή

µ 180

=

α π

5. Ίσα τόξα. ∆ύο τόξα είναι ίσα όταν: · ανήκουν στον ίδιο κύκλο ή σε κύκλους µε ίσες ακτίνες. και · οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες είναι ίσες. Προσοχή! ∆ύο τόξα µε ίσα µήκη δεν είναι απαραίτητα ίσα αφού µπορεί να ανήκουν σε κύκλους µε διαφορετικές ακτίνες. 6. Εµβαδόν κυκλικού δίσκου.

Ε = πρ 2 7. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα. Ε = πρ 2

µ

1 ή Ε = αρ 2 360 2

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

128


Φύλλο εργασίας

1. α) Το µήκος L ενός κύκλου ακτίνας ρ είναι L = ............... . Αν λύσουµε τον τύπο αυτό ως προς ρ, έχουµε ρ =

.......... . ..........

β) Ένα τόξο του οποίου η αντίστοιχη γωνία είναι 1ο, έχει µήκος ίσο µε το του ............... δηλαδή ίσο µε

1 360

1 .......... ⋅ 2πρ = . Εποµένως, ένα τόξο µε 360 ..........

αντίστοιχη επίκεντρη γωνία µο έχει µήκος ............... .

129

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Επαναληπτικές ασκήσεις

2. ∆ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και η εγγεγραµµένη του γωνία ΒΑΓ = 45ο . Αν ΒΓ = 5 ∩

cm, να υπολογίσετε το µήκος του τόξου ΒΓ και το εµβαδόν του κύκλου. 3. Να γράψετε ένα κύκλο µε διάµετρο ΑΒ και στη συνέχεια από τυχαίο σηµείο Γ του κύκλου, να φέρετε τις χορδές ΓΑ και ΓΒ. Αν είναι ΓΒ = 12 cm και ΓΑ = 5

cm, να βρείτε: α) το µήκος του κύκλου, β) το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου. 4. ∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α = 3 cm. Με κέντρα τις κορυφές ∩

του τριγώνου και ακτίνα 3 cm σχηµατίζουµε τα τόξα ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ . ∩

α) Να υπολογίσετε σε rad τα µήκη των τόκων, ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ . β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του «καµπυλόγραµµου» τριγώνου ΑΒΓ. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου χωρίου. 4. ∆ύο ίσοι κύκλοι κέντρων Κ και Λ αντίστοιχα τέµνονται στα σηµεία Α και Β. ∧

Να εξηγήσετε γιατί οι γωνίες ΑΚΒ και ΑΛΒ είναι ίσες.

5. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο έτσι, ώστε να ισχύει ∩

ΒΓ = 160ο . Φέρνουµε τη διάµετρο Α∆. Αν ΒΓ = 30ο να υπολογίσετε τις

γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ∆. ∩

6. Σε έναν κύκλο (Ο, ρ) θεωρούµε τρία διαδοχικά τόξα ΑΒ = 68ο , ΒΓ = 80ο και ∩

Γ∆ = 106ο . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου ΑΒΓ∆.

7. Σε έναν κύκλο να γράψετε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ και Γ∆. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι χορδές ΑΓ και Β∆ είναι ίσες. 8. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ = 4 cm. 9. Ένα τετράγωνο έχει περίµετρο 10 cm. Το ίδιο ισχύει και για το µήκος ενός κύκλου. Ποιο από τα δύο σχήµατα έχει µεγαλύτερο εµβαδόν;

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

130


∧  10. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  Α = 90ο  είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ρ).  

Αν ΑΒ = 6 cm και ΑΓ = 8 cm, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, την πλευρά ΒΓ και το εµβαδόν του κύκλου. ∩

11. ∆ύο χορδές ΑΒ και Γ∆ ενός κύκλου (Ο, ρ) τέµνονται στο Ε. Αν ΑΒ = 65ο και ∩

ΒΓ = 40ο , να υπολογίσετε την γωνία ΑΕ∆ .

