Issuu on Google+

Tartalomjegyzék 1. Fizikai alapismeretek 1.1. Mértékegységek 1.2. A mértékegységek átváltása 1.3. A statika helye a mechanikában 1.3.1. A testekre ható erők 1.3.2. Erőrendszerek, eredő, egyensúly 1.3.3. A forgatónyomaték 1.3.4 A nyomás és a húzás 1.4. A munka és az energia 1.5. Teljesítmény és hatásfok

5 5 6 7 8 10 10 14 15 16

2. A statika alaptételei 22 2.1. A mechanika alaptételei 22 2.1.1. Az általános tömegvonzás törvénye 22 2.1.2. Newton i. Törvénye (tehetetlenség) 22 2.1.3. Newton ii. Törvénye (gyorsulás) 23 2.1.4. Newton iii. Törvénye (hatás-ellenhatás) 23 2.2. A statika axiómái (alaptételei) 23 2.3. Három erő egyensúlya 24 2.4. Közös metszéspontú, síkbeli erők eredője 25 2.5. Két párhuzamos erő eredője 25 2.6. Vektorsokszög, kötélsokszög 27 2.6.1. Nem közös metszéspontú erők eredője 27 2.6.2. Eredőszerkesztés kötélsokszöggel 28 2.7. Az erő vetülete, felbontása számítással 29 2.8. Az erő nyomatéka a sík egy pontjára 31 2.9. Az eredő erő meghatározása számítással 33 2.9.1. Általános erőrendszer eredője 33 2.9.2. Általános erőrendszer eredője 34 2.10. Általános erőrendszer egyensúlya 34 2.11. Általános erőrendszer és erőpárok redukálása a sík tetszőleges pontjára 35 3. Statikai egyensúly és kényszerek 3.1. Az egyensúly 3.1.1. Egyensúlyozás erővel 3.1.2. Egyensúlyozás egy erőpárral 3.1.3. Egyensúlyozás adott ponton átmenő erővel és erőpárral 3.1.4. Egyensúlyozás adott hatásvonalú erővel és adott ponton átmenő erővel 3.1.5. Egyensúlyozás három adott hatásvonalú erővel 3.2. Merev testek elmozdulása 3.3. Statikai kényszerek 3.3.1. Elsőfokú kényszerek 3.3.2. Másodfokú kényszerek 3.3.3. Harmadfokú kényszerek

43 43 43 46 46 47 49 50 51 52 53 53

4. Tartók csoportosításaegyszerű tartók 60 4.1. A szerkezetek és tartók fogalma 60 4.2. Tartók csoportosítása 61 4.3. Az egyszerű tartók 63 4.4. Statikai és kinematikai határozatlanság 64 4.5. Egyszerű tartók reakcióerőinek 65 meghatározása számítással 4.6. Egyszerű tartó reakcióerőinek szerkesztése 72 4.7. A megoszló terhelés 73 5. Összetett tartók 5.1. A csuklós többtámaszú tartók 5.2. Háromcsuklós tartók

85 86 93

6. Rácsos tartók 6.1. Síkbeli rácsos tartók 6.2. Rácsos tartók a valóságban 6.3. Rácsos tartók típusai 6.4. Rácsos tartó erőjátéka 6.5. Csomóponti módszer 6.6. Hármas átmetszés módszere

104 104 105 105 106 106 112

7. Igénybevételi ábrák 124 7.1. Az igénybevételek 124 7.1.1. Húzó-nyomó igénybevételek (normálerő, normális erő) 125 7.1.2. Nyíró igénybevétel (nyíróerő) 125 7.1.3. Hajlító igénybevétel (hajlító nyomaték) 125 7.2. Az igénybevételi ábrák (belsőerő ábrák) 126 7.3. Egyszerű terhelésű kéttámaszú tartók igénybevételi ábrái 126 7.3.1. Középen koncentrált erővel terhelt tartó 126 7.3.2. Szimmetrikusan, két koncentrált erővel terhelt tartó 128 7.3.3. Szimmetrikusan, három koncentrált erővel terhelt tartó 129 7.3.4. Egyenletesen megoszló erővel terhelt tartó 131 7.3.5. Egyenletesen megoszló erővel terhelt tartó 132 7.3.6. Koncentrált nyomatékkal terhelt tartó 134 7.4. Konzolok (befogott tartók) igénybevételi ábrái 135 7.4.1. A szabad végén koncentrált erővel terhelt konzol 136 7.4.2. Egyenletesen megoszló erővel terhelt konzol 136


