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Obteniendo El Retrato Fase De Un P´endulo Completo Bianca Paola Meneses Brassea Octubre 07, 2010

I. Resumen En este documento se muestra la resoluci´on de la ecuaci´on del p´endulo completo utilizando el M´etodo de Eluer Semi-impl´ıcito. Se muestra el diagrama de fase del movimiento del p´endulo donde se retrata la posici´on contra la velocidad angular.

II. Introducci´ on El p´endulo es un sistema f´ısico que puede oscilar bajo la acci´on gravitatoria u otra caracter´ıstica f´ısica (elasticidad, por ejemplo) y que est´a configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo. Existen varios tipos de p´endulos que, atendiendo a su configuraci´on y usos, reciben los nombres apropiados: p´endulo simple, p´endulo compuesto, p´endulo cicloidal, doble p´endulo, p´endulo de Foucault, p´endulo de Newton, p´endulo bal´ıstico, p´endulo de torsi´on, p´endulo esf´erico, etc´etera. El p´endulo que manejamos en este documento es el p´endulo completo. La ecuaci´on del p´endulo completo puede reducirse a una m´as sencilla si le damos ciertas condiciones, como por ejemplo, que el ´angulo inicial del movimiento sea muy pequeo. A este caso del p´endulo se le comoce como 1


Figure 1: El P´endulo Simple

p´endulo simple, tambi´en llamado p´endulo ideal, y est´a constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo. Al separar un poco la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posici´on, desplaz´andose sobre una trayectoria circular con movimiento peri´odico. La ecuaci´on del oscilador arm´onico es d2 θ g + sin θ = 0 dt2 l

(1)

Esta se conoce como la ecuaci´on de Mathieu. Puede derivarse de la conservaci´on de la energ´ıa mec´anica. En cualquier punto de su oscilaci´on, la energ´ıa cin´etica de la masa es igual a la energ´ıa a potencial gravitatoria que perdi´o en la ca´ıda de su posici´on m´as alta en los extremos de su oscilaci´on h.

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Resolviendo (1) obtenemos: s

dθ 2g q = ( cos θ − cos θ0 ) (2) dt l Obtenemos la velocidad en funci´on del a´ngulo, incluyendo el desplazamiento inicial (θ0 ) como una constante de integraci´on. La ecuaci´on diferencial anterior no es soluble en funciones elementales. Suponiendo que el p´endulo alcanza s´olo una peque˜ na amplitud, es decir: θ1 es suficiente para permitir que el sistema sea resuelto aproximadamente. Haciendo el supuesto de ´angulo peque˜ no permite la aproximaci´on a realizar. sin θ ≈ θ El error en esta aproximaci´on es proporcional a θ03 . Sustituyendo esta aproximaci´on en (1) se obtiene la ecuaci´on de un oscilador arm´onico. d2 θ g + θ = 0. dt2 l El movimiento es un movimiento arm´onico simple, donde θ0 es la semiamplitud de la oscilaci´on. El per´ıodo del movimiento, el tiempo de una oscilaci´on completa (ida y vuelta) es s

T0 = 2π

l g

que es la ley de Huygens para el per´ıodo. Tenga en cuenta que en virtud de la aproximaci´on de ´angulos peque˜ nos, el per´ıodo es independiente de la amplitud θ0 . Para resolver la ecuaci´on del p´endulo para diferentes condiciones iniciales, utilizaremos el M´etodo de Euler Semi-impl´ıcito (M´etodo de Euler-Cromer).

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III. Metodolog´ıa Para obtener el retrato fase del movimiento del p´endulo completo utilizamos el M´etodo de Euler Semi-impl´ıcito, tambi´en conocido como M´etodo de EulerCromer. El m´etodo de Euler semi-impl´ıcito surgi´o para resolver las ecuaciones Hamiltonianas, las cuales son un sistema de ecuaciones diferenciales que surgieron de la mec´anica cl´asica. Este m´etodo puede usarse para resolver un par de ecuaciones diferenciales de la forma dx = f (t, v) dt dv = g(t, x), dt donde f y g son funciones conocidas. Aqu´ı, x y v pueden ser ambas escalares o vectores. Las ecuasiones de movimiento en la mec´anica Hamlitoniana toma esta foram si la Hamiltoniana es de la forma H = T (, v) + V (t, x). Las ecuaciones diferenciales se resolver´an con la condici´on inicial x(t0 ) = x0 , v(t0 ) = v0 . El m´etodo de Euler semi-impl´ıcito produce una soluci´on discreta aproximada iterando

vn+1 = vn + g(tn , xn )∆t xn+1 = xn + f (tn , vn+1 )∆t

(3)

donde ∆t es el paso del tiempo y tn = t0 + n∆t es el tiempo despu´es de n pasos.

