Page 1

Минно – геоложки Университет “Св. Иван Рилски”

Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 14.05.2007 г. ЗАДАЧА 1. 1.1. Определяне на множествата от допустими стойности на реалния параметър t и неизвестното х Намиране на решението на уравнението 1.2. Изразяване на условието уравнението да има равни корени чрез параметъра m Намиране на търсените стойности на параметъра m

– 4 точки

ЗАДАЧА 2. Намиране на подходяща връзка между линейни елементи Намиране дължината на линеен елемент Намиране дължините на страните на триъгълника

– 3 точки – 1 т. – 1 т. – 1 т.

ЗАДАЧА 3. 3.1. Намиране на производната на функцията h(x) и решаване на уравнението h′( x) = 0 Намиране на локалните екстремуми на функцията h(x) Намиране най-малката и най-голямата стойност на h(x ) при x ∈ [−3; 2] 3.2. Представяне на h(n) като произведение от множители Доказване, че стойностите на h(n) са цели положителни числа 3.3. Получаване на тригонометрично уравнение Решаване на тригонометричното уравнение

– 7 точки – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т.

ЗАДАЧА 4. Обосноваване и построение на призмата Намиране дължината на подходящ линеен елемент Намиране дължината на друг линеен елемент Намиране височината на призмата

– 4 точки – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т.

– 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т.

ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се тълкуват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки. Формула за определяне на оценката 2   Q = 3 + (k − 3) . 0,2  6 

k<3 k = 3, 4, ..., 17 k = 18

(к е броят на получените точки, а Q - окончателната оценка).


Ɇɢɧɧɨ-ɝɟɨɥɨɠɤɢ ɍɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬ “ɋɜ. ɂɜɚɧ Ɋɢɥɫɤɢ” ɄɊȺɌɄɂ Ɋȿɒȿɇɂə ɇȺ ɁȺȾȺɑɂɌȿ 14.05.2007 ɝ. ȼȺɊɂȺɇɌ 3 ɁȺȾȺɑȺ 1. 1.1. Ɋɟɲɟɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ 7 x + 5 = t , ɤɚɬo ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɨɬ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢ ɫɬɨɣɧɨɫɬɢ ɧɚ ɪɟɚɥɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɴɪ t .

t2 − 5 , t ≥0. 7 1.2. Ɂɚ ɤɨɢ ɫɬɨɣɧɨɫɬɢ ɧɚ ɪɟɚɥɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɴɪ m ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ x 2 + ( m − 1) x + m + 2 = 0 ɢɦɚ ɪɚɜɧɢ ɤɨɪɟɧɢ? Ɋȿɒȿɇɂȿ: Ɋȿɒȿɇɂȿ: ȾɈ: t ≥ 0 ; ȾɆ: 7 x + 5 ≥ 0 ; 7 x + 5 = t 2 Ÿ x =

2

2

m −1· § m − 1· § ȱ. x + (m − 1) x + m + 2 = 0 Ÿ ¨ x + ¸ =0 ¸ + ( m + 2) − ¨ 2 ¹ © 2 ¹ © 2

2

Ÿ x1 = x 2 = −

m −1 § m −1· ⇔¨ ¸ − ( m + 2) = 0 2 © 2 ¹

Ÿ m 2 − 2m + 1 − 4 m − 8 = 0 Ÿ m 2 − 6m − 7 = 0 Ÿ m1 = −1, m2 = 7 .

