Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 30.05.2012 Г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Изразът с най-малка стойност е: А) 15% от

14 5

Б) 3% от 15

( −8 )

2. Числената стойност на израза А) 6 + 2 − 2 3

В) 20% от 2,5

Б) − 2

3. Допустимите стойности на израза

2

+ 3 ( −2 ) + 3

(

3− 2

Г) 0,2% от 250

)

2

1

− 3 2 е:

В) 6 − 2 x −1 са: x−2

А) x ∈ [1;+∞ )

Б) x ∈ (1;2) ∪ (2;+∞ )

В) x ∈ [1;2) ∪ (2;+∞ )

Г) x ∈ (− ∞;2 ) ∪ (2;+∞ )

4. Решенията на неравенството

Г) 10 − 2

( x + 1)( x + 3) < 0 ( x + 1)( x − 3)

са:

А) ( −3;3)

Б) x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ )

В) x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −1;3)

Г) x ∈ ( −3; −1) ∪ ( −1;3)

5. Стойността на израза log 1 81 − log 2 1 + lg1 е равна на: 8 3 А) –8

Б) –7

В) –1

Г) 7

1


6. Ако x1 и x2 са корените на уравнението 2 x 2 − 4 x − 5 = 0 , то за израза

a = x1 x2 ( x1 + x2 ) е вярно, че: А) a < 0

Б) a = 0

В) a > 0

Г) a ≥ 0

y

7. На чертежа е представена графиката на функцията: А) y = x 2 − 3 x − 4

Б) y = − x 2 − 3 x + 4

В) y = x 2 + 3 x − 4

Г) y = x 2 − 3 x + 4

1

–4

x

 3π  8. Ако x ∈  ;2π  , то стойностите на функцията f ( x) = cos x са в интервала: 2   1  А)  − ; 0   2 

Б) [ −1; 0 )

Г) [ 0 ; 1]

В) ( −1; 0 )

9. На чертежа за △ ABC е дадено AB = 6 cm , BC = 8cm и

C D

∠BAD = ∠ACB . Дължината на отсечката BD е равна на:

А) 6 cm

Б) 4,5cm

B

A

В) 4 cm

Г) 3, 5cm

10. Катетите на правоъгълен триъгълник са с дължини 6 cm и 10 cm. Радиусът на описаната около триъгълника окръжност е: А) 4 cm

Б) 5cm

11. Решенията на системата

x 2 − y = −1 y 2 + 2x 2 = 13

А) ( −6; −5 ) и ( 2;3)

(

) (

В) − 2;3 и

2;3

126 cm 2

В)

Г) 34 cm

са:

Б) ( 2;3)

)

(

) (

Г) − 6; −5 и

6; −5

)

12. Дадена е редица с общ член an = ( 2n ) , n ∈ ℕ . Ако числото 28 : 2 −8 е член на n

същата редица, то номерът му n е равен на: А) 2

Б) 4

В) 8

Г) 16

13. Броят на членовете на крайната аритметична прогресия 3; 7;...;151 е: А) 36 2

Б) 38

В) 48

Г) 50


14. Ако Cn2 = C53 , то n е равно на: А) −5

Б) −4

В) 4

Г) 5

15. На изпит по химия 25% от явилите се ученици имат оценка отличен, 40% – оценка много добър, 30% – оценка добър и 5% – оценка среден. Дъгата на сектора, отговарящ на оценка добър, е с мярка: А) 18°

Б) 90°

В) 108°

Г) 144°

16. Даден е △ ABC със страни AB = 4 cm , BC = 2 3 cm и AC = 2 13 cm . Мярката на ∠ABC e равна на:

А) 150°

Б) 120°

В) 60°

Г) 30°

17. За △ ABC на чертежа ∠BAC = 33° , ∠ACB = 87° и радиусът на описаната около триъгълника окръжност е

6 . Страната AC е

равна на: А)

6

Б)

