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Escola Secundária 3EB Dr. Jorge Correia Matemática

Fractais e Geometria Fractal

Trabalho realizado por: Alexandre Pires, nº1, Alexandre Matias, nº2, e João Gonçalves, nº 18 Ano : 11º A1 Professor: José Mesquita Maio de 2010


Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Índice 1. Introdução……………………………………………………

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2. Fundador da teoria fractal ………………………………………...

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3. Determinação do conceito de «fractal»…………………………….

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4. História dos fractais…………………………………………… ..

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5. Classificação dos fractais…………………………………………

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6. Fractais na natureza……………………………………………..

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7. Atractor de Lorenz………………………………………………

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8. Conjunto de Julia………………………………………………...

12

9. Triângulo de Sierpinski…………………………………………

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10. Conjunto de Mandelbrot………………………………………

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11. Arte Fractal…………………………………….………………

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12. Aplicação dos fractais…………………………………………...

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13. Conclusão…………………………………………………….

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Bibliografia…………………………………………………………

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«Fractals are about looking closely and seeing more. Fractals have to do with bumbs that have bumbs, cracks that have crookednesses within crookednesses, and atoms that turn out to be universes» universes» Timothy Wegner and Mark Peterson

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 1. Introdução

Neste trabalho, elaborado no âmbito da disciplina de Matemática, 11º ano, o nosso grupo vai abordar um tema, os fractais, que só começou a ser desenvolvido a partir dos anos 60 por um franco-polaco que vive hoje nos EUA, Benoît Mandelbrot, mas cujas aplicações se têm revelado de grande utilidade para a contínua evolução técnica e científica. Como este é um tema que não faz parte dos conhecimentos gerais do público em geral, procuraremos dar resposta às seguintes interrogações: O que são fractais? Como evoluiu a teoria dos fractais? Quais as áreas científicas e tecnológicas em que os fractais se aplicam? Quais as perspectivas de evolução da teoria dos fractais?

Assim, após uma breve história da origem dos fractais e do matemático fundador desta teoria, identificaremos e exemplificaremos os diferentes tipos de fractais, a sua presença na natureza e sua aplicabilidade em outras áreas tão variadas como a geometria, a física, a computação ou a arte.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 2. Fundador da teoria fractal

Benoît Mandelbrot que nasceu em Varsóvia, e vem de uma família lituana, foi viver para Paris para fugir da invasão Nazi. Já casado, Mandelbrot mudou-se para os EUA. Em 1958, juntou-se a uma equipa de pesquisa da IBM, em Nova Iorque. Aí trabalhou durante 32 anos e com 85 anos ainda se encontra nos EUA. Em 1961, verificou que as semelhanças entre as pequenas e as grandes variações bolsistas eram fractais e, cinco anos mais tarde, demonstrou que as irregularidades da costa britânica se podiam obter por intermédio de fractais. Depois, a partir de 1975, na sequência dos seus estudos, aliados a estudos de outros cientistas, a geometria fractal passou a ser aplicada por outras ciências Este prodigioso e ilustre matemático contemporâneo é conhecido mundialmente como sendo o único responsável pelo enorme interesse nos chamados objectos fractais. Hoje em dia, a sua geometria é conhecida através de bonitas gravuras coloridas que enriqueceram tanto a matemática moderna como a arte.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 3. Determinação do conceito de «fractal «fractal» fractal»

Fractal é não só um conceito novo, como o próprio termo não existia antes. De facto, a palavra “fractal” foi formada pelo próprio Benoît: “Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em latim correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, é contudo sabido que, para além de significar quebrado ou partido, fractus também significa irregular.” Mas, o que são estes fractais? Os fractais (anteriormente conhecidos por curvas monstro) são bonitos e fascinantes objectos matemáticos de infinita estrutura e complexidade que podem ser divididos em partes, cada uma das quais semelhante ao objecto original. A estrutura do fractal é muito detalhada e conforme a ampliação da imagem e da maneira que olhamos para ela, esta acaba sempre por se repetir. Porém, nem todos os fractais possuem repetitividade. Dependendo dos dados inseridos, este não terá em escalas menores a mesma aparência, ocorrendo distorções da figura.

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A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e as suas leis foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objectos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Os fractais são criados utilizando-se funções matemáticas e transformando os resultados dos cálculos em imagens, animações, música. Imagens fractais são os gráficos resultantes dos cálculos, enquanto animações são sequências desses gráficos. Por sua vez, música fractal transforma os resultados do cálculo em sons. Geralmente, mas não exclusivamente, utilizam-se computadores para processar os fractais, devido à complexidade da matemática envolvida.

