Page 1

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ПРИМЕРЕН ИЗПИТ – ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 2008 г. По – долу са дадени 10 задачи, за всяка от които са посочени по четири възможни отговора само един, от които е верен. Заградете с кръгче единствено буквата на този отговор, който считате за верен. Всеки верен отговор носи по 1 точка. За неверен отговор, непосочен отговор или посочен повече от един отговор на дадена задача точки не се дават и не се отнемат. 1. Ако a = 2, b = 3 2 , то изразът

1 ; в) −2 ; 2 Изразът (a + b) 2 − (a − b)2 е равен на: ab ; б) 3ab ; в) 4ab ; 2 11 (x ) След опростяване изразът −7 28 има вида: x .x x; б) x 2 ; в) x 3 ; Корените на квадратното уравнение 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 са: 1 1 и 1; б) и 1 ; в) −1 и 1 ; 2 3 1 Решенията на неравенството x < са: x x ∈ ( −∞, −1) ∪ (0,1) ; б) x ∈ ( −1, 0) ∪ (1, +∞ ) ; в) няма решения;

а) 2 ; 2. а) 3. а) 4. а) 5.

a+b има стойност: b−a

б)

г) 6 .

г) друг отговор.

г) x −1 . г) 0 и 1 .

г) x ∈ (−1,1) . а) 2 6. Диагоналът на правоъгълник с лице 2 cm и периметър 6 cm е равен на: а) 3 cm ; б) 1 cm ; в) 5 cm ; г) 2 cm . 7. В равнобедрен триъгълник с основа 1 cm и бедро 2 cm ъглополовящата към бедрото разделя това бедро на отсечки с дължини: 2 4 1 5 1 3 а) и ; б) и ; в) и ; г) друг отговор. 3 3 3 3 2 2 8. Равностранен триъгълник вписан в окръжност с радиус 3 cm има страна: б) 3 cm ; а) 1 cm ; 9. Производната на функцията (sin 2 x) 2 е: б) 2 cos 2x ; а) 2sin 4x ; x+ y =3 10. Решението на системата 2 e: x + y2 = 5 а) (1,1) ; б) (1, 2) ;

в) 2 cm ;

г)

3 cm .

в) 2sin 2x ;

г) друг отговор.

в) (0, 3) ;

г) (2,3) .


• Решението на всяка от следващите 5 задачи започвайте на нова страница; • номерирайте всички страници на беловата си; • черновата не се проверява и не се оценява. Всяка пълно решена задача се оценява с 6 точки. 11. Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които корените x1 , x2 на уравнението x 2 − ax + a + 3 = 0 са реални и | x1 − x2 |≤ 3 . 12. Да се реши уравнението x + x 2 − 2 = 2 . 13. Определете всички решения на уравнението (log 2 x) 2 − 5(log 2 x) + 6 = 0 , които удовлетворяват неравенството 2 x − 8 > 0 . 14. Дължините на страните на един триъгълник образуват аритметична прогресия. Да се докаже, че отсечката, свързваща центъра на вписаната окръжност и медицентъра (пресечната точка на медианите) на триъгълника, е успоредна на средната по големина страна. Да се намери дължината на тази отсечка, ако разликата на прогресията е равна на 3 . 15. Основата на пирамида е равнобедрен трапец с големина 30 на един от ъглите му и дължина 3 на височината. Всички околни стени сключват с основата ъгли с големина 60 . Да се намерят обемът, пълната повърхнина на пирамидата и радиусът на вписаната сфера. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА 4 АСТРОНОМИЧЕСКИ ЧАСА

Окончателната оценка K от изпита се получава по формулата K = 2 + където T е броят на събраните от Вас точки.

НА ВСИЧКИ КАНДИДАТСТУДЕНТИ ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ!

