Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 19 май 2009 г. – Вариант 1 УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида: • 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен; • 8 задачи със свободен отговор. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте със син/черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. Отбелязвайте верния отговор със знака

Х

в

кръгчето с буквата на съответния отговор. Например: А

Б

В

Г

Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и отбележете буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А

Б

В

Г

За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е отбелязана със знака Х . Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълнете решения с необходимите обосновки.

ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!


Отговорите на задачите от 1. до 20 вкл. отбелязвайте в листа за отговори!

1. Дадени са безкрайните десетични периодични дроби P = 0, (15 ) и Q = 0, (151) . Вярно е, че: А) P > Q

Б) P < Q

2. Стойността на израза P = А) 12 − 8 3

В) P = Q

(

5−4 3

) ( 2

+

3−2

Г) P и Q не могат да се сравнят

)

2

е:

В) 2 + 4 3

Б) 2

Г) 12 − 4 3

3x ⎞ ⎛ 1 3. Допустимите стойности за израза ⎜ + : x + 2 ) са: 2 ⎟ ( ⎝ 2x −1 1− x ⎠ А) x ≠ 0,5; 1

Б) x ≠ 0,5; ± 1

В) x ≠ 0,5; ± 1; 2

Г) x ≠ 0,5; ± 1, − 2

4. Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2 − x − 20 = 0 , x3 и x4 са корените на уравнението 1 − 20 x 2 − x = 0 , то е вярно, че:

1 = x3 + x4 x1.x2

А) x1.x2 = x3 .x4

Б)

В) x1.x2 .x3 .x4 = −1

Г) x1.x2 = − x3 .x4

5. Колко общи точки имат графиките на функциите f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 и g (x ) = x 2 + 5 x − 6 ? Б) 1

А) 0

В) 2

Г) 3

6. Корените на уравнението 1 − x = 5 + x са: А) −3 и −8 Б) −8 В) −3

Г) няма реални корени

7. Стойността на израза log3 27 − lg 1 − log 5 1 е равна на: 100 А) 0

Б) 1

В) 4

Г) 5

8. Решенията на неравенството

1 < 1 са: x +1

А) x ∈ (− 2 ; 2 )

Б) x ∈ (−∞;− 2 ) ∪ ( 2 ;+∞)

В) x ∈ (−∞;0) ∪ (0;+∞)

Г) x ∈ (−∞;+∞)

Вариант 1

2


9. На чертежа е построена единичната окръжност и

y 1

права p , която се допира до окръжността в точка с

M

абсциса 1. Еднoто рамо на ъгъл α пресича правата

p в точка M , както е показано. За ъгъл α ординатата

на

точка

M

е

стойността

α

1 x

на

функцията: А) синус

Б) косинус

В) тангенс

Г) котангенс

p

10. Дадена е окръжност k ( O, r = 2 cm ) и точки A и B от окръжността, такива че дължината на дъгата AB е 2, 5 cm . Мярката на острия ∠AOB е: А) 0, 25 rad

Б) 1, 25 rad

В) 2 rad

Г) 2, 5 rad

11. За геометричната прогресия a1 , a2 ,..., a6 е известно, че a3 .a4 = −3 . Произведението a1.a2 .a3 .a4 .a5 .a6 е равно на: А) 27

В) −9

Б) 9

Г) −27

12. Нека Q1 е множество от 100 рационални числа и x е случайно избрано число от

Q1 . Вероятността числото q = А) 0

13. На чертежа

Б)

1 2

(1 + x )

2

да е ирационално, е: В) 1

Г) невъзможно да се определи

C

AP : PC = 2 : 3 и PQ || AB. Ако AB = 15 cm ,

то дължината на PQ е: А) 6 cm

Б) 9 cm

В) 10 cm

Г) 21,5 cm

14. На чертежа

P

Q

A

B

ΔABC е правоъгълен и

B

равнобедрен, AL е ъглополовящата на ∠CAB , а

S1 , S 2 и S3 са лицата на построените квадрати. Вярно

S2 L

е, че: А) 2S1 < S2

⎛3 ⎞ В) S3 = ⎜ + 2 ⎟ S2 ⎝2 ⎠

Б) 2S1 > S2

S1 A

C Г) S1 + S 2 > S3 S3

Вариант 1


15. Ако за четириъгълника ABCD на чертежа е дадено , че S AOD : S DOC = 3 : 1 и DO : DB = 1: 4, то НЕ Е вярно, че :