12. Το χωρίο του σχήµατος αποτελείται από δύο ηµικύκλια και ένα ισοσκελές τραπέζιο. α) Να εκφράσετε την περίµετρο του χωρίου ως συνάρτηση του x. β) Να εκφράσετε το εµβαδόν του χωρίου ως συνάρτηση του x. γ) Να βρείτε τις τιµές της περιµέτρου και του εµβαδού, όταν x = 3 cm.

131

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωµετρίας

1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Γ = 90ο α = 25 2 cm και γ = 50 cm. Να βρείτε την ∧

β, Β και το ύψος της ΓΗ.

2. Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει το κιβώτιο µε το έδαφος ΑΓ.

3. Να βρεθούν όλα τα στοιχεία των τριγώνων και τα εµβαδά τους. α)

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

132


β)

γ)

4. Να βρεθούν οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε το µήκος του ύψους ΒΕ.

5. Η περίµετρος του παραλληλόγραµµου είναι 28 m. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του.

6. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του τραπεζίου.

133

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


7. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Να βρεθεί η περίµετρος και το εµβαδόν του.

8. Να βρεθεί το εµβαδόν του ΑΒΓ .

9. Στο παρακάτω τρίγωνο να βρεθεί το ύψος h.

10. Να βρεθεί το εµβαδόν του παραλληλόγραµµου και το µήκος της διαγωνίου του ΑΓ.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

134


11. Στο παρακάτω τρίγωνο να βρεθεί η πλευρά ΒΓ.

12. Να υπολογιστεί η γωνία ΑΟΓ και το εµβαδόν του ΑΒΓ .

13. Να υπολογιστεί η περίµετρος και το εµβαδόν του παρακάτω σχήµατος.

14. Να υπολογιστεί η περίµετρος και το εµβαδόν του ΑΒΓ∆Ε.

15. Αν ΑΒ = 4 cm AM = 1,5 cm και ΒΜ = 2,5 cm. Να συγκριθεί το µήκος του ηµικύκλιου µε διάµετρο ΑΒ µε το άθροισµα των µηκών των ηµικυκλίων µε διαµέτρους ΑΜ και ΒΜ.

135

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


16. Το µήκος της χορδής ΑΒ = 3 m. Να βρεθεί το µήκος του τόξου ΑΒ .

17. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος. α)

β) ΟΑ=ΑΒ=2 cm

18. ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς 2 cm. Σχηµατίζουµε τα τόξα ΒΓ των κύκλων (Α, ΑΒ) και (∆, ∆Β). Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

136


19. ∆ίνονται τρεις ίσοι κύκλοι µε ακτίνα 1 cm (Κ,1) (Λ,1) (Μ,1) οι οποίοι εφάπτονται όπως στο σχήµα. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

20. ΑΒΓ∆ τετράγωνο µε ΑΒ = 6 cm και ΑΕ = 3 cm. Να βρεθεί η περίµετρος και το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

21. ΑΒ = 6 cm. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

137

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


22. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος. Τα ∆, Ε δεν είναι µέσα των ΑΒ και ΑΕ αντίστοιχα. Η εφαπτοµένη του κύκλου µε την ακτίνα στο σηµείο επαφής σχηµατίζουν γωνία 90ο.



23. ∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 2 m και τόξο κύκλου µε κέντρο Α που εφάπτεται στην ΒΓ. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

24. Να βρεθεί η περίµετρος και το εµβαδόν του ΑΒΓ∆ΕΑ.

25. Οι τέσσερις κύκλοι είναι ίσοι µε ακτίνα ρ = 2 cm. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

138


26. Να βρεθεί η περίµετρος και το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.

27. Να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.



28. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. Β∆Γ τόξο του κύκλου (Α, ΑΒ). ∩

ΒΕΓ ηµικύκλιο µε διάµετρο ΒΓ. Αν Β∆Γ = 3 π cm, να βρεθεί το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου τµήµατος.



29. ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο. Με κέντρο τις κορυφές Β και Γ και ακτίνες 3 cm γράφουµε δυο τόξα στο εσωτερικό του τριγώνου και µε διάµετρο Α∆ και ΑΕ γράφουµε δυο ηµικύκλια. Να βρεθεί το εµβαδόν της “καρδιάς” που σχηµατίζετε.

139

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


1.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

140


4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ∆Α ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ Θεωρία Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων στον χώρο.