T , 10


ОТГОВОРИ на задачи 1 – 10 1а

10 б

ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ на задачи 11 – 15 11. Дискриминантата D = a 2 − 4(a + 3) = a 2 − 4a − 12 на квадратното уравнение трябва a ∈ (−∞, −2] ∪ [6, +∞) .Записваме да е неотрицателна, откъдето получаваме неравенството | x1 − x2 |≤ 3 като го преобразуваме последователно:

( x1 − x2 ) 2 ≤ 3 ⇔ ( x1 − x2 ) 2 ≤ 9 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ≤ 9 . Сега от формулите на Виет имаме x1 + x2 = a и x1 x2 = a + 3 и последното неравенство добива вида a 2 − 4(a + 3) ≤ 9 ⇔ a 2 − 4a − 21 ≤ 0 с решения стойностите на a получаваме: a ∈ [−3, −2] ∪ [6, 7] .

a ∈ [−3, 7] . Окончателно за

12. Уравнението има смисъл при x 2 − 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞, − 2] ∪ [ 2, +∞) . Записваме

x 2 − 2 = 2 − x и след повдигане на двете му страни в 3 квадрат получаваме (квадратното) уравнение x 2 − 2 = 4 − 4 x + x 2 ⇔ 4 x = 6 ⇔ x = . 2 3 е корен и на изходното уравнение. Проверката показва, че 2 13. Уравнението има смисъл точно когато log 2 x има смисъл, т. е. при x > 0 . изходното уравнение във вида

Полагаме log 2 x = y и получаваме квадратното уравнение y 2 − 5 y + 6 = 0 с корени y1 = 2, y2 = 3 . Така изходното уравнение е еквивалентно на уравненията log 2 x = 2 и log 2 x = 3 , откъдето намираме решенията x1 = 4 и x2 = 8 , от които само x2 = 8 удовлетворява неравенството 2 x − 8 > 0 . B Нека страните на триъгълника са 14. BC = a, CA = b, AB = c , като a < b < c , BL и BT са съответно ъглополовящата и медианата от върха B , а O и M са съответно центърът M O на вписаната окръжност и медицентърът. Очевидно CL < CT , тъй като BC < AB . От свойството на ъглополовящата CO в △ BCL C A T L BO BC = . От триъгълника ABC лесно имаме OL CL ab BO a + c 2b се пресмята, че CL = . Така получаваме = = = 2 (тук сме използували, a+c OL b b че a + c = 2b , понеже дължините на страните на триъгълника образуват аритметична BM = 2 , следва, че прогресия). Тъй като от свойството на медицентъра M имаме и MT


OM BM 2 = = получаваме LT BT 3 2 2 2 b ab b(c − a ) c − a (a + 2.3) − a OM = LT = (CT − CL) = ( − )= = = = 1. 3 3 3 2 a+c 3(c + a ) 6 6 15. Нека пирамидата е ABCDM и V , S и S1 са съответно M обемът, околната и пълната повърхнина на тази пирамида. Нека O е ортогоналната проекция на върха M върху основата ABCD ( AB || CD, AB > CD ). От условието на задачата следва, че O е равноотдалечена от страните на основата и следователно в трапеца ABCD се вписва окръжност с център O , а в пирамидата може да се впише сфера. Нека OT ⊥ AB (T ∈ AB ) и DK ⊥ AB ( K ∈ AB ) . D C Тогава DK е височината на трапеца , ∡OTM = 60 и OT е радиус на вписаната в трапеца ABCD окръжност , като 60 O 1 3 30 OT = DK = . Тъй като трапецът е описан около B 2 2 K T окръжност и равнобедрен с бедро AD (= BC ) имаме, че 2AD = AB + CD . Сега от △ ADK , в който (по условие)  ∡KAD = 30 намираме AD = 2 DK = 2 3 . AB + CD = AD = 2 3 и за лицето на основата на пирамидата имаме Така 2 AB + CD S ABCD = DK = 2 3. 3 = 6 . От правоъгълния △ MOT намираме височината 2 3 3 ОТ 3 MO = OT .tg 60 = 3= и апотемата МТ = = 2.OT = 2. = 3 на  2 2 cos 60 2 пирамидата. Тогава, понеже AB + BC + CD + AD = 4 AD = 4.2 3 = 8 3 , получаваме: 1 1 3 1 1 V = S ABCD .MO = .6. = 3 , S = ( AB + BC + CD + AD) MT = .8 3. 3 = 12 , 3 3 2 2 2 S1 = S + S ABCD = 12 + 6 = 18. S .r Накрая, от формулата V = 1 за радиуса r на вписаната в пирамидата сфера намираме 3 3V 3.3 1 = = . r= S1 18 2 OM || CA .

A

Сега

от

Profile for stoyan bordjukov

2008 Технически университет - Варна - пример  

2008 Технически университет - Варна - пример  

Profile for bgmath
Advertisement