4. História dos fractais fractais Durante séculos, os objectos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana1 foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objectos que representam certos fenómenos do Universo, tal se passou com os fractais. A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objectos, catalogados como "demónios", que se supunha não terem grande valor científico. Geometria que descreve as propriedades e a métrica de elementos e figuras perfeitamente regulares, como um círculo ou um quadrado. 1

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Em 1872, Karl Weierstrass2 encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado actualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch3, não satisfeito com a definição muito abstracta e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, actualmente conhecida como o floco de neve de Koch, Koch que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce e aproxima-se do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito. Também houve muitos outros trabalhos relacionados com estas figuras, mas esta ciência só conseguiu desenvolver-se plenamente a partir da década de 1960, com o auxílio da computação.

5. Classificação dos fractais fractais Existem quatro categorias relevantes de arte fractal, divisão baseada no tipo de matemática envolvida no processo, onde o nome normalmente aparece associado ao do matemático que a desenvolveu:  A primeira é aquela onde cada ponto do gráfico pode ser determinado pela aplicação interactiva de uma função simples. Exemplo disso são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov.

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Matemático alemão (1815 - 1897).

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Matemático sueco (1870 - 1924).

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A segunda classe é aquela onde existe uma regra de substituição geométrica como por exemplo, o triângulo de Sierpinski, e o floco de neve de Koch.

• A terceira classe é constituída por fractais interactivos, como, por exemplo, as chamas fractais.

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E, por último, há a classe dos fractais gerados aleatoriamente, aleatoriamente, como as

paisagens fractais.

Todos os quatro tipos têm t m sido utilizados como base de arte e animação digital. Começando com detalhes bidimensionais, os fractais encontram aplicações artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e criação. c Podem então evoluir para representações tridimensionais complexas. Na música, sons baseados em fractais são surpreendentemente surpreendentemente realistas e parecem mais capazes de produzir sons parecidos com os naturais que outros processos artificiais. Para criar um floco de neve de Koch, inicia-se inicia com um triângulo equilátero e divide-se divide se cada segmento do triângulo em três partes, partes criando novos vos triângulos mais pequenos. Continua-se Continua se a repetir o processo até se tornar demasiado difícil devido ao tamanho reduzido dos triângulos. Assim, conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 6. Fractais na natureza natureza A geometria fractal é utilizada para descrever diversos fenómenos na natureza, onde não se consegue utilizar as geometrias tradicionais. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autosimilares e independente de escala. Em muitos casos, um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Estes objectos dispõem de estruturas similares ao longo duma escala extensa mas finita. Exemplos disso são os flocos de neve, nuvens, montanhas, trovões e muitos tipos de vegetais, como os brócolos. Algumas árvores e certos fetos são fractais naturais que podem ser modelados em computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de recursividade ou repetitividade está clara nestes exemplos: num ramo de uma árvore ou na folhagem de um feto pode ser observada uma réplica em miniatura do todo. Usando o exemplo dum círculo com uma ampliação infinita, seria impossível diferenciar o círculo de uma linha recta. Com os fractais ocorre o contrário: ao se aumentar a amplificação, revelam-se mais e mais detalhes. Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar as turbulências da atmosfera, incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais e árvores. As técnicas fractais também estão sendo

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo. Os fractais na natureza não existem só em plantas, há-os também em muitos outros fenómenos, como: os relâmpagos, a forma das cadeias montanhosas e a ramificação dos brônquios e dos bronquíolos nos pulmões.

7. Atractor de Lorenz Introduzido por Edward Lorenz4 em 1963, o Atractor de Lorenz é um sistema não linear tridimensional determinista dinâmico derivado de equações simplificadas tiradas das convencionais equações dinâmicas da atmosfera. O sistema exibe um comportamento caótico e mostra o que é hoje chamado de atractor estranho. O atractor estranho, neste caso, é um fractal. Lorenz construiu um modelo matemático do modo como o ar se move na atmosfera, 4

Matemático e meteorologista norte-americano (1917 - 2008)

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática chegando à conclusão que pequenas variações nos valores iniciais das variáveis do seu modelo levavam a resultados muito divergentes. Esta sensibilidade às circunstâncias iniciais veio depois a ser conhecida como o efeito borboleta. Lorenz publicou as suas conclusões num trabalho seminal intitulado Deterministic

Nonperiodic Flow, em que descreveu um sistema relativamente simples de equações que resultam num padrão de complexidade infinita, o Atractor de Lorenz.