ȱȱ. D = ( m − 1) 2 − 4( m + 2) = 0 ⇔ m 2 − 6m − 7 = 0, m1 = −1, m2 = 7 . ɁȺȾȺɑȺ 2. Ⱦɚɞɟɧ ɟ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɟɧ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤ ɫ ɨɫɬɴɪ ɴɝɴɥ 60°. ȼ ɧɟɝɨ ɟ ɜɩɢɫɚɧ ɪɨɦɛ, ɫ ɞɴɥɠɢɧɚ ɧɚ ɫɬɪɚɧɚɬɚ 6 ɫɦ, ɩɨ ɬɚɤɴɜ ɧɚɱɢɧ, ɱɟ ɴɝɴɥɴɬ ɨɬ 60° ɟ ɨɛɳ. ȼɫɢɱɤɢ ɜɴɪɯɨɜɟ ɧɚ ɪɨɦɛɚ ɥɟɠɚɬ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ. Ⱦɚ ɫɟ ɧɚɦɟɪɹɬ ɞɴɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ. Ɋȿɒȿɇɂȿ: B AM = MN = NP = BA = a = 6 ɫɦ ∠CAB = 60 $ .

y P

A

N

c c 3 ; BC = ; 2 2 ɇɟɤɚ MC = x; PB = y .

AB = c ; AC =

∆ACB ~ ∆PNB Ÿ

M x C Ÿ 1+

x a x a = 1 + Ÿ = Ÿ xy = a 2 . a y a y

c −a §c c2 3 · − ac = 0, c > 0 Ÿ c = 3a = 18 ɫɦ. Ÿ ¨ − a ¸( c − a ) = a 2 Ÿ 2 2 2 2 ¹ © y =c−a

x=

Ɉɬɝ.: AB = 18 ɫɦ; AC = 9 ɫɦ; BC = 9 3 ɫɦ.

a+x a+ y = a y


x3 x 2 x + + . 6 2 3 3.1. É&#x2021;É&#x161;ÉŚÉ&#x;ÉŞÉ&#x;ÉŹÉ&#x; ɧÉ&#x161;ÉŁ-ÉŚÉ&#x161;ɼɤÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɢ ɧÉ&#x161;ÉŁ-É?ɨɼɚɌÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɍɏɨɣɧɨɍɏ ɧÉ&#x161; h(x) Ɋɪɢ x â&#x2C6;&#x2C6;[â&#x2C6;&#x2019;3 ; 2 ] .

É ČşČžČşÉ&#x2018;Čş 3. ČžÉ&#x161;É&#x17E;É&#x;ɧÉ&#x161; É&#x; ɎɭɧɤɰɢɚɏÉ&#x161; h( x) =

É&#x160;ČżÉ&#x2019;ČżÉ&#x2021;É&#x201A;Čż: h( x) =

h â&#x20AC;˛( x) =

x3 x 2 x + + ; x â&#x2C6;&#x2C6;[â&#x2C6;&#x2019;3 ; 2 ] 6 2 3

1 3x 2 + 6 x + 2 x2 . É&#x201E;ɨɪÉ&#x;ɧɢɏÉ&#x; ɧÉ&#x161; É­ÉŞÉ&#x161;É&#x153;ɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ h â&#x20AC;˛( x) = 0 ÉŤÉ&#x161; + x+ = 2 3 6 x1 = â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;

1

, x 2 = â&#x2C6;&#x2019;1 +

1

; â&#x2C6;&#x2019; 3 < â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;