2 8

В) 2 3

Г) 3 2

18. В равнобедрен трапец диагоналът има дължина 6 3 cm и

C

D

сключва с голямата основа ъгъл 30° . Лицето на трапеца е: А) 27 3 cm 2

2 Б) 18 3 cm

В) 9 3 cm2

Г) 4,5 3 cm2

B

A

19. В успоредника ABCD височините DH и DQ са съответно 15 и 15 . Ако ∠HDQ = 60° , то лицето на успоредника е:

А) 10 3

Б) 15 5

В) 30 5

Г) 150 3 D

20. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AB = 3, AD = 2, BC = 1 и ∠BAD = 60° , то страната CD е

C 2

равна на: A)

7

1

Б)

5

В) 2

60°

Г) 1,5 A

3

B

3


Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Намерете числата k , за които ( 3

)

k k

k

1   = 1. 3

22. Намерете корените на уравнението x + 4 − 3 = 2 6 . x + 2 x + 4 x + 6x + 8

23. Колко различни петцифрени числа, които са с различни цифри, могат да се запишат с цифрите 0, 3, 5, 7 и 9 ? 24. При записване на всичките 17 данни от проведен експеримент се оказало, че числата в подредения статистически ред образуват геометрична прогресия, като най-малкото от тях е 0, 03125 = 2−5 , а най-голямото е 2048 = 211 . Намерете медианата на тази извадка. 25. Даден е △ ABC , за който ∠CAB + ∠CBA = 90° . Ако BC =

16 8 , cm и cos ∠ABC = 3 17

да се намери лицето на триъгълника. Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

26. Да се реши системата

xy + 3 y 2 + x + 14 y + 11 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0

.

27. С цифрите 0,1, 4,5, 6, 7 и 8 са записани всички четирицифрени числа, които се делят на 5 , като в записа им няма повтарящи се цифри. Каква е вероятността едно произволно избрано от тях число да се дели на 9 ?

28. Даден е ромб ABCD , в който ∠DAB < ∠ADC . Точките M и N са съответно средите на страните BC и CD . Ако MN = 3 cm и радиусът на описаната окръжност около △ AMN е равен на

4

7 3 , да се намерят страната и ъглите на ромба. 3


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± D при D ≥ 0 2a b c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Формули на Виет: x1 + x2 = − x1 x2 = a a

ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

D = b 2 − 4ac x1,2 =

Квадратна функция  b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; −   2a 4a 

Корен. Степен и логаритъм 2k

a2k = a

2 k +1

1 = a− m , a ≠ 0 m a m, n, k ∈ ℕ

a 2 k +1 = a

при k ∈ ℕ m

n

am = a n

a x = b ⇔ log a b = x

n k

a log a b = b

a = nk a

nk

a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и

log a a x = x

при a > 0, b > 0 и a ≠ 0

Комбинаторика

Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !

Брой на пермутациите на n елемента:

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1) n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk C = = Pk k .(k −1)...3.2.1 k n

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =

брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи

0 ≤ p ( A) ≤ 1

Прогресии Аритметична прогресия: an = a1 + (n −1) d Геометрична прогресия:

an = a1.q n−1

2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1

Sn =

n

 p  Формула за сложна лихва: K n = K .q n = K .1 +  100 

5


Зависимости в триъгълник и успоредник 1 1 S = ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 b a b cos α = tg α = cotg α = c b a

Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2 a +b−c a sin α = 2 c Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1 r =

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4

mb 2 =

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4

a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:

Формула за ъглополовяща:

mc 2 =

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4

lc = ab − mn 2

d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2

Формули за лице 1 1 S = chc S = ab sin γ 2 2 abc S = pr S = 4R

Триъгълник:

Успоредник:

S = aha S = ab sin α

S=

p ( p − a )( p − b)( p − c )

Трапец: S =

a +b h 2

1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr

Четириъгълник:

