Page 1

ÍÀÖÈÎÍÀËÍÀ ÏÈÎÄÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀ ÈÌÍÀÇÈß Ëèöåé êúì ÑÓ

ÈÌÍÀÇ Èß

Ñâ. Êëèìåíò Îõðèäñêè“

Ñîèÿ 1164, óë. Áèãëà 52, òåë. 862 83 63, 862 29 66

e-mail: npmgnpmg.org, npmg_sofiaabv.bg, skype: npmg_sofia http://www.npmg.org, http://mathnpmg.blogspot. om

ÈÎÍÀËÍÀ Ï ÐÈ ÀÖ •Í

à ÑÊÀ

ÀÊ

ÀÊÀÄ. ËÞÁÎÌÈ ×ÀÊÀËΓ

×Å

ÌÀÒÅÌÀ ÄÎÒÈ ÐÎ

ÀÄ. ΠË. ×ÀÊÀË

Êîíêóðñåí èçïèò ïî ìàòåìàòèêà çà ÍÏÌ ½Àêàä. Ë. ×àêàëîâ Âàðèàíò 1 06.06.2010 ã.

Íàìåðåòå íàé-ìàëêîòî öÿëî ÷èñëî, êîåòî å ðåøåíèå íà íåðàâåíñòâîòî

Çàäà÷à 1.

(x + 3)2 − x(x − 1)(x + 1) ≥ (x + 2)(x − 2) + (1 − x)(x2 + x + 1) åøåòå óðàâíåíèåòî 2x(x2 + 1)(x2 − 2|2 − 22 |) = 0.

Çàäà÷à 2.

4

Çàäà÷à 3.

Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî |(−x−1)2 −x(x+1)| = 2M , êúäåòî M =

22010 − (2502 ) . 41004 + 22009

9 îò  òðè òîðáè èìà îáùî 36 êèëîãðàìà áðàøíî. Âòîðàòà òîðáà ñúäúðæà 25 2 êîëè÷åñòâîòî áðàøíî â ïúðâàòà òîðáà, à òðåòàòà òîðáà ñúäúðæà 22 % îò êîëè÷åñòâîòî áðàøíî 9 âúâ âòîðàòà òîðáà. Ïî êîëêî êèëîãðàìà áðàøíî èìà âúâ âñÿêà òîðáà. Çàäà÷à 4.

Çàäà÷à 5. Åäíà îáóùàðñêà èðìà ñêëþ÷èëà äîãîâîð ñ òúðãîâñêà èðìà äà è ïðåäîñòàâÿ ïî 180 ÷èòà îáóâêè íà äåí îò äàäåí ìîäåë.  äåéñòâèòåëíîñò îáóùàðñêàòà èðìà ïðîèçâåæäàëà ñ 15 ÷èòà îáóâêè íà äåí ïîâå÷å îò äîãîâîðåíîòî, ïîðàäè êîåòî åäèí äåí ïðåäè èçòè÷àíå íà äîãîâîðà òÿ ïðîèçâåëà 120 ÷èòà îáóâêè íàä äîãîâîðåíîòî êîëè÷åñòâî. Êîëêî ÷èòà îáóâêè å òðÿáâàëî äà ïðîèçâåäå îáóùàðñêàòà èðìà ïî äîãîâîð?

Äàäåí å △ABC ñ <) BAC = 30◦ , <) ABC = 45◦ , âèñî÷èíà CH(H ∈ AB) è ìåäèàíà BM (M ∈ AC). Äà ñå íàìåðè ãîëåìèíàòà íà <) BM C . Çàäà÷à 6.

 ïðàâîúãúëíèÿ △ABC (<) ACB = 90◦ ) âèñî÷èíàòà å CD (D ∈ AB), úãëîïîëîâÿùàòà íà <) BCD e CL (L ∈ AB), òî÷êàòà M å ñðåäàòà íà CL è ïðàâàòà AM ïðåñè÷à CD è CB ñúîòâåòíî â òî÷êèòå Q è S . Äà ñå äîêàæå, ÷å CQLS å ðîìá. Çàäà÷à 7.

Äàäåí å òúïîúãúëåí △ABC (<) ABC > 90◦ ), â êîéòî úãëîïîëîâÿùàòà íà <) BAC ïðåñè÷à ñòðàíàòà BC â òî÷êà M . Èçáðàíà å òî÷êà P îò ñòðàíàòà AC , òàêà ÷å <) P M C =<) BAC . Äà ñå äîêàæå, ÷å M P = M B . Çàäà÷à 8.

Çàäà÷à 9.

Çàäà÷à 10.

Äà ñå äîêàæå, ÷å àêî a, b è c ñà äúëæèíèòå íà ñòðàíèòå íà òðèúãúëíèê, òî 1 a2 + b2 > c2 . 2 Äîêàæåòå, ÷å óðàâíåíèåòî x2 + 2010 = y 2 íÿìà ðåøåíèå â öåëè ÷èñëà. Âðåìå çà ðàáîòà:

Ïúëíîòî ðåøåíèå íà âñÿêà çàäà÷à ñå îöåíÿâà ñ 4 òî÷êè. Ïîæåëàâàìå Âè óñïåøíà ðàáîòà!

1

4 àñòðîíîìè÷åñêè ÷àñà

Profile for stoyan bordjukov

2010.06.06 Конкурсен изпит по математика за постъпване в НПМГ  

2010.06.06 Конкурсен изпит по математика за постъпване в НПМГ  

Profile for bgmath