7.5. Összefüggések az igénybevételi ábrák között 7.6. Vegyes terhelésű kéttámaszú tartók 7.7. Vegyes terhelésű konzoltartók 7.8. Túlnyúló kéttámaszú tartók 7.9. Ferde tengelyű tartók 7.10. Tört tengelyű tartók belső erő ábrái 7.11. Összetett tartók igénybevételi ábrái

138 144 159 165 178 185 192

8. Súlypont és inercianyomaték 8.1. A súlypont fogalma 8.2. Egyszerű síkidomok súlypontja 8.3. Összetett síkidomok súlypontja

200 200 201 201

8.3.1. Súlypont szerkesztése 8.3.2. Súlypont számítása 8.4. Statikai nyomaték 8.5. Síkidomok másodrendű nyomatéka és a származtatott mennyiségek 8.5.1. Fő inercianyomaték, főtengely 8.5.2. Összetett síkidomok tehetetlenségi nyomatéka 8.5.3. Főinercia meghatározása Mohr-féle körrel 8.5.4. Az inerciasugár 8.5.5. Keresztmetszeti tényező 8.6. Keresztmetszetek belső magja

Irodalomjegyzék Dr. Németh Ferenc: Statika Panem Kft., Budapest 1996. Dr. Cholnoky Tibor: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. Dr. Kaliszky Sándor - Kurutzné Dr. Kovács Márta - Dr. Szilágyi György: Mechanika II. Tankönyvkiadó, Budapest 1990. Steger - Sieghart - Glaininger: Statika, súrlódás, szilárdságtan B+V Lap és Könyvkiadó Kft., Budapest 1993. Dr. Bárczi István - Bán Tivadarné: Szilárdságtan I. Műszaki Könyvkiadó, Budapest 2002.

202 202 203 209 209 214 218 218 220 221


6

1. fizikai alapismeretek

Az alapegységekből származtatunk önálló nevű mértékegységeket, ezek a következők. 1.3. táblázat. Származtatott mennyiségek és mértékegységeik

Mennyiség

Egység neve

Egység jele

SI-ben megadva

frekvencia

hertz

Hz

s-1

erő

newton

N

m · kg · s-2

nyomás

pascal

Pa

N · m-2

munka, energia, hő

joule

J

N·m

teljesítmény

watt

W

J · s-1

elektromos töltés

coulomb

C

A·s

elektromos feszültség

volt

V

W · A-1

kapacitás

farad

F

A · s · V-1

ellenállás

ohm

V · A-1

elektromos vezetés

siemens

S

A · V-1

mágneses fluxus

weber

Wb

V·s

induktivitás

henry

H

V · s · A-1

mágneses indukció

tesla

T

Wb · m-2

fényáram

lumen

lm

cd · sr

megvilágítás

lux

lx

lm · m-2

1.2. A mértékegységek átváltása A különböző fizikai mennyiségek mértékegységekkel történő leírásakor sokszor találkozhatunk azzal a problémával, hogy nagyságrendi eltérések adódnak két szám között. Ilyenkor általában nehéz eldönteni, melyik szám a kisebb vagy nagyobb, illetve a későbbi számítás megkönnyítéséhez célszerűen át kell váltanunk a számokat. A mértékegységek különböző nagyságrendjeinek megkülönböztetéséhez előtétszavakat használunk. Természetes, hogy a betonba kerülő adalékszer mennyiségét grammban adjuk meg, míg a teherhordó szerkezetek tömegét kilogrammban, vagy tonnában. Ha esetleg össze akarjuk őket hasonlítani, akkor valamelyiket a másik nagyságrendjébe kell átváltani. 1.4. táblázat. Nagyságrendi előtétszavak