C

D O

А) DC || AB В) S AOB : S DOC = 3 :1

Б) S AOD = SOBC Г) S DOC : S BCO = 1 : 3

A

B

16. Лицето на равнобедрен триъгълник с дължини на бедрото и на основата съответно 5 cm и 2 cm е: А) 2 6 cm 2 Б) 4 6 cm 2 В) 12 cm2 Г) 2 3 cm 2 17. Ако най-голямата страна в разностранния + ABC е AB = R , където R е радиусът на описаната окръжност, то мярката на вътрешния ъгъл при върха C е: А) 30D

Б) 150D

В) 60D

Г) 120D

18. Триъгълникът АВС на чертежа е равностранен с дължина на страната 19 cm и AD = 5 cm . Дължината на хордата CD е: А) 20 cm Б) 20 3 cm В) 21 cm Г) 21 3 cm

C

B

А

C

D

19. Точката G е медицентърът на + ABC , I

точката G е симетричната на G относно средата M на страната AB . Ако S BMG I = 4 , то S ABC е: А) 12 В) 28

Б) 24 Г) 36

G

A

B

M G'

20. Равнобедрен трапец с основи AB = 50 cm и CD = 10 cm , и бедро AD = 29 cm има височина: А) 20 cm Б) 21 cm В) 30 cm Г) 41 cm

Вариант 1


Отговорите на задачите от 21. до 25. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори! x

x

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ + 5⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ е по-голяма от 6. 21. Стойността на израза A = ⎝ ⎠ y ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Запишете по-голямото oт числата x и y . 22. В банка била вложена сума пари, при годишна сложна лихва 3%. След три години сумата нараснала на 21 854 лева и 54 стотинки. Каква сума в лева е била вложена първоначално? 23. Намерете стойността на израза tg15º+cotg15º. 24. Даден е равнобедрен + ABC с бедра AC = BC = 5 cm и основа AB = 8 cm . Намерете дължината на радиуса на описаната около + ABC окръжност. 25. Намерете броя на мобилните телефонни номера от вида 0887 ∗∗∗∗ab , последните две цифри на които образуват двуцифрено число ab , което е точен квадрат, а двуцифреното число, записано със същите цифри, но в обратен ред, е просто число.

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от26. до 28. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Решете уравнението 1 +

x 2 + = 4. x x+2

27. Иван има в джоба си 2 монети по 10 ст., 4 монети по 20 ст., 4 монети по 50 ст. и 2 монети по 1 лв. Той изважда едновременно три монети по случаен начин. Каква е вероятността трите монети да са на обща стойност 1,20 лв? 28. В ΔABC медианата AM и ъглополовящата BL са перпендикулярни и имат една и съща дължина, равна на 4. Да се намери PΔABC .

Вариант 1


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a

ax 2 + bx + c = 0

x1,2 =

Квадратна функция

Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−

b D ;− ) 2a 4a

Корен. Степен и логаритъм 2k

2 k +1

a 2k = a

m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b

nk

a 2 k +1 = a ;

a mk = n a m

log a a x = x

при k ∈

a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k

Комбинаторика

Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност

P ( A) =

Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k

брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи

0 ≤ P( A) ≤ 1

Прогресии

Аритметична прогресия:

an = a1 + ( n − 1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n −1

p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n

2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1

Sn =

n


Зависимости в триъгълник

1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2

S=

Формули за лице

1 S = chc 2

1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:

S=

S=

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Тригонометрични функции

α0

00

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

300

450

600

900

π

π

π

π

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0


−α − sin α cos α − tgα −cotgα

sin cos tg cotg

900 − α cos α sin α cotgα tgα

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =

sin α + sin β = 2sin

α +β

cos

α −β

2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =

1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2

900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα

1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =

sin α − sin β = 2sin

α −β 2

cos

α +β

2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Учебен предмет – математика май 2009 г. ВАРИАНТ № 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

Верен отговор

А Б Г Б Б В Г В В Б Г А Б В В А Б В Б Б y 20000 4

1 6 104 4

Брой точки

Въпрос №

2

26.