Να είναι παράλληλα.

Να τέµνονται κατά µια ευθεία.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στον χώρο. Να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να είναι παράλληλες.

Να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να τέµνονται.

Να µην ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να µην έχουν κανένα κοινό σηµείο δηλαδή να είναι ασύµβατες.

141

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου. Μια ευθεία (ε) ορίζεται από δύο σηµεία Α, Β εκ των οποίων διέρχεται. Στο επίπεδο (p) που ανήκουν τα σηµεία ανήκει και η ευθεία (ε) και λέγεται ευθεία του επιπέδου (p) .

Αν η ευθεία (ε) δεν έχει ούτε ένα κοινό σηµείο µε το επίπεδο (p) τότε είναι παράλληλη στο επίπεδο.

Αν η ευθεία (ε) τέµνει το επίπεδο (p) σε ένα σηµείο Γ τότε το σηµείο Γ καλείται ίχνος της ευθείας (ε) στο επίπεδο (p).

Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο όταν είναι κάθετη σε κάθε άλλη ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το ίχνος της.

Απόσταση σηµείου Α από επίπεδο (p): είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος AB το οποίο ευθύγραµµο τµήµα είναι κάθετο στο επίπεδο (p). Κάθε άλλο ευθύγραµµο τµήµα από το σηµείο A στο επίπεδο (p) που δεν είναι κάθετο στο επίπεδο έχει µεγαλύτερο µήκος από το τµήµα AB που είναι κάθετο.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

142


4.2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΜΒΑ∆ΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝ∆ΡΟΥ Θεωρία

Στην στερεοµετρία τα παραπάνω σχήµατα καλούνται ορθά πρίσµατα. Εµείς θα τα καλούµε πρίσµατα. Κάθε πρίσµα έχει δύο παράλληλες έδρες που είναι ίσα µεταξύ τους πολύγωνα οι οποίες έδρες καλούνται βάσεις του πρίσµατος. Κάθε πρίσµα έχει τις παράπλευρες έδρες που είναι ορθογώνια παραλληλόγραµµα. Οι παράπλευρες έδρες σχηµατίζουν την παράπλευρη επιφάνεια του πρίσµατος. Οι πλευρές των εδρών του πρίσµατος λέγονται ακµές. Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του πρίσµατος. Αν η βάση του πρίσµατος είναι σχήµατος τριγώνου τότε το πρίσµα λέγεται τριγωνικό, άν είναι πεντάγωνο πενταγωνικό κ.ο.κ. ∆ύο βασικά ορθά πρίσµατα είναι ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Εµβαδόν Επιφάνειας Πρίσµατος.

Ανάπτυγµα επιφάνειας πρίσµατος.

143

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


α) Εµβαδόν Παράπλευρης Επιφάνειας: Επ = (Π εριµετρος Βασης ) ∗ (Υψος ) β) Ολικό Εµβαδόν Πρίσµατος: Εολ . = Επ + 2Ε β όπου Εβ είναι το εµβαδόν της βάσης του πρίσµατος. Εµβαδόν Κυλίνδρου

Εκ = 2πρ ∗υ + 2πρ 2 όπου ρ η ακτίνα των βάσεων και υ το ύψος του κυλίνδρου.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

144


4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝ∆ΡΟΥ Θεωρία Η έννοια του Όγκου

Θεωρούµε έναν κύβο µε ακµή 1 µονάδα µήκους. Ο αριθµός που δηλώνει πόσες φορές χωράει ο κύβος αυτός ή ένα µέρος του κύβου σε ένα στερεό σώµα. Σ λέγεται όγκος του σώµατος Σ.

Μονάδες Μέτρησης του Όγκου: 1m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3 . Όγκος Πρίσµατος και Κυλίνδρου: Όγκος κυλίνδρου = (Εµβαδόν βάσης)*(Ύψος). Όγκος πρίσµατος = (Εµβαδόν βάσης)*(Ύψος).

145

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ∆Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ Θεωρία

Οι τάφοι των Φαραώ ευρίσκονταν µέσα στις πυραµίδες.

Πυραµίδα είναι το στερεό που έχει µια έδρα σε σχήµα πολυγώνου και οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. Στοιχεία της πυραµίδας: •

Το πολύγωνο ΑΒΓ∆ΕΖ είναι η βάση της.