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En el caso del p´endulo, haremos algunas modificaciones. Cambiaremos v por ω y x por θ , ya que la velocidad y la posici´on no son lineales, sino angulares. Entonces las ecuaciones quedan de la forma ωn+1 = ωn + g(tn , θn )∆t θn+1 = θn + f (tn , ωn+1 )∆t

(4)

y las ecuaciones que resolveremos entonces son: ω = ω0 − (g/l) sin (θ0 )∆t θ = θ0 + ω∆t.

(5)

Para resolverlas elaboramos un programa en lenguaje Fortran que, al correrlo, pide la posici´on inicial, la velocidad angular inicial y el n´ umero de iteraciones deseadas y despliega el valor de θ y ω. Estos valores los graficamos en gnuplot y de esta manera obtenemos el retrato fase del movimiento del p´endulo en un diagrama de θ vs ω para diferentes valores iniciales.

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Los valores iniciales utilizados en esta ocasi´on se muestran en la siguiente tabla (n´otese que el n´ umero de iteraciones siempre fue el mismo:1000): Tabla de condiciones iniciales Valores Iniciales θ0 ω0 Iteraciones 3π 8 1000 3π -8 1000 -3π 8 1000 -3π -8 1000 3π 6 1000 3π -6 1000 -3π 6 1000 -3π -6 1000 3π 4 1000 3π -4 1000 -3π 4 1000 -3π -4 1000 2π 4.5 1000 -2π -4.5 1000 2π 2.5 1000 -2π -2.5 1000 π 0 1000 -π 0 1000 π/2 0 1000 π/4 0 1000

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Retrato fase del movimiento del p´endulo completo

Figure 2: P´endulo Completo

IV. Resultados y Discusi´ on El diagrama que se obtuvo al graficar los datos de la tabla de la secci´on anterior (figure 2) muestra un retrato del movimiento completo de un p´endulo para diferentes posiciones iniciales y diferentes velocidades desde 0 hasta 8 rad/s. Estos valores son tanto positivos como negativos, lo que nos permite tener un panorama completo del movimiento del p´endulo. En el diagrama se puede observar muy f´acilmente donde comienza el movimiento seg´ un sus condiciones iniciales y c´omo es su comportamiento el resto de su movimiento. Tambi´en podemos observar cu´ales son los puntos cr´ıticos en cada condici´on. Podemos ver que cuando el p´endulo comienza su movimiento con velocidad inicial 0 en aproximadamente π (ya que no puede empezar en π porque el p´endulo no se mover´ıa), los puntos cr´ıticos de su movimiento, es decir, donde toma los valores m´aximos y m´ınimos es en θ = -2π, 0, 2π, ... Para tener una mejor apreciaci´on de esto, a continuaci´on se presenta una tabla 7


