Page 1

НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" ПРЕДВАРИТЕЛЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 19 април, 2008г. – ВТОРА ТЕМА (тема на изпита- изтеглена на 19.04.08) Задача 1. Да се намерят: а) Решенията на уравнението 2.4 x − 15.2 x − 8 = 0 . б) Първият член a1 и частното q на геометрична прогресия, за която a2 + a5 − a4 = 10 . a3 + a6 − a5 = 20

Задача 2. Дадено е уравнението x 2 − 3 x + m 2 + 2m + 3 = 0 , където m е реален параметър. а) Да се намерят стойностите на параметъра m , при които уравнението има реални корени. б) Да се изрази x12 − x22 като функция на m и да се намерят най-голямата и ⎡ 3 1⎤ най-малката стойности на тази функция за m ∈ ⎢− ;− ⎥ , където x1 и x2 са ⎣ 2 2⎦ корените на даденото уравнение.

Задача 3. Даден е равнобедрен трапец ABCD с дължина на голямата основа AB = a и с дадени ъгли ∠ACB = 90o и ∠ABC = α . а) Да се намери лицето на трапеца ABCD . б) Да се намери дължината на радиуса на описаната около ∆ACD окръжност. Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с дължина на основния ръб AB = 6cm и дължина на околните ръбове AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 20cm . Нека точките M и N са среди съответно на ръбовете B1C1 и C1D1 . а) Да се намери лицето на четириъгълника BMND . б) Да се намери обемът на пресечената пирамида BCDMC1 N .


Примерни решения 1 зад. а) Полагаме 2 x = t с ОДС t > 0 . Получава се уравнението 2t 2 − 15t − 8 = 0 , чиито корени 15 ± 225 + 64 15 ± 289 15 ± 17 1 са t1; 2 = = = ⇒ t1 = − ∉ ОДС; t 2 = 8 . От 2 x = 8 и 2 x = t се 4 4 4 2 получава x = 3 , следователно x = 3 е единствено решение на даденото показателно уравнение. Отговор: x = 3 n −1 б) От формулата за общ член на геометрична прогресия a n = a1 .q следва системата да a1 .q + a1 .q 4 − a1 .q 3 = 10

се запише така

. Делим почленно второто на първото уравнение . a1 .q 2 + a1 .q 5 − a1 .q 4 = 20 Получава се q = 2 . Заместваме в първото уравнение на системата и намираме 10 10 a1 = = = 1. 4 3 2 + 16 − 8 q+q −q Отговор: a1 = 1 ; q = 2 . 2 зад. а) Квадратното уравнение има реални корени ако дискриминантата му е по-голяма или равна на нула. От D ≥ 0 следва неравенството D = 9 − 4. m 2 + 2m + 3 ≥ 0 ⇒ −4m 2 − 8m − 3 ≥ 0 ⇒ 4m 2 + 8m + 3 ≤ 0 , ⎡ 3 1⎤ чиито решения са m ∈ ⎢− ;− ⎥ . ⎣ 2 2⎦ ⎡ 3 1⎤ Отговор: m ∈ ⎢− ;− ⎥ ⎣ 2 2⎦ b б) Нека x12 − x 22 = ϕ (m ) . Използваме, че от формулата на Виет x1 + x 2 = − за даденото a уравнение се получава

(

)

x1 + x 2 = 3 ⇒ ϕ (m ) = ( x1 + x 2 )(x1 − x 2 ) = 3 x1 − x 2 = 3 D = 3 − 4m 2 − 8m − 3 .

Тъй като функцията m е монотонна, то търсим най-голямата и най-малката стойност на функцията u (m ) = −4m 2 − 8m − 3 в дадения интервал. u ′ = −8m − 8 = 0 ⇒ m = −1 . За m = −1 ; u (m ) = −4m 2 − 8m − 3 има локален максимум, защото u ′′ = −8 < 0 и функцията u max = u (−1) = −4 + 8 − 3 = 1 . Тогава

max ϕ (m ) = 3 u max = 3.1 = 3 . ⎡ 3 1⎤ m∈⎢ − ; − ⎥ ⎣ 2 2⎦

⎛ 3⎞ ⎡ 3 ⎤ В интервала ⎢− ;−1⎥ функцията ϕ (m ) расте и ϕ ⎜ − ⎟ = 0 , а в ⎝ 2⎠ ⎣ 2 ⎦ ⎛ 1⎞ ϕ (m ) намалява и ϕ ⎜ − ⎟ = 0 . Следователно ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ min ϕ (m ) = ϕ ⎜ − ⎟ = ϕ ⎜ − ⎟ = 0 . ⎡ 3 1⎤ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ m∈⎢ − ; − ⎥ ⎣ 2

2⎦

1⎤ ⎡ ⎢⎣− 1;− 2 ⎥⎦ функцията

Отговор: max ϕ (m ) = 3 ; min ϕ (m ) = 0 ⎡ 3 1⎤ m∈⎢ − ; − ⎥ ⎣ 2 2⎦

⎡ 3 1⎤ m∈⎢ − ; − ⎥ ⎣ 2 2⎦


3 зад. а)

За намиране лицето на трапеца използваме формулата S ABCD =

1 AC.BD. sin ∠BMC . 2

Тогава

a2 1 1 2 AC 2 . sin ∠BMC = (a. sin α ) . sin ∠(180 0 − 2α ) = . sin 2 α . sin 2α = a 2 . sin 3 α . cos α 2 2 2 Отговор: S ABCD = a 2 . sin 3 α . cos α B б) Описаната около окръжност минава и през т. , защото ∠ABC + ∠ADC = α + 90 0 + 90 0 − α = 180 0 . По условие ∠ACB = 90 0 и е вписан в окръжността, AB a описана около трапеца. Следователно търсеният радиус е R = = . 2 2 a Отговор: R = 2 4 зад. а) S ABCD =

2

⎛3 2 ⎞ 9 BD + MN 6 2 +3 2 6 2 +3 2 ⎟ = . 809 sm 2 . 20 2 + ⎜⎜ S BMND = .OP = PQ 2 + OQ 2 = ⎟ 2 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ 9 Отговор: S BMND = . 809 sm 2 2 CC1 б) Vпр.пир. = S BCD + S MC1N + S BCD .S MC1 N = 3 9 9⎞ 20 ⎛ 1 1 ⎞ 20 ⎛⎜ ⎟ = 210sm 3 = + + 18 18 . ⎜ .BC.CD + .C1 M .C1 N + S BCD .S MC1 N ⎟ = ⎜ 3 ⎝2 2 2 2 ⎟⎠ ⎠ 3 ⎝ Отговор: Vпр.пир. = 210sm 3

(

)

Profile for stoyan bordjukov

2008.19.04 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"  

2008.19.04 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"  

Profile for bgmath
Advertisement