8. Conjunto de Julia

O conjunto de Julia é uma forma fractal definida sobre o plano complexo. Recebe o seu nome do matemático Gaston Julia5. Pode-se definir como o conjunto de pontos para os quais os pontos próximos não apresentam um comportamento similar. O conjunto de Julia é um conjunto de pontos gerados pela iteração de uma função complexa do tipo:

f: C

C

onde C representa o conjunto dos números complexos. Na verdade, o correcto seria conjuntos de Fatou-Julia, pois foram os dois matemáticos franceses Pierre Fatou6 e Gaston Julia que introduziram os métodos iterativos no estudo de sistemas dinâmicos para a implementação da geometria fractal.

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Matemático francês (1893 - 1978)

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Matemático francês (1878 - 1929)

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Em dinâmica complexa, o conjunto de Julia de uma função holomórfica consiste, informalmente,

dos

pontos

cujo

comportamento,, num período longo, sob iteração

repetida

de

,

não

muda

drasticamente sob pequenas perturbações. O conjunto de Fatou

de

é o

complementar do conjunto de Julia, Julia isto é, consiste do conjunto de pontos com comportamento estável. Esses conjuntos receberam esses nomes em homenagem aos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou,, que iniciaram a teroria de dinâmica nâmica complexa no começo do século XX.

9. Triângulo de Sierpinski O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos d números reais; ter área igual a zero; auto (uma zero; ser auto-semelhante parte é idêntica ao todo); e não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Foi primeiramente descrito por Waclaw Sierpinski (1882 - 1969), matemático polaco.

Qual a relação com o triângulo de Pascal? O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal7. Montando o triângulo de Pascal com 2n linhas, e pintando os números pares de branco e os ímpares de preto, pre a figura obtida será uma próxima xima do triângulo de Sierpinski.

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Blaise Pascal, físico, matemático, filósofo e teólogo francês franc (1623-1662).

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Construção Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é usando um método parecido ao do floco de neve de Koch. É feito a partir do seguinte algoritmo:

1. Comece omece com qualquer triângulo num n plano. O triângulo de Sierpinski normal utilizava um triângulo equilátero com a base se paralela ao eixo horizontal, mas qualquer triângulo pode ser usado (ver primeira figura).

2. Encolha o triângulo pela metade (cada lado deve ter metade do tamanho original), faça três cópias, c e posicione cada triângulo de maneira que encoste nos outros dois em um canto (ver segunda figura).

3. Repita o passo 2 para cada figura obtida, indefinidamente (ver a partir da terceira figura). Embora no processo acima a figura inicial seja um triângulo, não é necessário partir de um para se chegar aoo triângulo de Sierpinski. É possível utilizar qualquer qualque figura

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática geométrica, o triângulo só é utilizado por facilitar a visualização, como o demonstra os seguintes exemplos:

O fractal propriamente dito só é obtido quando o processo do algoritmo é repetido infinitas vezes. Mas, conforme o número de iterações aumenta, a imagem obtida tende a tornar-se cada vez mais parecida com o triângulo.

10. Conjunto de Mandelbrot O conjunto de Mandelbrot foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre Fatou, um matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica analítica complexa. Fatou estudou processos recursivos como

Fatou nunca viu uma imagem, como estamos acostumados a ver, do que hoje chamamos de conjunto de Mandelbrot, pois a quantidade de cálculos necessária para se gerarem tais imagens está além da capacidade de um ser humano executar à mão. O Professor Benoît Mandelbrot foi a primeira pessoa a utilizar um computador para criar o conjunto.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Os fractais foram popularizados por Mandelbrot em 1975 no seu livro Les

Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Neste livro, Mandelbrot usou o termo fractal para descrever um número de fenómenos matemáticos que pareciam exibir comportamento caótico ou surpreendente. Todos estes fenómenos envolviam a definição de alguma curva ou algum conjunto através do uso de algumas funções ou algoritmos recursivos. O conjunto de Mandelbrot é um desses fenómenos e leva o nome de seu descobridor. O conjunto de Mandelbrot foi criado por Benoît Mandelbrot a partir do conjunto de Julia: cada ponto no plano complexo corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos, e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia disconectos. O conjunto de Mandelbrot também "contém" estruturas muito semelhantes aos conjuntos de Júlia. De facto, para qualquer valor c, a região do conjunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conjunto de Julia com parâmetro c. “A fractal zoom on a Mandelbrot set”8 é u m dos muitos exemplos de vídeos bem ilustrativos do conjunto de Mandelbrot.