1

< â&#x2C6;&#x2019;1 +

1

< 2. 3 3 3 3 É&#x17D;ɭɧɤɰɢɚɏÉ&#x161; h(x) É&#x; ɍɏɪɨÉ?ɨ ÉŞÉ&#x161;ɍɏɚɳÉ&#x161; É&#x153; ɢɧɏÉ&#x;ÉŞÉ&#x153;É&#x161;ÉĽÉ&#x161; [â&#x2C6;&#x2019;3, x1 ] , ɍɏɪɨÉ?ɨ ɧÉ&#x161;ÉŚÉ&#x161;ÉĽÉšÉ&#x153;É&#x161;ÉłÉ&#x161; É&#x153; [ x1 , x2 ] ɢ ɍɏɪɨÉ?ɨ ÉŞÉ&#x161;ɍɏɚɳÉ&#x161; É&#x153; [ x 2 , 2] . É&#x2039;ÉĽÉ&#x;É&#x17E;ɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x;ɼɧɨ Ɋɪɢ x = x1 h(x) ɢɌÉ&#x161; ɼɨɤÉ&#x161;ÉĽÉ&#x;ɧ ÉŚÉ&#x161;ɤɍɢɌɭɌ, É&#x161; Ɋɪɢ x = x 2 1 1 . ɼɨɤÉ&#x161;ÉĽÉ&#x;ɧ ɌɢɧɢɌɭɌ, ɍɴɨɏÉ&#x153;É&#x;ɏɧɨ h( x1 ) = ; h( x 2 ) = â&#x2C6;&#x2019; 9 3 9 3 h(2) = 4 Â&#x; max{h( x) : â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ 2} = h(2) = 4 ; h(â&#x2C6;&#x2019;3) = â&#x2C6;&#x2019;1 Â&#x; min{h( x) : â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ 2} = h(â&#x2C6;&#x2019;3) = â&#x2C6;&#x2019;1 . 3.2. É&#x2030;ɨɤÉ&#x161;É É&#x;ÉŹÉ&#x;, ÉąÉ&#x; ɍɏɨɣɧɨɍɏɢɏÉ&#x; ɧÉ&#x161; h(n) ÉŤÉ&#x161; É°É&#x;ɼɢ ɊɨɼɨɠɢɏÉ&#x;ɼɧɢ ɹɢɍɼÉ&#x161; Ɋɪɢ É°É&#x;ɼɢ ɊɨɼɨɠɢɏÉ&#x;ɼɧɢ ɍɏɨɣɧɨɍɏɢ ɧÉ&#x161; É&#x161;ÉŞÉ?É­ÉŚÉ&#x;ɧɏÉ&#x161; n . n 3 + 3n 2 + 2n n(n + 1)(n + 2) = , n = 1, 2, 3,... 6 6 É&#x2030;ɪɨɢɥÉ&#x153;É&#x;É&#x17E;É&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɧÉ&#x161; É&#x153;ÉŤÉ&#x;ɤɢ É&#x17E;É&#x153;É&#x; ɊɨɍɼÉ&#x;É&#x17E;ɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x;ɼɧɢ É&#x;ÉŤÉŹÉ&#x;ÉŤÉŹÉ&#x153;É&#x;ɧɢ ɹɢɍɼÉ&#x161; É&#x153;ɢɧÉ&#x161;É?ɢ É&#x; ÉąÉ&#x;ɏɧɨ, É&#x161; ɊɪɨɢɥÉ&#x153;É&#x;É&#x17E;É&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɧÉ&#x161; É&#x153;ÉŤÉ&#x;ɤɢ ɏɪɢ ɊɨɍɼÉ&#x;É&#x17E;ɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x;ɼɧɢ É&#x;ÉŤÉŹÉ&#x;ÉŤÉŹÉ&#x153;É&#x;ɧɢ ɹɢɍɼÉ&#x161; É&#x153;ɢɧÉ&#x161;É?ɢ ÉŤÉ&#x; É&#x17E;É&#x;ɼɢ ɧÉ&#x161; 3, É&#x153; ÉąÉ&#x161;ɍɏɧɨɍɏ ɢ ɧÉ&#x161; 6. É&#x2039;ÉĽÉ&#x;É&#x17E;ɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x;ɼɧɨ h(n) É&#x; É&#x;ÉŤÉŹÉ&#x;ÉŤÉŹÉ&#x153;É&#x;ɧɨ (ɰɚɼɨ ɊɨɼɨɠɢɏÉ&#x;ɼɧɨ) ɹɢɍɼɨ.

