Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 1 септември 2011 г. – Вариант 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Дадени са числата a = 2

1 2

1

, b = ( −9 ) 3 , c = tg135° . Колко от неравенствата

b < c , a ≤ b , a < c НЕ са верни?

А) 0

Б) 1

В) 2

Г) 3

2. Числата А = 2 − 3 и B = 2 + 3 са: А) равни

Б) реципрочни

В) рационални

Г) противоположни

⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1 3. Недопустимите стойности на променливата y в израза ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ : ⎜⎜ + 1⎟⎟ са ⎠ ⎝y ⎠ ⎝y

числата: Б) 0 ; 1

А) 0

В) −1 ; 0

Г) −1 ; 0 ; 1

2 4. Решенията на неравенството 1 + 4 x − 9 > 0 са: 2x − 3

( ) (

( )

)

А) x ∈ −2; 3 2

Б) x ∈ −2; 3 ∪ 3 ; +∞ 2 2

В) x ∈ ( −2; +∞ )

Г) x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ 3 ; +∞ 2

(

5. Корените на уравнението

)

x 2 + 3x − 2 = 0 са означени с x1 и x 2 . Стойността на

израза x1 ( x2 − 3) + x2 ( x1 − 3) е: А) −5

Б) 0

В) 5

Г) 13


6. За x ∈ [ −2; 0] , най-малката стойност на функцията f ( x) = 3 x 2 − 12 x + 4 е: А) –8

Б) 4

В) 8

7. Броят на решенията на уравнението Б) 1

А) 0

Г) 40

3 − x = − x − 3 е: В) 2

Г) безброй много

8. На чертежа правите a и b са успоредни,

B

като OA = 6 , CD = 8 , OC = AB = x . Стойността

x

на x е:

6

А) 2 2

Б) 2 3

В) 4

Г) 4 3

O

A x C a

8

D b

9. Стойността на израза cos 390° − sin 210° е: А)

1− 3 2

Б) 0

В) 1

Г)

3 +1 2

C

10. На чертежа CH е височина към хипотенузата AB на

.

правоъгълния + ABC . Ако BC = 8 cm, а BH = 6, 4 cm, то

A α

tg α е равен на:

А)

4 3

Б)

4 5

В)

3 4

Г)

.

H

8 cm

6, 4 cm

B

3 5

11. Сборът на четвъртия и десетия член на аритметична прогресия е равен на 4 . Сумата от първите 13 члена на тази прогресия е: А) 52

Б) 50

В) 26

Г) 25

12. От три фолклорни групи с 4, 6 и 10 участници трябва да се избере един солист. По колко различни начина може да стане това? А) 10

Б) 20

В) 24

Г) 240


13. Ако a ≠ 0, b ≠ 0 и

a3 a a , то е вярно, че: =− 2 b b

А) a < 0 и b < 0

Б) a > 0 и b < 0

В) a > 0 и b > 0

Г) a < 0 и b > 0

⎛1⎞ 14. Ако M = − log 3 ⎜ ⎟ , то стойността на 9log3 M е равна на: ⎝9⎠ А) 2

Б) 4

Г) 36

В) 9

15. Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е: А) 8 cm

Б) 10 cm

В) 12 cm

Г) 18 cm

16. Ако за допустимите стойности на α е изпълнено равенството

1 + cos 2α = 3 , то sin 2α

tg α е равен на: А)

1 3

Б) 1

В) 3

Г) 3,3

17. Триъгълникът ABC е равнобедрен. Ако са дадени AC = BC = b и ∠ACB = γ , то радиусът на описаната около триъгълника окръжност е: А)

b 2 cos

γ

Б) b cos

γ 2

В) b cos γ

Г)

b 2 sin

2

γ 2

18.Триъгълникът ABC има страни AB = 7 cm, BC = 3 cm и AC = 5 cm. Мярката на ∠ACB е:

А) 45°

Б) 60°

В) 120°

Г) 135°


D

19. В успоредника ABCD AB = 37 cm, AC = 8 cm и

C O

BD = 6 cm. Дължината на страната BC е равна на:

A) 10 3 cm

Б) 37 cm

В) 13 cm

Г) 10 cm

A

B

37cm

20. В равнобедрен трапец височината е равна на 6 cm, а диагоналите му са взаимно перпендикулярни. Лицето на трапеца е равно на: А) 36 cm 2

Б) 36 2 cm 2

В) 36 3 cm 2

Г) 36 5 cm 2

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 1 21. Намерете стойностите на x , за които е изпълнено равенството log 1 x = − . 2 25 C

22. В равнобедрения + ABC

( AC = BC )

са построени

ъглополовящите AD и BE . В четириъгълника ABDE

E

D

AB = 13 , а BD = 5 . Намерете косинуса на ъгъла при

основата на + ABC . B

А

C

23. На чертежа трапецът AKBC е вписан в окръжност k с диаметър

AK . Ако

∠ACB = 120°

и

BP ⊥ AK ( P ∈ AK ) , то

намерете отношението AP : PK .

B А

О 24. Намерете най-голямата стойност на израза ако α ∈ [ 0°; 90°] .

