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Distribuciones de Probabilidad Jimmy SĂĄnchez Ochoa JosĂŠ Luis Cadmen Rivera Berny Andrade Arturo


驴Que es distribuci贸n de probabilidades?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

SON DISTRIBUCIONES TEORICAS Y SE USAN PARA REPRESENTAR POBLACIONES


Tipos de distribuci贸n de probabilidades DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

BINOMIAL

UNIFORME

BINOMIAL ACUMULADA

EXPONENCIAL

HIPERGEOMETRICA NORMAL DE POISSON

APROXIMACION A BINOMIAL Y POISSON

DETERMINACION DEL VALOR X

NORMAL ESTANDARIZADA


Variables Aleatorias VARIABLE ALEATORIA Es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.-

Es importante distinguir entre una variable aleatoria y los valores posibles que puede tomar

La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que toma, con minúscula.Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))


Variables Aleatorias Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un criterio o regla para darle un valor numérico.Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes: 1.- Nivel primario 3.- Nivel técnico 5.- Otros estudios

2.- Nivel secundario 4.- Nivel Universitario 0.- Sin estudios.-

Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria en estudio.

DISCRETAS LAS VARIABLES ALEATORIAS, PUEDEN SER

CONTINUAS


Variables Aleatorias Una variable aleatoria discreta es aquella que puede asumir una cantidad numerables de valores.EJEMPLOS:

1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.4.- Cantidad de alumnos de una escuela.5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.10.- Etc.-


Variables Aleatorias Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir una cantidad innumerable de valores dentro de ciertos l铆mites.EJEMPLOS: 1.- Peso de las personas.2.- Velocidad de un auto.3.- Horas de demora en cumplir una tarea.4.- Puntajes de un test.5.- Sueldo de los empleados.6.- Variaci贸n de precio de las acciones ordinarias de IBM en un mes.7.- Cantidad de petr贸leo importado en un mes.8.- Etc.-


Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados numéricos de un experimento aleatorio con las probabilidades asociadas de cada resultado.Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.- Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x se representa como P

(X =x).-

Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo Definición: consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno Pde(Xlos posibles La función de probabilidad = x), de una resultados.variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x:

se evalúa en

p (xi) = P (X = x)

todos los posibles valores de x.-

donde la función


Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad también se la conoce como función de cuantía.-

Veamos un ejemplo: Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5 automóviles.Supongamos además, que el experimento consiste en seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos la variable aleatoria de interés como X = número de automóviles vendidos en un día.Si presentamos la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria será:


Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas X

fi

P (X = x)

0

54

0,18

1

117

0,39

2

72

0,24

3

42

0,14

4

12

0,04

5

3 300

0,01

Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que una vez conocida esa distribución es fácil determinar la probabilidad de varios eventos que pueden interesar a quien toma decisiones.Por ejemplo, si consultamos la tabla observamos que la cantidad más probable de autos que se venden en 1 día es del 39 %.-

1,000

También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se vendan 3 o 4 automóviles en un día y así sucesivamente, esta información es muy útil para quien toma decisiones sobre las ventas de automóviles.-


Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:

p (xi) ≥ 0 ∑ p (xi) = 1 Si queremos mostrar gráficamente la distribución de probabilidad de ventas de autos será: P (x)

0,20 0,10

Ventas de auto por día 0

1

2

3

4

5


Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas La

F

Función de Probabilidad Acumulada,

que simbolizamos con

(x), de una variable aleatoria X representa la probabilidad de que tome un valor inferior a x, es decir:

X

F(x) = P (X ≤ x) = ∑ p (x ) i

X≤x

Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores posibles de son menores o iguales a x.-

X que

En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.-

P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) = =

0,18 + 0,39

= 0,57  57%


Uso del valor esperado en la toma de decisiones El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es:

E (x) = µ = ∑ X

fi

P (X = x)

x * p (x) 0

xi * p (xi)

Es un promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde las ponderaciones, son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.-

0

54

0,18

1

117

0,39

0,39

2

72

0,24

0,48

3

42

0,14

0,42

4

12

0,04

0,16

E (X) = µ = 1,5 automóviles

6

3

0,01

0,05

300

1,000

1,50

La empresa puede esperar, a la larga, la venta de un promedio de 1,5 automóviles por día.-


Ejemplo del valor esperado en la toma de decisiones Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.Las probabilidades asignadas son:

X

-0,20

-0,10

0,0

+0,10

+0,20

p (x)

0,10

0,20

0,40

0,20

0,10

Y

-0,20

-0,10

0,0

+0,10

+0,20

p (y)

0,01

0,04

0,10

0,50

0,35

Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le parece a usted que representa la mejor inversión?.-


Ejemplo del valor esperado en la toma de decisiones

El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán: X

p (x)

x * P (x)

x² * p (x)

-0,20

0,10

- 0,02

0,004

-0,10

0,20

- 0,02

0,002

0,00

0,40

0,00

0,000

+0,10

0,20

0.02

0,002

+0,20

0,10

0,02

0,004

0,00

0,012

E (X) = 0,0

σ² =0,012

σ = 0,11


Ejemplo del valor esperado en la toma de decisiones

Para el proyecto Y, será: Y

p (y)

y * P (y)

y² * p (y)

- 0,20

0,01

- 0,002

0,0004

- 0,10

0,04

- 0,004

0.0004

0,00

0,10

0,0

+ 0,10

0,50

0,050

0,005

+ 0,20

0,35

0,070

0,014

0,114

0,0198

E (X) = 0,114

σ² =

0,0068

0,0

σ = 0,082


Conclusiones del problema El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.Observando las desviaciones estándar, la distribución de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X están de alguna manera dispersas entre todos los valores posibles.Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto mayor es la variancia.En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más alto y un riego menor.-


Tipos de distribuci贸n de probabilidades DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

BINOMIAL

UNIFORME

BINOMIAL ACUMULADA

EXPONENCIAL

HIPERGEOMETRICA NORMAL DE POISSON

APROXIMACION A BINOMIAL Y POISSON

DETERMINACION DEL VALOR X

NORMAL ESTANDARIZADA


Gracias


Jimmy Sรกnchez Ochoa

Distribucion de probabilidades  

ELABORADO POR BERNY ANDRADE, JIMMY SANCHEZ, JOSE LUIS CADMEN

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