É&#x160;ČżÉ&#x2019;ČżÉ&#x2021;É&#x201A;Čż: h(n) =

§

¡

3.3. É&#x160;É&#x;ɲÉ&#x;ÉŹÉ&#x; É­ÉŞÉ&#x161;É&#x153;ɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ h¨¨ sin §¨ â&#x2C6;&#x2019; y ¡¸ ¸¸ = 0 . Š2 š Š

Ď&#x20AC;

š

§ §Ď&#x20AC; cos y (cos y + 1)(cos y + 2) ¡¡ É&#x160;ČżÉ&#x2019;ČżÉ&#x2021;É&#x201A;Čż: h¨¨ sin ¨ â&#x2C6;&#x2019; y ¸ ¸¸ = h(cos y ) = . 6 šš Š Š2 É&#x160;É&#x;ɲÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɧÉ&#x161; É&#x17E;É&#x161;É&#x17E;É&#x;ɧɨɏɨ ɏɪɢÉ?ɨɧɨɌÉ&#x;ɏɪɢɹɧɨ É­ÉŞÉ&#x161;É&#x153;ɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x; É&#x; ɨÉ&#x203A;É&#x;É&#x17E;ɢɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɨɏ ÉŞÉ&#x;ɲÉ&#x;ɧɢɚɏÉ&#x161; ɧÉ&#x161; É­ÉŞÉ&#x161;É&#x153;ɧÉ&#x;ɧɢɚɏÉ&#x161;: cos y = 0 ɢ cos y = â&#x2C6;&#x2019;1 (ÉŹÉŞÉ&#x;ɏɢɚɏ ÉŚÉ§É¨É É˘ÉŹÉ&#x;ÉĽ É&#x153; ɹɢɍɼɢɏÉ&#x;ÉĽÉš É&#x; É&#x153;ɢɧÉ&#x161;É?ɢ ɊɨɼɨɠɢɏÉ&#x;ÉĽÉ&#x;ɧ!). É&#x2039;ÉĽÉ&#x;É&#x17E;ɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x;ɼɧɨ ÉŹÉ´ÉŞÉŤÉ&#x;ɧɨɏɨ ÉŞÉ&#x;ɲÉ&#x;ɧɢÉ&#x; É&#x; ɌɧɨɠÉ&#x;ÉŤÉŹÉ&#x153;ɨɏɨ: Ď&#x20AC; ½ ­ ÂŽ(2k + 1) : k = 0, Âą 1, Âą 2,...ž  {(2l + 1)Ď&#x20AC; : l = 0, Âą 1, Âą 2,...}. 2 Âż ÂŻ É ČşČžČşÉ&#x2018;Čş 4. É&#x2C6;ɍɧɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɧÉ&#x161; ɊɢɪÉ&#x161;ɌɢÉ&#x17E;É&#x161; É&#x; ÉŞÉ&#x161;É&#x153;ɧɨɍɏɪÉ&#x161;ɧÉ&#x;ɧ ɏɪɢɴÉ?ɴɼɧɢɤ. ČżÉ&#x17E;ɢɧ ɨɏ ɨɤɨɼɧɢɏÉ&#x; ÉŞÉ´É&#x203A;ɨÉ&#x153;É&#x; ɧÉ&#x161; ɊɢɪÉ&#x161;ɌɢÉ&#x17E;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; É&#x; ÉŠÉ&#x;ÉŞÉŠÉ&#x;ɧÉ&#x17E;ɢɤɭɼɚɪÉ&#x;ɧ ɧÉ&#x161; ɨɍɧɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɢ É&#x; ÉŤ É&#x17E;ɴɼɠɢɧÉ&#x161; l . ȞɪɭÉ?ɢɏÉ&#x; É&#x17E;É&#x153;É&#x161; ɨɤɨɼɧɢ ÉŞÉ´É&#x203A;É&#x161; ɧÉ&#x161; ɊɢɪÉ&#x161;ɌɢÉ&#x17E;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɍɤɼɸɹÉ&#x153;É&#x161;ÉŹ ÉŤ ɨɍɧɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; É´É?É´ÉĽ Îą . Čź ɊɢɪÉ&#x161;ɌɢÉ&#x17E;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; É&#x; É&#x153;ɊɢɍÉ&#x161;ɧÉ&#x161; ÉŠÉŞÉ&#x161;É&#x153;É&#x161; ɏɪɢɴÉ?ɴɼɧÉ&#x161; ɊɪɢɥɌÉ&#x161; Ɋɨ ÉŤÉĽÉ&#x;É&#x17E;ɧɢɚ ɧÉ&#x161;ɹɢɧ: ɏɪɢ ɧÉ&#x;ɣɧɢ É&#x153;É´ÉŞÉŻÉ&#x161; ÉĽÉ&#x;É É&#x161;ÉŹ ɧÉ&#x161; ɨɤɨɼɧɢɏÉ&#x; ÉŞÉ´É&#x203A;ɨÉ&#x153;É&#x; ɧÉ&#x161; ɊɢɪÉ&#x161;ɌɢÉ&#x17E;É&#x161;ÉŹÉ&#x161;, É&#x161; É&#x17E;ÉŞÉ­É?ɢɏÉ&#x; ɏɪɢ â&#x20AC;&#x201C; ɧÉ&#x161; ɨɍɧɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɧÉ&#x161; ɊɢɪÉ&#x161;ɌɢÉ&#x17E;É&#x161;ÉŹÉ&#x161;. ȞɢÉ&#x161;É?ɨɧÉ&#x161;ÉĽÉ´ÉŹ ɧÉ&#x161; ɨɤɨɼɧÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161; ÉŤÉŹÉ&#x;ɧÉ&#x161; ɧÉ&#x161; ɊɪɢɥɌÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɍɤɼɸɹÉ&#x153;É&#x161; ÉŤ ÉŞÉ&#x161;É&#x153;ɧɢɧÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɧÉ&#x161; ɨɍɧɨÉ&#x153;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; É´É?É´ÉĽ β . ČžÉ&#x161; ÉŤÉ&#x; ɧÉ&#x161;ÉŚÉ&#x;ɪɢ É&#x153;ɢɍɨɹɢɧÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161; ɧÉ&#x161; ɊɪɢɥɌÉ&#x161;ÉŹÉ&#x161;.