Előtétszó

Jele

Szorzó

tera

T

1 000 000 000 000

1012

giga

G

1 000 000 000

109

mega

M

1 000 000

106

kilo

k

1 000

103

hekto

h

100

102

deka

da

10

101

deci

d

0,1

10 -1

centi

c

0,01

10 -2

mili

m

0,001

10 -3

mikro

μ

0,000 001

10 -6

nano

n

0,000 000 001

10-9


24

2. a statika alaptételei

Az eredő nagysága és iránya a két erő által alkotott paralelogramma átlójaként szerkeszthető meg (2.5. ábra). Matematikailag a két erő eredője a két erő vektori összege, vagyis: R = F1 + F2. Az R eredő vektort paralelogrammával és vektorháromszöggel is megszerkeszthetjük két erő esetén. Ezt úgy tehetjük meg, hogy egy tetszőleges A pontba felmérjük az F1 erő vektorát, irány és nagyság szerint, majd a végpontjához illesztjük az F2 erőt, nyílfolytonosan, irány és nagyság szerint. Az eredő erő R vektora ekkor az A pontból a végpontba mutató vektor lesz (2.6. ábra). Ez a vektor tulajdonképpen a háromszög harmadik oldala, innen ered az elnevezés is. Amennyiben az A kezdőpontba először az F2 erőt, majd az F1 erőt mérjük fel irány és nagyság szerint nyílfolytonosan, akkor ugyanarra a végeredményre jutunk (2.6. ábra). Az eredő R erő iránya, nagysága megegyezik az előző esetben kapottal, vagyis a vektori összegzés során mindegy az erők sorrendje, a végeredmény egyezik majd.

2.5. ábra. Két erő helyettesítése eredő erővel

2.6. ábra. Vektorháromszögek szerkesztése

A statika III. axiómája szerint valamely merev testre működő erőrendszer hatása nem változik, ha ahhoz egyensúlyban lévő erőrendszert adunk, vagy elveszünk. Erre látunk példát a 2.7. ábrán, ahol a gerendára ható F erőt az A és B erők ellensúlyozzák, az S1; -S1 erőrendszertől függetlenül. Szilárd (tehát nem merev) testekre a III. axióma csak módosítva igaz. Eszerint egy szilárd testre ható, egyensúlyban lévő erőrendszerhez hozzáadhatunk, elvehetünk egyensúlyban lévő erőrendszert, az egyensúly megzavarása nélkül. Az előző megfogalmazáshoz képest lényeges különbség, hogy merev testek esetén az eredeti erőrendszernek nem szükséges egyensúlyban lennie.

2.7. ábra. Egyensúlyban lévő erőrendszer hozzáadása meglévő erőrendszerhez

A statika IV. axiómája szerint ha két test egymásra hatást gyakorol, akkor az erők páronként jelentkeznek, és egymás ellentettjei (2.8. ábra). Vagyis ez az axióma megegyezik a hatás-ellenhatás törvényével és mint ott is megjegyeztük, az erő-ellenerő nem ugyanarra a testre hat, hanem az egyik az egyikre, a másik a másikra.

