Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 23.05.2013 Г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!

1. Най-малко e числото:

()

А) 7 6

()

2

Б) 1

2. Стойността на израза А) 2

()

−1 2

Г) 3 4

1 2

x+3 1 x − 2013 − + за x = 2013 е равна на: 2 x −9 x −3 x+3

Б) 1

3. Допустимите стойности на израза А) ( −∞; + ∞ )

В) 5 3

Б) [ 0; + ∞ )

Г) −2013

В) 0 x x

са: В) ( −∞; 0]

Г) ( −∞; 0 ) ∪ ( 0; +∞ )

4. Числото log 2 3 е корен на уравнението: А) 3x = 2

Б) 2 x = 3

В) 3x =

1 2

Г) 2 x =

1 3

5. На кое от уравненията сборът от реалните корени е 2,5? А) 2 x 2 − 5 x + 5 = 0

Б) 2 x 2 − 5 x + 3 = 0

В) 2 x 2 − 2 x + 5 = 0

Г) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0

6. Решенията на неравенството x 2 − 2 x + 3 > 0 са: А) x ∈ ∅ В) x ∈ ( − ∞; − 3) ∪ (1; ∞ )

Б) x ∈ ( − ∞; − 1) ∪ ( 3; ∞ ) Г) x ∈ ( − ∞; ∞ )

1


7. Стойността на sin 240° е: А) − 3 2

Б) − 1 2

В) 1 2

Г)

3 2

8. В равнобедрен △ ABC ( AC = BC ) е вписана окръжност k с център О. Лъчът BO → пресича страната AC в точка Р, като AP = 6 cm и PС = 12 cm . Периметърът на △ ABC е :

А) 72 cm

Б) 45 cm

В) 9 cm

Г) невъзможно да се определи

9. В △ ABC AB = 7 cm, a AC = 5 cm. Ако ∠ACB = 120° , то дължината на страната BC е: А) 3 cm

Б) 6 cm

В) 39 cm

10. Ако общият член на числова редица е an = ( −1) А) –16

Б) –11

n +1

Г) 8 cm

(n + 1) − 3.(−1) n , то a13 е равен на:

В) 10

11.Дадена е крайна геометрична прогресия с a1 = 729 , q =

Г) 17

1 1 и an = . Броят n на 3 9

членовете на прогресията е: А) 5

Б) 7

В) 8

Г) 9

y = 6 − x2 12. Наредените двойки числа ( x; y ) , които са решения на системата , са y = −x разположени: А) само в първи квадрант

Б) само в четвърти квадрант

В) във втори и в четвърти квадрант

Г) в първи и в трети квадрант

2


C

13. Разходите на фирма за един месец са 18 000 лв. Тяхното

заплати O

разпределение е представено чрез кръговата диаграма. Ако ∠AOB = 170° и ∠BOC = 64° , то разходите за заплати са:

А) 3200 лв.

Б) 6000 лв.

В) 6300 лв.

A

други

суровини и материали

Г) 8500 лв.

14. На страната AC на △ ABC е взета точка D , така че ∠DBC = ∠CAB . Ако AD = 16 сm, DC = 2 сm и

BD = 5 сm, то дължината на страната AB е равна на:

А) 6 cm

Б) 15 cm

В)

55 cm 3

Г) 36 cm

15. За △ ABC е дадено, че AB = 5 и sin ∠CAB : sin ∠CBA = 3 : 2 . Ако AC 2 + BC 2 = 117 , то периметърът на триъгълника е:

А) 20

В) 5 + 3 17

Б) 18

Г) 5 + 3 85

16. Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник има дължина 6 cm и сключва с един от катетите ъгъл 30°. Лицето на триъгълника е: А) 18 cm2

Б) 36 cm2

В) 24 3 cm2

Г) 48 3 cm2

17. Около трапеца ABCD с основи AB = 40 cm и CD = 10 cm е описана окръжност. Ако в трапеца е вписана окръжност, то дължината на нейния радиус е: А) 10 cm

Б) 15 cm

В) 20 cm

Г) друг отговор

3


18. Дължината на единия диагонал на ромб е 75% от дължината на другия, а лицето му е 24 cm 2 . Радиусът на вписаната в ромба окръжност е: А) 8 cm

Б) 6 cm

В) 4,8 cm

Г) 2, 4 cm

19. В △ ABC AB = 8, AC = 15 и ∠BAC = 60° . Височината АН ( H ∈ BC ) на триъгълника е: А)

60 13

Б)

60 3 13

В)

60 3 7

Г)

120 3 13

20. Колко са трицифрените четни числа с различни цифри, цифрата на десетиците на които е нула? А) 32

Б) 36

В) 45

Г) 72

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

21. Намерете решенията на неравенството ( x + 6 ) ( 36 − x 2 ) ≤ 0 .

22. Да се реши уравнението

x + x+4 = 2. 2 − x x2 − x − 2

23. В серия от 30 опита участник в стрелба по цел е получил 13,5 наказателни точки. Колко попадения е реализирал участникът, ако за първия пропуск наказанието е една точка, а всеки следващ пропуск се наказва с половин точка повече от предходното наказание?

24. Коефициентът с на квадратното уравнение x 2 − 2 x + c = 0 е цяло число от интервала

[ −2; 3] . Каква е вероятността уравнението да има реални корени? 25. Даден е △ ABC с ъглополовяща BD. Ако ∠ABC = 2∠CAB , AC = 3CD = 18 , намерете S ABC .

