Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 23.05.2014 г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кой от изразите приема стойност, която е естествено число? А)

17 12  21 42

2. При x   y изразът

А)

4x 2 x2  y 2

Б)

64 8

Г) 

11 1  12 12

x y x y   2 е тъждествено равен на: x y x y Б)

4 y2 x2  y 2

В)

3. Всички допустими стойности на израза А) x   2; 4 

75 3

В)

Б) x   2; 4

2  x2  y 2  x2  y 2

Г) 0

1  x  2 са: 4 x В) x   2; 4 

Г) x   2; 4

4. Кое от посочените числа НЕ е решение на неравенството x2  2 x  3  0 ? А)  2

Б)

2

Г) 

В) 3

5. Ако log81 a   1 , то стойността на числото а е: 4 А) 14 81

Б) 1 3

6. Решенията на системата уравнения

В) 3

x y 2 2x2 6 y 8

Г) 814

са:

А) 1;1 ,  2; 4 

Б) 1;1 ,  2;0 

В)  1;3 ,  2;0 

Г)  1;3 ,  2; 4 

7. Кое от квадратните уравнения има два реални положителни корена? А) 2 x2  7 x  4  0

Б) 2 x2  7 x  4  0

В) 2 x2  7 x  4  0

Г) 2 x2  7 x  4  0 1


8. Отношението A) sin 30

sin 60 е равно на: sin 30 Б) cos30

В) tg 30

Г) cotg 30

9. Върху раменете на ъгъл O p q  са разположени точките A , B , C и D , такива че AC ||BD , OC  6 cm, CD  10 cm и OB  12 cm. Дължината на отсечката AB е равна на:

А) 4,5 cm

Б) 7 ,5 cm

В) 8 cm

Г) 8,5 cm C

10. На чертежа е даден правоъгълният

ABC с катет 2 6

BC  2 6 cm и височина СН към хипотенузата АВ. Ако AH  5 cm, то дължината на отсечката ВН е:

А) 2 cm

Б) 3 cm

В) 4,8 cm

Г) 8 cm

A

5

B

H

11. Дефиниционното множество на функцията, зададена с графиката си, е: А) x   1;1

Б) x   0;3

В) x   2;  1  1; 2

Г) x   ;  2    2;   

 1 2n1  2n  ,n n 1  2  n 1

12. Общият член на числова редица е an А) –6

Б) –2

В) 2

. Намерете a2014 . Г) 6

13. Числата 2, 6, 18, … , 1458 образуват крайна геометрична прогресия. Броят на членовете на тази прогресия е: А) 4

Б) 6

В) 7

Г) 8

2


14. Ако cos31  a , то вярно е, че: A) sin 31 

1 a

Б) sin 59  a

В) cos59  1  a 2

Г) sin 31  1  a

15. Към реда 1, 2, 6, 8, 11, 21 е добавено ново число. Намерете средноаритметичното на данните от новия ред, ако е известно, че двата реда имат една и съща медиана. А) 9

Б)

49 6

В) 8

Г) 7

16. От група от 8 специалисти трябва да бъде образувана комисия от председател и четирима членове. По колко начина може да стане това? А) 43 17. В

Б) 280

Г) 6 720

ABC AC  5 cm и BC  7 cm. Ако медианата CM  21 cm  M  AB  , то

периметърът на А) 76 cm

18. В

В) 560

ABC е равен на:

Б) 22 cm

В) 20 cm

ABC AC  14 2 , BC  14 , AB  BC и

А) 45

Г) 18 cm

BAC  30 . Мярката на

Б) 75

В) 105

ABC е:

Г) 135

19. Върху страната АВ на квадрата ABCD e избрана точка М така,

C

D

че S AMCD : SMBC  5: 3 . Отношението AM : MB е: А) 1: 4

Б) 1: 3

В) 2 : 3

Г) 3: 4

A

B

M

y D

20. На чережа върхът А на успоредника АВCD съвпада с

C 8; 2 3

началото на правоъгълна координатна система.

Срещуположният му връх C 8; 2 3 е зададен с координати си и

BAD  60 . Лицето на успоредника е:

А) 32

Б) 16 3

В) 12 3

60

A

x

B

Г) 12

3


Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Намерете стойността на израза A  22. Намерете корените на уравнението

1  cos 180    1  sin  90    за   30 . . cos  90    sin 2 180   

3x  1  2 x  1  1

23. На диаграмата са представени данни за годишните разходи на едно семейство, което за храна е изразходвало 5760 лв. Колко лева повече е изразходвало семейството за поддръжка на жилището си, отколкото за транспорт?

Транспорт 11% Поддръжка жилище 19%

Храна 36%

Други 34%

24. Даден е правоъгълник ABCD със страни AB  9 cm и AD  6 cm. През върха А е построена права, перпендикулярна

на BD, която пресича CD в точка М. Намерете дължината на отсечката СМ.

25. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и AB  BC  5 cm, CD  8 cm и

BAD  120 . Намерете дължината

на страната AD .

