Issuu on Google+

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 18 май 2010 г. – Вариант 1

УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ,

Тестът съдържа 28 задачи. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте с черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. За да отбележите верния отговор, зачертайте със знака

кръгчето с буквата на съответния отговор. Например: А

Б

В

Г

Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и зачертайте буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А

Б

В

Г

За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е зачертана със знака

.

Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълните решения с необходимите обосновки. Чертежите в теста са само за илюстрация. Те не са начертани в мащаб и не са предназначени за директно измерване на дължини на страни и мерки на ъгли.

ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!


Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1

1

7 49 2  16  2 1. Дадени са числата a = , b =   , c = . Колко от неравенствата 16 4  49 

a ≥ c , a > b , b > c НЕ са верни? А) 0

Б) 1

В) 2

Г) 3

2. Числата А = 2 − 1 и B = 2 + 1 са: А) равни

Б) реципрочни

В) рационални

Г) противоположни

3. Изразът А) y ≠ ±1

x + 3 x2 + x − 6 y −1 : е тъждествено равен на при: 2 y +1 y −1 x−2

Б) y ≠ −1, x ≠ −3

4. Решенията на неравенството А) x ∈ ( −∞; −4] ∪ ( 2; +∞ )

В) x ≠ 2, x ≠ −3

Г) x ≠ −3, x ≠ 2, y ≠ ±1

− x2 + 6 x − 8 ≥ 0 са: x 2 − 16

Б) x ∈ (−4; 2) ∪ [2; 4]

Г) x ∈ ( −4; 2]

В) x ∈ [ 2; 4)

5. Дадено е уравнението x 2 − 3x − 5 = 0 с корени x1 и x 2 . Стойността на израза x1 ( x2 − 2 ) + x2 ( x1 − 2 ) e равна на: А) −16

В) 4

Б) −7

Г) 16

6. За x ∈ [−1; 1] , най-голямата стойност на функцията f ( x ) = 1 + 4 x − x 2 е: А) –4

Б) 1

7.Броят на решенията на уравнението А) 0

В) 4

Г) 5

2 − x = x − 2 е:

Б) 1

В) 2

Г) безброй много

2 1 1 8. Стойността на израза log 3 9 − ( log 3 3−1 ) + log 9 е: 2 81

А) 3

Б) 2

В) 1

Г) 0

9. Стойността на израза cos 330o − sin 510o е: А)

1− 3 2

Вариант 1

Б) 0

В)

3 −1 2

Г) 1

1


10. Ако

sin 2α 1 = , то cotgα е равен на: 1 + cos 2α 5 Б) 2

А) 5

Г) 0, 2

В) 1

11. За аритметична прогресия a4 = − 1 , а a11 = 3 . Разликата на прогресията е: 2 А) − 1 2

Б) − 5 14

В) 5 14

Г) 1 2

12. По колко начина могат да се изберат три учебни предмета от ЗИП от пет възможни? А) 3

Б) 6

В) 10

Г) 15

13. Кое от равенствата НЕ е вярно, ако a > 0 , а b < 0 ? А) 4a 4b 4 = a 2 16a 4b8 В)

8ab 2 = 2 b 2a

Б) a 2b = a 4b 2 Г) 3 2a 2b 4 = 18ab 2

Q D

14. На чертежа ABCD е успоредник и PQ  BD . Ако

C

AB = 8 cm, BC = 6 cm и AP = 12 cm, то дължината на DQ е:

А) 1,5 cm

Б) 2 cm

В) 3 cm

Г) 4 cm

A

B

P

15. Страните на триъгълник са BC = 27 cm, AC = 36 cm и AB = 21 cm. Намерете отношението, в което центърът на вписаната окръжност дели ъглополовящата CL( L ∈ AB) , считано от точка C . А) 2:1

Б) 1:2

В) 4:1

Г) 3:1

C

16. Триъгълникът ABC на чертежа е равнобедрен и правоъгълен. Дължината на медианата към катета е 10 . Дължината на височината CD към хипотенузата е: А) 2

Вариант 1

Б) 2

В) 2 2

Г) 4

А

D

B

2


17. Триъгълникът ABC е със страна BC = 6 и BAC = 150o . Дължината на окръжността, описана около триъгълника е: А) 6π

Б) 12π

В)

6 3 π 3

Г) 6 3π

18. Триъгълник ABC има страни AB = 7 , BC = 3 и ACB = 60o . Видът на  ABC е: А) остроъгълен

Б) правоъгълен

В) тъпоъгълен

Г) неопределен

D

19. В успоредника ABCD AB = 37 , AC = 8 и BD = 6 . Острият ъгъл между диагоналите на успоредника е: A) 150

Б) 300

В) 450

Г) 600

C O

A

B

37

Е

D

20. Даден е правилен шестоъгълник ABCDEF . Ако точката O е центърът на описаната около шестоъгълника окръжност с радиус 2 , то SOBCD е равно на: А) 4 3 Б) 2 3 В) 3 Г)

F

C

O

3 2

B

А

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! x

1

− 1 21. Намерете за кои стойности на x е изпълнено равенството   = 8 3 . 2

22. В равнобедрен триъгълник с основа 4 и бедро 6 ъглополовящите на ъглите при основата пресичат бедрата в точки P и Q . Да се намери дължината на отсечката PQ .