con los puntos cr´ıticos: Tabla de Puntos Cr´ıticos θ0

ω0 M´aximos M´ınimos 3π, -3π 8 10.17 8 3π, -3π -8 -8 -10.17 3π, -3π 6 8.61 6.00 3π, -3π -6 -6.00 -8.61 3π, -3π 4 7.39 4.00 3π, -3π -4 -4.00 -7.39 2π, -2π, π/2, π/4 4.5 4.5 -4.5 2π, -2π 2.5 2.5 -2.5 π, -π 0 2π -2π Se debe hacer notar que al referirme a 3π, 2π y π no se habla sobre el valor exacto, sino uno aproximado, ya que si el p´endulo iniciar´a su movimiento justamente en esos puntos con velocidad angular inicial 0, ´este no se mover´ıa; se quedar´ıa en ese mismo lugar. Puede iniciar su movimiento d´andole un velocidad angular inicial. N´otese tambi´en que cuando el movimiento empieza en ´angulos pequeos como en el caso de π/4, el movimiento es peri´odico y traza casi una circunferencia. Al principio tuve problemas con el programa, pues batall´e para encontrar la forma en que quer´ıa que me trabajara realmente, pero al final qued´o y muy bien. Luego mi problema fu´e con el diagrama, ya que al graficar los datos que obten´ıa al correr el programa obten´ıa gr´aficas muy extraas que no describ´ıan el movimiento realmente. Despu´es gracias a la ayuda del profesor encontramos que en la escritura de mi programa ten´ıa escritas las variables de salida en orden contrario, por lo que gnuplot me desplegaba un diagrama de ω vs θ en vez de θ vs ω . Al resolver este pequeo problema, fu´e todo un desaf´ıo determinar las condiciones iniciales que deb´ıa introducir al correr el programa para obtener un buen retrato fase del movimiento del p´endulo, pero despu´es de dedicarle tiempo, esfuerzo, l´ogica y razonamiento, obtuve un buen resultado. Encontrar los puntos cr´ıticos no fu´e un trabajo dif´ıcil ya que en el retrato fase se aprecian a la perfecci´on.

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V. Conclusiones Exiten diferentes maneras o m´etodos de resolver la ecuaci´on de movimiento de un p´endulo muy efectivos, y uno de ellos es el M´etodo de Semi-impl´ıcito, que es el que utilizamos en este trabajo. Es posible elaborar un programa sencillo en lenguaje Fortran para encontrar las soluciones seg´ un las condiciones iniciales y que trabaje a la perfecci´on. Al introducir ciertas condiciones iniciales, se puede obtener un bello retrato fase que muestre en general todo el movimiento que puede tener el p´endulo completo. Este retrato es muy f´acil de interpretar para cualquier persona que lo vea.

VI. Bibliograf´ıa • http:es.wikipedia.org/wiki/P´endulo • http:en.wikipedia.org/wiki/Pendulum (mathematics) • http:en.wikipedia.org/wiki/Semi-implicit Euler method

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VII. Ap´ endice Anexo el programa en lenguaje Fortran utilizado para resolver la ecuaci´on del p´endulo completo utilizando el M´etodo de Euler Semi-implc´ıcito.

Program PenduloMetodoEuler !~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! Este programa resuelve la ecuacin diferencial del pndulo utilizando el !Mtodo de Euler Semi-implicito. ! ! Las variables a utilizar son: ! teta : posicin/ngulo ! tetai : posicin/ngulo inicial ! w : velocidad angular ! wi : velocidad angular inicial ! t : tiempo final (total) ! dt : delta t (t-to) ! l : longitud del pndulo ! g : gravedad ! n : nmero de iteraciones ! i : contador ! si : s ! d : decision !Variables de entrada: tetai, wi, n !Variables de salida: teta, w !~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Implicit none Real :: teta, tetai, w, wi, dt, l, g Integer :: n, i Character(len=15) :: si, d

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!Abrir el archivo Open(30, File="DatosPendulo.dat", Access="Append", Action="WRITE")

Status="UNKNOWN",

10 Print *, "Este programa resuelve la ecuacin del pendulo utilizando el metodo de Euler-Cromer." Print *, "Introduzca el angulo (radianes) y la velocidad angular con la que el pendulo iniciara su movimiento," Print *, "y el numero de iteraciones deseadas:" Read *, tetai, wi, n

dt=.05 g=9.81 l=1. !Calcular la velocidad angular y la posicion/angulo w=wi-(g/l)*sin(tetai)*dt teta=tetai+(w*dt) Do i=1,n !Velocidad angular w=w-(g/l)*sin(teta)*dt !Posicion/angulo teta=teta+(w*dt)

!Despliega los resultados en el documento que se abrio y en pantalla Write (30,*) teta, w Print *, teta, w 11


End Do Print *, "Desea volver a realizar el calculo para otros valores inici& &ales? (si/no)" Read *, d If (d==’si’) then Go to 10 else End If Close(30) End Program PenduloMetodoEuler

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Retrato Fase de un Péndulo Completo