C D A

B

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Решете уравнението  x 2  3x  1  4  x 2  3x   9 . 2

27. В един кашон са поставени еднакви по големина и маса жълти, сини и червени топчета. Вероятността да се извади жълто топче е

1 2 , а синьо – съответно . Ако броят 3 5

на червените топчета е 12, то пресметнете броя на всички топчета в кашона и намерете вероятността при едновременното изваждане на три топчета те да са от трите цвята. 28. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и описан около окръжност. Ако DAC  DBA  30 и AC  4cm, намерете радиусите на вписаните окръжности в

триъгълниците АВС и ACD. 4


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

D = b 2 − 4ac

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

Формули на Виет:

−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =

Квадратна функция  b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; −   2a 4a 

Корен. Степен и логаритъм 2k

a2k = a

2 k +1

a 2 k +1 = a

1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x

m n

при k ∈ ℕ n k

a = nk a

a log a b = b

nk

a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ

log a a x = x

при a > 0, b > 0 и a ≠ 1

Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =

n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1

Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =

брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи

0 ≤ p ( A) ≤ 1

Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1

Аритметична прогресия:

an = a1 + (n −1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n−1

Формула за сложна лихва:

 p  K n = K .q = K .1 +  100 

Sn =

n

n


Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2

Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1

r=

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

sin α =

a c

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4

mb 2 =

1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c

a 2 = a1c tg α =

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4

mc 2 =

a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:

a b

b 2 = b1c cotg α =

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4

lc = ab − mn 2

Формула за ъглополовяща:

d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2

Формули за лице Триъгълник:

1 S = chc 2 S = pr

Успоредник:

S = aha

1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R

S=

S = ab sin α

p ( p − a )( p − b)( p − c )

S=

Трапец:

a +b h 2

1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr

Четириъгълник:

Тригонометрични функции α°

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

30°

45°

60°

90°

π 6 1 2

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

b a

1 0


−α − sin α cosα − tg α − cotg α

sin cos tg cotg

90°−α cosα sin α cotg α tg α

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =

cotg (α ± β) =

cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2

α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2

sin α + sin β = 2 sin

180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β

sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2

90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α

α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2

sin α − sin β = 2sin


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 23 май 2014 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор

Въпрос №

Верен отговор

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

В Б В Б Б Б А Г Б Б В Г В Б В Б В Г Б В −2 x1 = 1, x2 = 5

Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

23

1280 лв.

4

24 25 26 27 28

CM = 5 cm AD = 3 cm x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = −1 и x4 = 4

4 4 10

108 473

10

rACD = 4 − 2 3 cm и rABC = 2 3 cm 3

10

P=

1


Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване: 1. Полагане x 2 − 3 x + 1 = t или ( x 2 − 3 x = u ) .

(2 т.)

2. Получаване на уравнението t 2 − 4t − 5 = 0 или (u 2 − 2u − 8 = 0) .

(2 т.)

3. Намиране на корените t1 = −1 и t2 = 5 или ( u1 = −2 и u2 = 4) .

(2 т.)

4. Намиране на корените x1 = 1 и x2 = 2 на уравнението x 2 − 3 x + 2 = 0 .

(2 т.)

5. Намиране на корените x3 = −1 и x4 = 4 на уравнението x 2 − 3 x − 4 = 0 .

(2 т.)

27. Критерии за оценяване: 1. Пресмятане вероятността да се извади червено топче 11 4 1 2 . 1−  +  = 1− = 15 15 3 5

(1 т.)

4 15.12 n = 12 намиране на броя n на всички топчета n = = 45 . 15 4 1 2 3. Броят на жълтите топчета е .45 = 15 , а броят на сините – .45 = 18 . 3 5 4. Извод, че броят на възможностите за изваждане по1 топче от трите цвята е Bl = 12.15.18 . 5. Преброяване на възможностите за изваждане на 45.44.43 3 3 от 45 топчета C45 = = 15.22.43 . 1.2.3 Bl 15.18.12 18.6 108 6. Намиране на търсената вероятност P = 3 , P = = = . 15.22.43 11.43 473 P45 2. От

(1 т.) (2 т.)

(2 т.) (2 т.) (2 т.)

28. Критерии за оценяванe: D 1. ABCD е вписан в окръжност, следователно ∢DBC = ∢DAC = 30° и ∢DCA = ∢DBA = 30° . (1 т.) 2. Извод, че △ ACD е равнобедрен, като AD = DC = c . (1 т.) 3. ABCD е описан около окръжност, следователно AD + BC = AB + CD. Тогава BC = AB = a . (1т.) 4. △ ABC е равностранен ( BC = AB = a и ∢ABC = 60° ), следователно BC = AB = AC = 4 cm.

А

30°

30°

C

30°30°

B (1 т.)

2


5. За намиране на AD = DC = 4 3 . (от косинусова теорема в △ ADC или чрез синусова 3 теорема или чрез решаване на равнобедрен триъгълник). ( 1 т.) 2 6. Изразяване на S ADC = AD .sin120° = 4 3 cm 2 и p ACD = AD + AC = 2 + 4 3 cm . (2 т.) 2 3 2 3

7. Приравняване на полученото лице с S = p.r и намиране на rACD = 4 − 2 3 cm .

(1 т.)

8. Намиране на rABC = 2 3 cm равностранния △ ABC . 3

(2 т.)

3

2014.23.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  
2014.23.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  
Advertisement