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http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 11. 11. Arte Fractal A arte fractal tem vindo a ganhar fama nestes últimos anos. Cada vez mais artistas usam programas especiais para a criação de arte usando fractais. Noutros casos, imagens já existentes são “processadas” por outros programas criando imagens espectaculares. Artistas como Max Ernst produzem padrões “fractorizados” utilizando uma técnica chamada “Decalcomania”. Alguns exemplos de arte fractal são:

Fractal de Sterling

Conjunto de Julia

Fractal abstracto

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Tempestade de Fogo

Conjunto de Mandelbrot

Remoinho

Fractal Simétrico

Espiral Vários Fractais

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 12. Aplicação dos Fractais A tecnologia foi desenvolvida sem explorar a estrutura em várias escalas, apesar das forças cegas da Física e de milhões de anos de evolução a testarem a importância dos fractais. Recentemente algumas indústrias ou ramos do conhecimento começaram a explorar as formas fractais. Medicina Algumas estruturas ou fenómenos tidos como caóticos ou incompreensíveis, antes rejeitados pela Medicina convencional, passaram a ter mais importância quer no diagnóstico, quer no tratamento. Assim, os fractais são considerados, hoje, como uma importante ferramenta para o avanço da Medicina. Um dos campos mais desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. Descobriu-se que as células cancerosas têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais. Acredita-se que o conhecimento das estruturas fractais dos vários tecidos do corpo humano, assim como da estrutura fractal do sistemas circulatório, nervoso e linfático, permita encurtar a distância que separa as experiências in vitro de in vivo. Antenas fractais O desenho de antenas é um problema complicado. Os desenhos comuns são sensíveis apenas a uma gama estreita de frequências e não são eficientes se o seu tamanho for inferior a um quarto do comprimento de onda As antenas convencionais são "talhadas" para a frequência em que vão operar -pelo que só funcionam apenas para essa frequência. Em contrapartida, as antenas fractais são capazes de funcionar de forma óptima simultaneamente em várias frequências.

Esta característica faz das antenas fractais uma excelente

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática alternativa para aplicações de banda larga. Exemplo disso foi a Motorola que começou a usar antenas fractais em vários modelos dos seus telemóveis e anunciou que estas são 25% mais eficientes que a tradicional antena. Fibras ópticas fractais O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com muito baixa distorção. Uma empresa, Galileo Electro-Optics Corp. mostrou que através do uso de pavimentações recursivas, conseguiu-se que a fibra óptica transmitisse os sinais com ainda mais qualidade. As pavimentações que obtêm melhores resultados são aquelas que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de feixes de fibras ópticas fractais, chamados multifibras, os quais exibem um melhor contraste de imagem.

Os mercados financeiros Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, também por Mandelbrot, de que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de potência o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição normal.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática 13. Conclusão A geometria fractal é um ramo da matemática que ainda está na sua fase inicial de exploração, mas as funções que a suportam já são de elevada complexidade. Por esse motivo e por nos encontrarmos no 11º ano de escolaridade não explicitámos a sua resolução matemática. Ainda assim, concluímos que a geometria fractal se afasta radicalmente da geometria euclidiana e permite a obtenção de resultados ordenados a partir de um caos aparente. As figuras fractais têm uma estrutura arborescente em que cada «ramo» é composto por uma série de formas que retratam, numa escola reduzida, a figura principal., pelo que cada «ramos» é uma imagem perfeita do «ramo» onde nasce. O interesse e aplicação da teoria dos fractais não é exclusivo da área das matemáticas. Há fractais presentes em muitas formas da natureza e outros gerados artificialmente pelo homem. A diferença entre ambos é que os fractais da natureza são aleatórios e estatísticos, não têm uma simetria escalar exacta e , por impedimentos de ordem física, não é possível a criação infinita de fractais naturais. Devido às investigações de Benoît Mandelbrot, os fractais passaram a ser utilizados noutras áreas para além da matemática, como tivemos oportunidade de explicar.. E, segundo se prevê, esta expansão da teoria dos fractais continuará a verificar-se pois ela contribui para a descrição e compreensão de fenómenos e está a ser aplicada na construção de novos equipamentos electrónicos e na cura de doenças como o cancro.

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Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Correia Matemática Bibliografia BOLT, Brian (1992), Mais actividades matemáticas, Lisboa, Gradiva FERNÁNDEZ-RAÑADA, António ( 1990), Orden y Caos, Barcelona, Prensa Científica.

Grande Enciclopédia Planeta (2007), Vol. 8, Lisboa, Editorial Planeta. Grande Enciclopédia Universal (2004), Vol. 9, Lisboa, Durclub. WEGNER, Timothy e PETERSON, Mark (1991) Fractal Creations, Mill Valley,Waite Group.

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Geometria Fractal  

Trabalho realizado por alunos do 11º ano, Curso de Ciências e Tecnologias, disciplina de Matemática A. Orientado pelo professor José Mesquit...

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