2.8. ábra. Páronként jelentkező, egymással ellentett erők


46

3. statikai egyensúly és kényszerek

3.1.2. Egyensúlyozás egy erőpárral Amennyiben az eredeti erőrendszer eredője nem egy erő, hanem egy erőpár (MR), akkor a rendszer csak ennek az ellentettjével egyensúlyozható, azaz MQ ≡ -MR erőpárral (3.6. ábra). 3.1.3. Egyensúlyozás adott ponton átmenő erővel és erőpárral A legáltalánosabb esetben egy erőrendszer egy adott pontra úgy redukálható, hogy eredőként egy erőt és egy erőpárt kapunk: (F1, F2, ... , M1, M2, ...) ≡ (R K, MK). Az előzőek alapján nyilvánvaló, hogy az egyensúly akkor állhat fenn, ha ennek az eredőnek az ellentettjét működtetjük a rendszeren (3.7. ábra): (F1, F2, ... , M1, M2, ..., -R K, -MK) ≡ 0. Geometriailag a Q egyensúlyozó erő vektorát (Q ≡ -R K) a vektorsokszög záró oldala adja, nyílfolytonossággal. Számítás során a vetületi egyenletek összegzéséből kapjuk Qx -et és Qy -t. Az MQ ≡ -MK nyomatékot a nyomatéki egyenletek felírásával határozhatjuk meg. 3.2. Példa. Számítással hozzuk az O pontban egyensúlyba a 3.8. ábrán látható erőrendszert! O ponton átmenő egyensúlyozó erő vetületei: Qx = -(3 kN - 1 kN) = -2 kN (←) Q y = -(-2 kN) = 2 kN (↓). Az erőrendszer nyomatéka az O pontra: MO = 2 kN × 4 m + 1 kN × 4 m + + 3 kN × 2 m = 18 kNm ( ). Az ellensúlyozó nyomaték ennek az ellentettje: MO’ = -18 kN ( ). 3.3. Példa. Számítással hozzuk az A pontban egyensúlyba a 3.9. ábrán látható erőrendszert! A ponton átmenő egyensúlyozó erő vetületei: Qx = -(-1,5 kN - 2,6 kN) = 4,1 kN (→) Qy = -(-0,9 kN + 3,5 kN) = -2,6 kN (↑). Az erőrendszer nyomatéka az A pontra: MA = -1,5 kN × 7 m - 2,6 kN × 4 m + + 3,5 kN × 5 m + 0,9 kN × 4 m + + 3,2 kNm = 3,4 kNm ( ). Az ellensúlyozó nyomaték ennek az ellentettje: MA’ = -3,4 kN ( ).

3.6. ábra. Egyensúlyozás egy erőpárral

3.7. ábra. Egyensúlyozás erővel és erőpárral

3.8. ábra. Erőrendszer, valamint egyensúlíozó erők, nyomatékok

3.9. ábra. Erőrendszer, valamint egyensúlíozó erők, nyomatékok


61

4. tartók csoportosítása, egyszerű tartók

4.2. Tartók csoportosítása A tartószerkezeteket az erőtani modelljük alapján három fő csoportba sorolhatjuk. A rúdszerkezetek (4.3. ábra) olyan testekből állnak, melynek keresztirányú méretei a hosszmérethez viszonyítva igen kicsik. Közös jellemzőjük, hogy a terheket kis keresztmetszeteken továbbítják, így a megfelelő teherbíráshoz rendszerint merevítésekre, kiegészítő szerkezetekre van szükség. Az egyszerűbbek síkbeli szerkezetek, ilyenkor a testek tengelyvonalára, valamint az erők hatásvonalára egy képzeletbeli sík illeszthető. A térbeli rúdszerkezeteknél a rudak és erők elhelyezkedése általános. A rúdszerkezeteket osztályozhatjuk a tartó tengelyvonala szerint. Megkülönböztetünk egyenes, törtvonalú, illetve íves tartókat (4.4. ábra). A gyakorlatban előforduló tartók ezekre, illetve kombinációikra egyszerűsíthetőek le. A rúdszerkezetek másik lehetséges csoportosítás a keresztmetszet szerinti (tömör, üreges, zárt, nyitott, szimmetrikus, aszimmetrikus). Az adott csoporton belül is lehetnek egyszerűbb és bonyolultabb, esetleg hossz mentén változó keresztmetszetek. A keresztmetszet kialakítása függ az anyagtól is, betonból általában tömör, acélból például gerinclemezes tartókat 4.3. ábra. Rúdszerkezetek készítünk, kedvező anyagfelhasználás/szilárdságtani tulajdonságok miatt (4.5. ábra). Fából hazánkban elsősorban tömör keresztmetszetek készülnek, de üzemi körülmények között speciális keresztmetszetek is kialakíthatók. A rudakból álló keresztmetszetekkel, a rácsos tartókkal külön fejezetben foglalkozunk.