Τα τρίγωνα ΚΑ∆, ΚΓ∆ κλπ είναι οι παράπλευρες έδρες της.

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

• Το

κοινό σηµείο Κ είναι η κορυφή της.

• Το

ΚΟ ή το ΚΘ είναι το ύψος της.

146


Ονοµασίες πυραµίδων ανάλογα µε το σχήµα της βάσης τους ή το πλήθος των εδρών τους.

Μια πυραµίδα λέγεται κανονική όταν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της στην βάση συµπίπτει µε το κέντρο της. Οι παράπλευρες έδρες µιας κανονικής πυραµίδας είναι ίσα µεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα. Ισχύει και το αντίστροφο. Το ύψος σε καθένα από αυτά τα ισοσκελή τρίγωνα λέγεται απόστηµα.

Εµβαδόν επιφάνειας πυραµίδας: Εολ = Επ + Ε β όπου Επ: Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας και Εβ: Εµβαδόν βάσης. Εµβαδόν επιφάνειας κανονικής πυραµίδας:

Επ =

1 (Περιµετρος Βασης ) ∗ ( Αποστηµα ) 2

147

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


Όγκος πυραµίδας: είναι το

1 του όγκου του πρίσµατος που έχει ίσες βάσεις µε την 3

βάση της πυραµίδας και ίσο ύψος µε το ύψος της. Από αυτό προκύπτει ότι ο όγκος 1 πυραµίδας: V = (Εµβαδον Βασης ) ∗ (Υψος ) 3

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

148


4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ Θεωρία

Κώνος λέγεται το στερεό που δηµιουργείται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου µε άξονα µια εκ των καθέτων πλευρών του η οποία λέγεται και ύψος του κώνου. Η υποτείνουσα λέγεται γενέτειρα του κώνου και το µήκος της συµβολίζεται µε λ. Η βάση του κώνου είναι ένας κυκλικός δίσκος του οποίου η ακτίνα ρ καλείται ακτίνα του κώνου.

Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: Επ = πρλ Ολικό εµβαδόν κώνου: Εολ = πρλ + πρ 2

1 Όγκος κώνου: V = πρ 2υ 3

149

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου


4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ Θεωρία

Η σφαίρα δηµιουργείται από την περιστροφή ενός κυκλικού δίσκου (Ο, ρ) περί µιας διαµέτρου του. Η ακτίνα ρ του κυκλικού δίσκου είναι και ακτίνα της σφαίρας. Το κέντρο Ο του κυκλικού δίσκου είναι και το κέντρο της σφαίρας.

Σχέση Επιπέδου και Σφαίρας: •

Να µην τέµνονται.

Να εφάπτονται σε ένα σηµείο.

Να τέµνονται κατά την επιφάνεια κύκλου.

Εµβαδόν επιφάνειας σφαίρας: Το εµβαδόν µιας σφαίρας είναι ίσο µε το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου στον οποίο η σφαίρα εγγράφεται. Άρα:

Εσφ = Ε κ.π. = 2πρυ ⇒ Εσφ = 2πρ ⋅ 2ρ ⇒ Εσφ = 4πρ 2 .

Όγκος της σφαίρας: Vσφ =

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Π. Χουλιάρας

150

4 3 πρ 3


4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Θεωρία

Ο ισηµερινός χωρίζει την γη σε δύο ηµισφαίρια το Βόρειο και το Νότιο.

Ο πρώτος µεσηµβρινός χωρίζει την γη σε δύο ηµισφαίρια το Ανατολικό και το ∆υτικό.

Η επίκεντρη γωνία λ καλείται γεωγραφικό µήκος ενός τόπου και η γωνία ω γεωγραφικό πλάτος του. Ανάλογα µε την θέση του τόπου το γεωγραφικό µήκος καλείται δυτικό (W) ή ανατολικό (E) και το γεωγραφικό πλάτος βόρειο

(Ν) ή Νότιο (S).

151

Μαθηµατικά Β΄ Γυµνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασσίου  
Μαθηματικά Β Γυμνασσίου  

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Advertisement