1 + 2sin α cos α , 2

k

Р

К


25. В таблицата са дадени резултати от тест по математика: Точки

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Брой ученици

1

1

1

2

2

0

2

3

1

1

4

2

3

1

2

Да се определи медианата на статистическия ред, получен от данните за резултатите от теста.

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

26. Да се реши системата уравнения:

x2 + y2 = 5 4 8 xy = 3 3

27. С помощта на цифрите 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 са записани всички възможни трицифрени числа с различни цифри. Каква е вероятността случайно избрано число от записаните да е четно? 28. Даден е успоредник ABCD , в който AB = 3 AD . През средата M на AD и точка N от страната AB е построена права, която пресича продължението на страната

CB в точка Q . Ако AN = 3 cm и BQ = 10 cm, намерете периметъра на успоредника.


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение

ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

D = b 2 − 4ac

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

Формули на Виет:

−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =

Квадратна функция

⎛ b D⎞ Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката ⎜⎜− ; − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2a 4a ⎠ Корен. Степен и логаритъм 2k

a 2k = a

2 k +1

a 2 k +1 = a

при k ∈

m 1 −m n m n n k a = a a = nk a = a a ≠ , 0 m a m, n, k ∈ a x = b ⇔ log a b = x a loga b = b

nk

a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и

log a a x = x

при a > 0, b > 0 и a ≠ 0

Комбинаторика

Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =

n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1

Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =

брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи

0 ≤ p ( A) ≤ 1

Прогресии

2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 S n = a1 ⋅ , q ≠1 q −1

Аритметична прогресия:

an = a1 + (n −1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n−1

Формула за сложна лихва:

⎛ p ⎞⎟ K n = K .q n = K .⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠⎟

Sn =

n


Зависимости в триъгълник и успоредник

1 1 S = ab = chc 2 2 a b sin α = cos α = c c

c2 = a 2 + b2

Правоъгълен триъгълник:

hc 2 = a1b1

r=

a +b−c 2

a 2 = a1c tg α =

b 2 = b1c

a b

cotg α =

b a

Произволен триъгълник:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

1 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4 a n Формула за ъглополовяща: = b m Формула за диагоналите на успоредник:

mb 2 =

mc 2 =

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4

2

lc = ab − mn

d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2

Формули за лице

Триъгълник:

1 S = chc 2 S = pr

Успоредник:

S = aha

1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R

S=

S = ab sin α

p ( p − a )( p − b)( p − c )

S=

Трапец:

a +b h 2

1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Четириъгълник:

Тригонометрични функции

α°

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

30°

45°

60°

90°

π 6 1 2

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0


−α − sin α cosα − tg α − cotg α

sin cos tg cotg

90°−α cosα sin α cotg α tg α

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

tg (α ± β) =

cotg (α ± β) =

cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2

α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2

sin α + sin β = 2sin

sin α cos β =

180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β

sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2

90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α

1 (sin (α + β) + sin (α −β)) 2

α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α −β) + cos (α + β)) 2

sin α − sin β = 2sin


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 01 септември 2011 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор

Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Верен отговор В Б В Б В Б Б Г Г А В Б Б Б Б А А В В А 5 4 5 3 :1

Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

3 = 1, 5 2 10,5 (2;1) (1;2) (-2;-1) (-1;-2) 13 = 52% 25 PABCD = 40 ст.

4

4

4 10 10 10


Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване на задача 26. 2 2 y= y= x 1.Преобразуване на системата чрез заместване ⇔ (1 т.) x 4 2 2 2 x + 2 =5 x + y =5 x 2. Отчитане, че x = 0 не е решение (1 т.) 4 2. Решаване на уравнението x 2 + 2 = 5 ⇔ x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 и получаване на корените x му ±4; ±1

- за привеждане във вида x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 (1 т.) 2 2 - за полагане t = x и решаване на квадратното уравнение t − 5t + 4 = 0 (2 т.) - за решаване на уравненията x 2 = 1; x 2 = 4 и намиране на съответните стойности на y (4 т.) (1 т.) 3. Оформяне на решенията (-2;-1) (-1;-2) (1;2) (2;1) 27. Критерии за оценяване на задача 27. 1. Определяне броя на всички възможности за запис на трицифрено число : V63 − V52 = 100 (2 т.) 2. Определяне на възможностите за запис на четно трицифрено число - завършващо с цифрата 0 : V52 = 20

(2 т.)

- завършващо с цифрата 2 или цифрата 4 : 2(V − V ) = 32 и общия брой благоприятни възможности е 20 + 32 = 52

(2 т.) (2 т.)

2 5

1 4

3. Намиране на вероятността за запис на четно трицифрено число 52 13 = = 52% 100 25 28. Нека BC = a . Тогава AB = 3a . (1т.) QB BN От подобието △QBN ∼△MAN следва, че = .(2 т.) AM AN 10 3a − 3 Получава се уравнението = (1т.) a 3 2 20 3(a − 1) = ⇔ a 2 − a − 20 = 0 , a1 = −4, a2 = 5 , a1 = −4 < 0 a 3 не е решение, а a2 = 5 е решение (3 т.) Получава се, че BC = 5 ст, а AB = 15 ст. (2 т.) Периметърът на успоредника PABCD = 40 ст. ( 1 т. )

(2 т.)

D

C

M A

N

B Q


2011.01.09 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you