4.4. ábra. Íves vonlú tartó

4.5. ábra. Különböző keresztmetszetű tartók

A felületszerkezetek (4.6. ábra) a saját súlyukat és az átadódó terheket a felület teherbírását kihasználva továbbítják. Építésük anyagtakarékos, számításuk, megépítésük azonban sokszor komoly szaktudást követel. Gondoljunk itt például egy íves vasbeton szerkezetre, amelynek vasalása, zsaluzása nehézségekbe ütközhet. Az egyszerűbb felületszerkezeteket azonban gazdaságosak és elterjedtek, ilyenek a fal-, és födémszerkezetek is.

4.6. ábra. Felületszerkezet


90

5. össztett tartók

Az Ax reakciókomponens egyenlő az F2 erő vízszintes komponensével, hiszen más külső vízszintes erő nem hat a tartóra:

(A főrészre felírt függőleges vetületi egyenlettel ellenőrizhetjük a kapott eredményeket.)

5.3. Példa. A harmadik mintafeladatot tovább bonyolítottuk. Most már nem egy, hanem két befüggesztett részünk van, az egyik bal oldalról, a másik jobb oldalról kapcsolódik az 5.7. ábrán láthatóan. Először elkülönítjük a tartórészeket és megoldjuk azokat. Utolsó lépésként a főrész reakcióit határozzuk meg. 1. lépés. A bal oldali tartórészen az Ay reakcióerőt úgy kapjuk meg, hogy felírunk egy nyomatéki egyenletet a 5.7. ábra B pontra.

A B pontnál keletkező vízszintes és függőleges reakciókomponenst megkaphatjuk két vetületi egyenletből:


105

6. Rácsos tartók

Függőleges szerkezeti elemek közül szokás összekötő rúdnak is nevezni azokat a szerkezeti elemeket, amelyek csak helyi jelentőségűek. Eltávolításuk esetén a tartó merev marad (6.4. ábra). 6.2. Rácsos tartók a valóságban A hétköznapok során számtalanszor találkozunk rácsos tartókkal, vezetékoszlopoknál, hidaknál, tetőszerkezeteknél, merevítő elemeknél. Ha megfigyeljük bármely megépült szerkezetet, akkor láthatjuk, hogy nincsenek beépítve csuklók, a rudakat a végeiken összeépítik, csavarozzák, hegesztik. A csomópontoknál mégis csuklós kapcsolatot tételezünk fel, mert ez a valósághoz igen közel áll és így a vizsgálat sokkal egyszerűbb. A rácsos tartók anyaga elsősorban acél, illetve más fém. A mai építős gyakorlat elterjedten alkalmazza továbbá a fa rácsos tartókat, elsősorban tetőszerkezeteknél, nagy fesztávolságú csarnokoknál. A fa szerkezeti elemek közti kapcsolat legtöbbször szeglemezes kialakítású. Acél rácsos tartók esetén a hegesztett kapcsolatok a kivitelezés nehézségei, a nem megfelelő minőség, továbbá a későbbi felújítás nehézségei miatt háttérbe kerültek. (Az ipar üzemi körülmények között, megfelelő gépesítés mellett jó minőségű varratot tud készíteni.) Ezért a kapcsolatok csavarozott, azaz oldható kialakításúak. Rácsos tartót betonból, vasbetonból ritkán készítenek, elsősorban a kapcsolat kialakításának nehézségei miatt. A 6.5. ábrán néhány megvalósult tartó fotóit mutatjuk be, melyeken látható, hogy a tartók jelentős része nem síkbeli, hanem térbeli kialakítású, azaz 3 irányú kiterjedése van. A térbeli tartókkal a több ismeretlen, a nehezebb számíthatóság miatt középiskolai tanulmányunk alatt nem foglalkozunk.