Ɋȿɒȿɇɂȿ: M

R

Q

C

ȕ A

Į P

B

Ɉɤɨɥɧɢɹɬ ɪɴɛ ɆȺ ɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɟɧ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɬɚ Ⱥȼɋ (ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɟ), ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ ɨɤɨɥɧɢɬɟ ɫɬɟɧɢ ɆȺȼ ɢ MAɋ ɫɚ ɟɞɧɚɤɜɢ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɰɢ. Ɉɤɨɥɧɢɬɟ ɪɴɛɨɜɟ Ɇȼ ɢ Ɇɋ ɫɤɥɸɱɜɚɬ ɫ ɪɚɜɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɬɚ ɴɝɴɥ Į, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬ ∠ ȺȼM = ∠ ȺɋM= Į. ɋɟɱɟɧɢɟɬɨ ɧɚ ɜɩɢɫɚɧɚɬɚ ɩɪɢɡɦɚ ɫ ɨɤɨɥɧɚɬɚ ɫɬɟɧɚ ȺȼɆ ɟ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢɤɴɬ ȺPQR, ɱɢɣɬɨ ɞɢɚɝɨɧɚɥ AQ ɫɤɥɸɱɜɚ ɫ ɪɚɜɧɢɧɚɬɚ Ⱥȼɋ ɴɝɴɥ β , ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬ ∠ ȼȺQ= β .

ɇɟɤɚ AR=h. Ɉɬ ɩɨɞɨɛɢɟɬɨ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɰɢɬɟ ABM ɢ RQM ɫɥɟɞɜɚ h l l − h RQ ; RQ = ; AB = . = l AB tgβ tgα h h tgα h tgβ cos α. sin β cos α. sin β ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ 1 − = ⋅ Ÿ = = , ɬ.ɟ. h = l . l l tgβ l tgα + tgβ sin(α + β) sin(α + β)

Profile for stoyan bordjukov

2007.14.05 МИННО - ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. ИВАН РИЛСКИ" София  

2007.14.05 МИННО - ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. ИВАН РИЛСКИ" София  

Profile for bgmath
Advertisement