4


Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

26. Намерете корените на уравнението x 2 − 2 x = t , където t e решение на уравнението

t +1 −

2t − 5 = 1 .

27. Да се докаже, че ако α , β и γ са ъгли в триъгълник, то е изпълнено тъждеството sin α + sin β − sin γ = 4 sin

α 2

sin

β 2

cos

γ 2

.

28. В остроъгълния △ ABC медианата AM ( M ∈ BC ) и височината CH ( H ∈ AB ) са съответно равни на 6 5 сm и 12 сm. Aко страната BC = 20 сm, намерете дължината на радиуса на описаната около △ ABC окръжност.

5


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

D = b 2 − 4ac

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

Формули на Виет:

−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =

Квадратна функция  b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; −   2a 4a 

Корен. Степен и логаритъм 2k

a2k = a

2 k +1

a 2 k +1 = a

1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x

m n

при k ∈ ℕ n k

a = nk a

a log a b = b

nk

a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ

log a a x = x

при a > 0, b > 0 и a ≠ 1

Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =

n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1

Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =

брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи

0 ≤ p ( A) ≤ 1

Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1

Аритметична прогресия:

an = a1 + (n −1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n−1

Формула за сложна лихва:

 p  K n = K .q = K .1 +  100 

Sn =

n

n


Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2

Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1

r=

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

sin α =

a c

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4

mb 2 =

1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c

a 2 = a1c tg α =

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4

mc 2 =

a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:

a b

b 2 = b1c cotg α =

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4

lc = ab − mn 2

Формула за ъглополовяща:

d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2

Формули за лице Триъгълник:

1 S = chc 2 S = pr

Успоредник:

S = aha

1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R

S=

S = ab sin α

p ( p − a )( p − b)( p − c )

S=

Трапец:

a +b h 2

1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr

Четириъгълник:

Тригонометрични функции α°

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

30°

45°

60°

90°

π 6 1 2

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

b a

1 0


−α − sin α cosα − tg α − cotg α

sin cos tg cotg

90°−α cosα sin α cotg α tg α

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =

cotg (α ± β) =

cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2

α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2

sin α + sin β = 2 sin

180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β

sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2

90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α

α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2

sin α − sin β = 2sin


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 23 май 2013 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор

Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Верен отговор В В Г Б Б Г А Б А Г Г В В Б A В А Г Б А x ∈ [ 6; + ∞ ) ∪ {−6}

Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4

22

x1 = − 4 3 24

4

23 24 25 26 27 28

S ABC

2 3 = 54 3

t = 3, x1 = −1, x2 = 3 10 10 R= 3

4

4 4 10 10 10


Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване:

t +1 = 1+

1. Получаване на уравнението

2t − 5

(1 т.)

2. Получаване на уравнението 2 2t − 5 = 5 − t

(2 т.)

3. Получаване на уравнението t 2 − 18 t + 45 = 0

(1 т.)

4. Намиране на корените t1 = 15, t2 = 3 на квадратното уравнение

(2 т.)

5. Проверка дали t1 = 15, t2 = 3 са корени на ирационалното уравнение

(2 т.)

6. Намиране на корените x1 = −1, x2 = 3 на уравнението x 2 − 2 x = 3

(2 т.)

Забележка. Ако решаването на съответните ирационални уравнения е свързано с еквивалентни преобразования, двете точки за проверка се добавят към получените точки за решаване на уравненията. 27. Критерии за оценяване: 1. За използване на α + β + γ = π

(1 т)

2. За изразяване на γ = π − (α + β )

(1 т.)

3. За преобразуване на sin α + sin β или sin α − sin γ в произведение

(2 т.)

4. За изразяване на sin γ = 2sin

α +β

cos

α +β

2 2 5. За изнасяне пред скоби на общ множител 6. За преобразуване на разлика на косинуси в произведение 7. За довършване на преобразуванията и доказване на тъждеството

(1 т.) (1 т.) (2 т.) (2 т.)

28. Критерии за оценяванe: I начин 1. Прилагане на Питагорова теорема за △HBC и намиране HB = 16 сm Означаване AH = x и AC = y 2. Прилагане на формула за медианата АМ 2 1 2 6 5 =  2 ( x + 16 ) + 2 y 2 − 400    4 2 и получаване на уравнението ( x + 16 ) + y 2 − 560 = 0

(

(1 т.)

)

3. Прилагане на Питагорова теорема за △ AHC и получаване на уравнението x 2 + 144 = y 2 x + 144 = y 2

4. Съставяне на системата

( x + 16 )

2

(2 т.) (1 т.)

2

+ y 2 − 560 = 0

(1 т.)


5. Решение на системата и намиране x = 4 и y = 4 10 3 6. Намиране на sin ∠ABC = 5 7. Прилагане на синусова теорема за △ ABC и намиране на R =

(2 т.) (1 т.)

10 10 3

(2 т.)

II начин: 1.Прилагане на Питагорова теорема за △HBC и намиране HB = 16 сm 3 2. Изразяване на sin ∠ABC = 5 4 3. Намиране на cos ∠ABC = 5 4. Прилагане на косинусова теорема за △ ABM и намиране на AB = 20 сm и AH = 16 сm 5. Прилагане на косинусова теорема за △ ABC и намиране на AC = 4 10 сm 6. Прилагане на синусова теорема за △ ABC 10 10 7. Намиране R = 3

(1 т.) (1 т.) (2 т.) (2 т.) (2 т.) (1 т.) (1 т.)


2013.23.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  
Advertisement
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you