6.5. ábra. Rácsos tartók

6.3. Rácsos tartók típusai A 6.6. ábrán a kéttámaszú rácsos tartók legfőbb típusait mutatjuk be, megjegyezve, hogy legtöbből többtámaszú, Gerber- és egyéb összetett tartók is kialakíthatók. A bemutatott tartók statikailag határozottak, kivéve a kétszeres rácsozásút. 6.6. ábra. Rácsos tartó típusok


125

7. igénybevételi ábrák

A keresztmetszeti eredőt mindenképpen a keresztmetszet súlypontjába kell redukálnunk, ekkor kapjuk meg az igénybevételeket, melyek egyenértékűek a K ponttól balra levő erőrendszerrel. Azaz egy tartó tetszőleges K keresztmetszetében az igénybevételek a balra levő tartórészre ható erők eredőjének a keresztmetszet síkjába eső és rá merőleges összetevőiből, valamint a keresztmetszet súlypontjára vonatkozó nyomatékból állnak. 7.1.1. Húzó-nyomó igénybevételek (normálerő, normális erő) A tartó tengelyével párhuzamosan, a keresztmetszetre merőlegesen működő belső erőt normálerőnek nevezzük. A normálerő úgynevezett normális igénybevételt okoz a keresztmetszetben, melyet NK-val jelölünk. A tartó tetszőleges K keresztmetszetében kétféleképpen kaphatjuk meg a nagyságát, vagy a keresztmetszetről balra lévő, a tartó tengelyével párhuzamos erőket összegezzük, vagy a jobbra lévő összegzett erők ellentettjét vesszük. A normálerő akkor pozitív, ha a keresztmetszettől kifele mutat, azaz húzóerő. A normálerő akkor negatív, ha a keresztmetszet felé mutat, azaz nyomóerő (7.2/a. ábra). 7.1.2. Nyíró igénybevétel (nyíróerő) A tartó tengelyére merőlegesen, a keresztmetszettel párhuzamosan működő erőt nyíróerőnek nevezzük. A nyíróerő nyíró igénybevételt okoz a keresztmetszetben, amelyet TK-val jelölünk. A tartó tetszőleges K keresztmetszetében kétféleképpen kaphatjuk meg a nagyságát, vagy a keresztmetszetről balra lévő, a tartó tengelyére merőleges erőket összegezzük, vagy a jobbra lévő összegzett erők ellentettjét vesszük. A nyíróerő akkor pozitív, ha iránya megegyezik a pozitív normálerő, tartó síkjában 90°-kal (óramutató járásával azonos elforgatott irányával (7.2/b. ábra). 7.1.3. Hajlító igénybevétel (hajlító nyomaték) A tartó adott keresztmetszetének súlypontjára ható, a tartó síkjában működő erőpárt hajlítónyomaték-nak nevezzük.

7.2.ábra. A normálerő, a nyíróerő és a hajlítónyomaték értelmezése a K keresztmetszetben átvágott tartónál


201

8. súlypont és inercianyomaték meghatározása

8.4. ábra. Egyszerű síkidomok súlypontjának helye

8.2. Egyszerű síkidomok súlypontja Nevezzük a továbbiakban azokat a síkidomokat egyszerűnek, amelyeknek legalább két szimmetriatengelyük, azaz súlyvonaluk van. Ilyenkor a szimmetriatengelyek metszéspontja adja a súlypontot; ezt láthatjuk a 8.4. ábrán a négyszög, téglalap, kör, rombusz, paralelogramma, deltoid, ötszög, stb. esetében. Természetesen a felrajzoltakon kívül is lehetnek egyszerű alakzatok. A 8.4. ábra utolsó eleme a háromszög. A háromszögek legtöbbször nem is szimmetrikusak, a súlyvonalakat a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenesek adják. Matematikából ismert tétel, hogy a háromszög súlypontja a magasságvonalat 1/3 – 2/3 arányban osztja. 8.3. Összetett síkidomok súlypontja Összetett síkidomok súlypontjának megkeresése nehezebb feladat. Ilyenkor az adott alakzatot olyan egyszerű síkidomokra bontjuk szét, amelyek súlypontját ismerjük, vagy könnyen meg tudjuk határozni (8.5. ábra). Ez történhet szerkesztéssel, illetve számítással is, pontos megoldás azonban csak számítással lehetséges. A súlypont meghatározásához segítségünkre lehetnek a különböző statikusok számára készített számítógépes programok, amelyek nemcsak az előre definiált elemtár keresztmetszeti adatait tartalmazzák, de egy tetszőlegesen berajzolt keresztmetszet súlypontjának helyét is megadják.

8.5. ábra. Összetett síkidomok felbontása egyszerű idomokra


Statika