23. Даден е трапец ABCD ( AB || CD) , за който AB = 28 cm, CD = 11 cm, BC = 26 cm и AD = 25 cm. Да се намери лицето на трапеца. 24. Намерете най-малката стойност на израза cos 2 α − sin 2 α − 2 , ако α ∈  0 ; 90  .

Вариант 1

3


25. Да се намери средната стойност на множеството от данни, представено с диаграмата:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Да се намерят решенията на системата

x. y = 3 x 2 + y 2 = 10

27. С помощта на цифрите 0, 2, 5, 6 и 7 са записани всички четирицифрени числа по-малки от 6000. По случаен начин се избира едно число. Да се намери вероятността числото да се дели на 5. 28. В окръжност с радиус 3 е вписан четириъгълник ABCD , чийто диагонал AC е диаметър на окръжността. Ако DAC : CAB = 5 : 2 и AB = 3 3 , да се намери диагоналът BD .

Вариант 1

4


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a

ax 2 + bx + c = 0

x1,2 =

Квадратна функция

Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−

b D ;− ) 2a 4a

Корен. Степен и логаритъм 2k

2 k +1

a 2k = a

m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b

nk

a 2 k +1 = a ;

a mk = n a m

log a a x = x

при k ∈

a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k

Комбинаторика

Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност

P ( A) =

Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k

брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи

0 ≤ P( A) ≤ 1

Прогресии

Аритметична прогресия:

an = a1 + ( n − 1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n −1

p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n

2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1

Sn =

n


Зависимости в триъгълник

1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2

S=

Формули за лице

1 S = chc 2

1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:

S=

S=

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Тригонометрични функции

α0

00

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

300

450

600

900

π

π

π

π

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0


−α − sin α cos α − tgα −cotgα

sin cos tg cotg

900 − α cos α sin α cotgα tgα

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =

sin α + sin β = 2sin

α +β

cos

α −β

2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =

1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2

900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα

1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =

sin α − sin β = 2sin

α −β 2

cos

α +β

2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО математика– 18 май 2010 г. ВАРИАНТ № 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1. 2.

Верен отговор

Г Б

Брой точки 2 2

Въпрос Верен отговор № 26. (-3;-1) (-1;-3) (1;3) (3;1)

Г 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

2

Г А В Б Г В А Г В Б В Г Б Б В Г Б 1

12 = 2, 4 5 468 cm 2 −3 6

2 = 0, 4 5

27.

28.

DB =

Брой точки 15 15

(

)

3( 6 + 2) 3 2 3 + 1 = 2 2

15

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 Въпроси със свободен отговор

26. Критерии за оценяване на задача 26. 9


1.Преобразуване на системата чрез заместване 3 3 y= y= x ⇔ , xy ≠ 0 x 9 2 2 2 x + 2 = 10 x + y = 10 x

( 3 т.)

9 = 10 до уравнението x2 x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 3. За полагане t = x 2 и свеждане до квадратното уравнение t 2 − 10t + 9 = 0 4. За намиране на корените t1 = 1 и t2 = 9

( 3 т.) ( 2 т.) ( 2 т.)

5.За решаване на уравненията x 2 = 1; x 2 = 9 6. За формяне на решенията (-3;-1) (-1;-3) (1;3) (3;1)

( 4 т.) (1т.)

2. За преобразуване на уравнението x 2 +

27. Критерии за оценяване на задача 27. 1.Съображения, че ако четирицифрените числа са abcd , то цифрата

а може да бъде равна само на 2 или на 5, защото числата са по-малки от 6000 и първата цифра не може да е 0 (за цифрата a има 2 възможности)

( 3 т.)

2. Съображения, че останалите цифри b, c и d могат да са равни на всяка от дадените цифри ( за всяка от цифрите b, c и d по 5 възможности) (3 т.)

3. Следователно броят на всички четирицифрени числа по-малки от 6000, които могат да се запишат с дадените пет цифри е 2.5.5.5 = 250

( 3 т.)

4. От търсените числа на 5 се делят само тези числа, които завършват на 0 или на 5 (две възможности за цифрата на единиците), т.е.броят им е 2.5.5.2 = 100

(4 т.)

5. Вероятността избраното число да се дели на 5 е

100 2 = = 0,4 250 5

28. Критерии за оценяване на задача 28. 1.Установяване, че + ABC е правоъгълен ( 2 т.) 2. Намиране на BC = 3 от правоъгълния + ABC ( 2 т.) 3. Намиране на )BAC = 30o ( 2 т.) o 3. Намиране на )DAC = 75 ( 1 т.) o 4. Намиране на )BAD = 105 DB 5. Прилагане на синусова теорема = 2 R в + ABD sin105o 6+ 2 5. Определяне на sin105o = sin 75D = 4 6. Получаване на DB =

(

)

3( 6 + 2) 3 2 3 + 1 = 2 2

(2 т.)

D ( 1 т.) ( 2 т.) ( 3 т.)

A

75D

6

30

C

D

3 3

. B

( 2 т.)

10


2010.18.05 ДЗИ по математика