2

27.

2

28.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

Брой точки

Верен отговор

2 3 3 P = 26 = 13 220 110

x1,2 = −1 ±

P∆ABC = 3

(

5 + 13

15 15

)

15


Въпроси с решения

26. КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 26

2+ x x + = 4. x x+2 Определяме множеството от допустими стойности : 2+ x ( 2 т.) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; +∞ ) x 2. Повдигаме двете страни на уравнението на втора степен и получаваме 2+ x 2+ x x x ( 3 т.) . + +2 = 16 x x+2 x x+2 1. Записваме уравнението така

3. ⇔

( x + 2 ) + x 2 + 2 = 16 x ( x + 2)

( 2 т.)

4. ⇔

2 x2 + 4 x + 4 = 14 ⇔ 2 x 2 + 4 x + 4 = 14 x 2 + 28 x x ( x + 2)

( 2 т.)

2

5. ⇔ 12 x 2 + 24 x − 4 = 0 ⇔ 3 x 2 + 6 x − 1 = 0 2 3, 3 7. Съобразяване, че извършените преобразувания са еквивалентни 2 и че −1 ± 3 ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; +∞ ) . 3 *Забележка: Ако вместо етап 1. и 7. е направена директна проверка, 2 че x1,2 = −1 ± 3 са решения на даденото уравнение 3

6. Корените на последното уравнение са x1,2 = −1 ±

( 2 т.) ( 2 т.) ( 1 т.) ( 1 т.)

( 4 т.)

Второ решение: x+2 =t x 2. Допустими стойности за t : t > 0 1 3. Получаване на уравнението t + = 4 t 4. Намиране на t1,2 = 2 ± 3

1. Полагане

5. Установяване, че t1 > 0, t2 > 0 6. Заместване

x+2 x+2 = 2+ 3 и = 2− 3 x x

( 2 т.) ( 1 т.) (1 т.) ( 2 т) ( 2 т.) ( 1 т.)


7. Намиране решението на първото уравнение x =

1 2 3 −3 = 3 3+ 2 3

( 3 т.)

8. Намиране решението на второто уравнение x =

1 −2 3 − 3 = 3 3− 2 3

( 3 т.)

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 27

Като се има пред вид с какви монети разполагаме, от три монети обща сума 1,20 лв. може да се получи по два начина – 1 монета по 1 лв. и 2 по 10 ст. или 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст. (3 т.) 3 = 12.11.10 = 220 . Броят на възможните тройки монети е C12 2.3

(2 т.)

1 монета по 1 лв. може да бъде избрана по C21 = 2 начина и 2 по 10 ст. по C22 = 1 начин (2 т.). Следователно 1 монета по 1 лв. и 2 по 10 ст. могат да бъдат избрани по C21 .C22 = 2.1 = 2 начина.

(2 т.)

Две монети по 50 ст. могат да бъдат избрани по C42 = 4.3 = 6 начина и 1 монета от 20 ст. 2 1 (2 т.) може да бъде избрана по C4 = 4 начина. Следователно 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст. могат да бъдат избрани по C42 .C41 = 6.4 = 24 начина. (2 т.)

2 + 24 = 26 и търсената вероятност Р е

Общият брой на благоприятните изходи е P = 26 = 13 . 220 110

(2 т.)

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 28

• доказване, че ∆ABM е равнобедрен

( 2 т.)

• изразяване на BC = 2 AB = x

( 1 т.)

• изразяване на CL = 2 AL = 2 y

( 2 т.)

• получаване на уравнение от ъглополовящата 16 = 2 x 2 − 2 y 2

( 3 т.)

• получаване на уравнение от медианата 64 = 18 y 2 − 2 x 2

(3 т. )

• решаване на системата и получаване на

x = 13 , y = 5

• определяне на периметъра на триъгълника

P∆ABC = 3

(

5 + 13

( 3 т.)

)

(1 т.)

2009.19.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  
2009.19.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  
Advertisement