Тригонометрични функции

6

α°

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

30°

45°

60°

90°

π 6 1 2

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0


−α − sin α cos α − tg α − cotg α

sin cos tg cotg

90°−α cos α sin α cotg α tg α

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =

tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β

sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2

90° + α cos α − sin α − cotg α − tg α

180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

cotg (α ± β) =

cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2

α +β α −β α −β α +β cos sin α − sin β = 2sin cos 2 2 2 2 α +β α −β α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 2 2 α α 1− cos α = 2sin 2 1 + cos α = 2 cos 2 2 2 1 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2 sin α + sin β = 2 sin

7


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 30 май 2012 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Верен отговор А В В Г В А В Г Б Г В Б Б Г В А Г А В В 0 или 1 x = −1 96 8 80 S ABC = cm 2 3 ( 4; −5) и ( x ; −1) , x ∈ ℝ

22 1 = 220 10 AB = 6 cm ; 60° и 120° P=

Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 10 10 10


Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване на задача 26 1. ( 3 точки) Еквивалентни преобразувания на дадената система – xy + 3 y 2 + x + 14 y + 11 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0

−2 xy − 6 y 2 − 2 x − 28 y − 22 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0

.

След почленно събиране на двете уравнения се получава уравнението y 2 + 6 y + 5 = 0 . 2. ( 2 точки) Решаване на уравнението y 2 + 6 y + 5 = 0 и намиране на корените y1 = −1 и y2 = −5 .

3. ( 2 точки) Решаване на системата

y = −1 y = −1 ⇔ , откъдето − x + 3 + x − 14 + 11 = 0 0.x = 0

решенията са ( x ; −1) , x ∈ ℝ .

4. ( 2 точки)

Решаване на системата

y = −5 y = −5 ⇔ , откъдето −5 x + 75 + x − 70 + 11 = 0 −4.x = −16

решението е ( 4; −5 ) . 5. ( 1 точка) Отговор

( 4; −5)

и ( x ; −1) , x ∈ ℝ .

27. Критерии за оценяване на задача 27. 1. ( 1 точка) Определяне броя на четирицифрените числа, завършващи на нула – V63 = 120 .

2. ( 2 точки) Определяне броя на четирицифрените числа, завършващи на пет – V63 − V52 = 100 .

3. ( 1 точка) Определяне броя на четирицифрените числа, кратни на пет – 100 + 120 = 220 .

4. ( 2 точки) Определяне на броя на кратните на 9 четирицифрени числа с цифра на единиците 0. Той е сборът от пермутацията на 2 тройки цифри 5, 6, 7 и 4, 6,8 , т.е. броят е 2.P3 = 12 .


5. ( 3 точки) Определяне на броя на кратните на 9 четирицифрени числа, с цифра на единиците 5. Той се пресмята с помощта на пермутациите на 2 тройки цифри 0, 6, 7 и 1, 4,8 , т.е. броят е 2.P3 − P2 = 10 .

6.(1 точка) Намиране на търсената вероятност P =

22 1 = . 220 10

N

D

28. Критерии за оценяване на задача 28

C

3 1. ( 1 точка) Прилагане на синусова теорема за △ AMN и намиране на sin ∠NAM =

M

a

3 3 . 14

A

2a

2.(1 точка) α < 90° ⇒ ∠NAM < 90° . 3. ( 1 точка) Намиране на cos ∠NAM =

13 . 14

4. ( 1 точка) Доказване на AN = AM . 5. ( 1 точкA) Прилагане на косинусовата теорема за △ AMN и намиране на AM = AN = 3 7 .

6. ( 1 точка) Нека AB = 2a и ∠DAB = α . Прилагане на косинусовата теорема за △ ABM .

7. ( 1 точка) Прилагане на косинусовата теорема за △ MCN . 8. ( 1 точка) Съставяне на системата

63 = 5a 2 + 4a 2 cos α . 9 = 2a 2 − 2a 2 .cos α

9. ( 1 точка) Намиране на страната на ромба AB = a = 6 cm. 10.(1 точка) Намиране на ъглите на ромба 60° и 120° .

B

2012.30.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА