Issuu on Google+

Tartalomjegyzék I. Halmazok .......................................... 9

1. Törd a fejed!............................................... 9 2. A halmaz fogalma..................................... 12 Gyakorlófeladatok ................................... 14 3. Részhalmaz, halmazok közös része (metszete), halmazok egyesítettje (uniója)................. 15 Gyakorlófeladatok.................................... 18 4. Számhalmazok......................................... 20 4.1. Tízes számrendszer, számegyenes.......20 4.2. Természetes számok.............................21 4.3. Egész számok........................................21 4.4. Racionális számok.................................22 4.5. Valós számok.........................................23 4.6. Számok írása, olvasása.........................23 4.7. Számok kerekítése................................24

Gyakorlófeladatok.................................... 25

6. Műveletek hatványokkal........................... 53 Gyakorlófeladatok.................................... 55 7. A négyzetgyökvonás művelete................ 56 Gyakorlófeladatok.................................... 58

III. A mérés .......................................... 59

1. Összehasonlítás méréssel....................... 59 Gyakorlófeladatok.................................... 61 2. A hosszúság és a tömeg mérése............. 62

2.1. A hosszúság mérése.............................62 2.2. A tömeg mérése....................................63

3. Az idő és a hőmérséklet mérése............. 64 3.1. Az idő mérése........................................64 3.2. Hőmérséklet mérése.............................65

4. A terület mérése....................................... 66 5. A térfogat és űrtartalom mérése.............. 68 5.1. Térfogat mérése....................................68 5.2. Az űrtartalom mérése............................69

II. Műveletek racionális számokkal. ..... 27

Gyakorlófeladatok.................................... 70

1.1. Az összeadás művelete.........................27 1.2. A szorzás művelete................................28 1.3. A hatványozás művelete........................29 1.4. A kivonás művelete................................30 1.5. Az osztás művelete................................31

IV. Arány, arányosság, százalékszámítás. ............................ 73

1. Műveletek egész számokkal.................... 27

Gyakorlófeladatok.................................... 33 2. Műveletek sorrendje................................. 35 Gyakorlófeladatok.................................... 37 3. Számológép használata........................... 38 3.1. Műveletek elvégzése számológéppel...40

Gyakorlófeladatok.................................... 41 4. Műveletek törtekkel.................................. 42 4.1. Törtek értelmezése................................42 4.2. Törtek egyszerűsítése és bővítése........43

Gyakorlófeladatok.................................... 44 4.3. Törtek összeadása és kivonása............45 4.4. Törtek szorzása és osztása egész számmal....................................45 4.5. Törtek szorzása és osztása törttel.........45 4.6. Törtek hatványozása..............................45

Gyakorlófeladatok.................................... 47 5. Műveletek tizedes törtekkel..................... 50 5.1. Tizedes tört értelmezése.......................50 5.2. Műveletek tizedes törtekkel...................50

Gyakorlófeladatok.................................... 52

1. Arány, aránypár, arányos osztás.............. 73 Gyakorlófeladatok.................................... 79 2. Egyenes arányosság................................ 80 Gyakorlófeladatok.................................... 82 3. Fordított arányosság................................ 84 Gyakorlófeladatok.................................... 87 4. Százalékszámítás..................................... 88 Gyakorlófeladatok.................................... 91 5. Százalékszámítás alkalmazása a mindennapokban.................................. 93 Gyakorlófeladatok.................................... 97

V. Grafikonok, diagramok, mindennapok statisztikája................. 99

1. A koordináta-rendszer.............................. 99 Gyakorlófeladatok.................................. 102 2. Mennyiségek közötti összefüggések ábrázolása grafikonnal........................... 103 Gyakorlófeladatok.................................. 106 3. Az egyenes és a fordított arányosság grafikonja................................................ 109 Gyakorlófeladatok...................................112

7


4. Mindennapok statisztikája.......................114

4.1. Statisztikai adatok ábrázolása............. 114 4.2. Adatok jellemzése................................ 117

Gyakorlófeladatok...................................118

VI. Algebrai kifejezések, egyenletek....119

1. Algebrai kifejezések................................119 2. Műveletek algebrai kifejezésekkel......... 122 2.1. Algebrai kifejezések összevonása......122 2.2. Algebrai kifejezések szorzása.............123 2.3. Algebrai kifejezések osztása...............123

Gyakorlófeladatok.................................. 124 3. Elsőfokú egyenletek............................... 126 Gyakorlófeladatok.................................. 129 4. Szöveges feladatok megoldása következtetéssel vagy elsőfokú egyenlettel. 126 Gyakorlófeladatok.................................. 134 5. Képletek használata............................... 136 Gyakorlófeladatok.................................. 137

VII. geometriai ismeretek. ................... 139 1. Alapvető geometriai fogalmak............... 139 1.1. Térelemek kölcsönös helyzete............139 1.2. Térelemek távolsága............................140

2. A szögek..................................................141 3. Szerkesztések......................................... 142

3.1. Szakasz felezése..................................142 3.2. Szög felezése.......................................142 3.3. Merőleges szerkesztése egyenes adott pontjában...................................142 3.4. Merőleges szerkesztése egyenesre külső pontból.......................................142 3.5. Adott egyenessel párhuzamos egyenes szerkesztése.........................143 3.6. Szakasz egyenlő részekre osztása.....143

Gyakorlófeladatok.................................. 144 4. Háromszögek......................................... 146 4.1. Összefüggések a háromszögben.......146 4.2. Háromszögek csoportosítása.............149 Oldalak szerinti csoportosítás.............149 Szögek szerinti csoportosítás.............149

8

4.3. Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai.................................150 4.4. Háromszögek területe.........................150 Gyakorlófeladatok................................152 4.5. Derékszögű háromszögek..................154 Thalész-tétel.........................................154 Pitagorasz-tétel....................................155

Gyakorlófeladatok.................................. 156 5. Négyszögek............................................ 158 5.1. Speciális négyszögek..........................158

Gyakorlófeladatok.................................. 162 6. Sokszögek, kör....................................... 164 Gyakorlófeladatok.................................. 166 7. Terület és kerületszámítás a mindennapokban................................ 167 Gyakorlófeladatok.................................. 169 8. Egyszerű testek.......................................171 8.1. Hasábok...............................................171 8.2. Henger.................................................172 8.3. Gúla......................................................173 8.4. Kúp.......................................................173 8.5. Gömb................................................... 174

9. Testek felszínének és térfogatának kiszámítása............................................. 175 Gyakorlófeladatok.................................. 177 10. Képletgyűjtemény................................. 180

VIII. Hányféleképpen? Valószínű? Kérem a következőt!.....................181

1. Hányféleképpen..................................... 181 Gyakorlófeladatok.................................. 184 2. Valószínűségi kísérletek......................... 186 Gyakorlófeladatok.................................. 188 3. Események valószínűségének kiszámítása............................................. 189 Gyakorlófeladatok.................................. 190 4. Kérem a következőt!............................... 192 Gyakorlófeladatok.................................. 194 5. Számtani sorozatok................................ 195 Gyakorlófeladatok.................................. 197 6. Mértani sorozatok................................... 198 Gyakorlófeladatok.................................. 200


HALMAZOK

I. FEJEZET

2. A HALMAZ FOGALMA A halmaz, az elem és a halmaz eleme alapfogalom a matematikában. Ez azt jelenti, hogy nem tudunk megadni pontos értelmezést, ezért csak körülírjuk vagy szemléltetjük: A halmaz szót bizonyos dolgok összességére, csoportjára szoktuk használni (1 – 2. ábra). A csoportban levő elemeket dolgoknak vagy tagoknak is mondhatjuk, az eleme szó helyett pedig használhatjuk a beletartozik kifejezést. A halmazokat általában nyomtatott nagy betűkkel jelöljük: A, B, C. Az egy halmazhoz tartozó elemeket kapcsos zárójelbe írjuk: A = { x; y; z } azt jelenti, hogy az A halmaz az x, y, z elemekből áll.

(1. ábra) 200-nál kisebb prímszámok 2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

A halmazban egy elemet csak egyszer sorolunk fel, viszont a sorrendjük tetszőleges lehet. Egy halmazt többféleképpen is meg lehet adni: 1) Felsoroljuk az elemeket, ha ez lehetséges, vagy megadunk minimum annyi elemet, hogy abból egyértelműen következtetni lehessen a többi tagra. Például: A = { 2; 3; 5; 7 } B = { Baranya; Tolna; Zala  … } C = { 0; 1; 2; 3; …} D = { 3; 6; 9; 12; …; 99 } 2) Megadjuk a halmaz elemeire jellemző egyértelmű tulajdonságot vagy utasítást. Például: A =  { Egyjegyű prímszámok } B = { Magyarország megyéi } C = { Természetes számok } D = { 100-nál kisebb 3-mal osztható természetes számok } Baranya Bács-Kiskun Békés Borsod-Abaúj-Zemplén Csongrád Fejér Győr-Moson-Sopron Hajdú-Bihar Heves Jász-Nagykun-Szolnok Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Tolna Vas Veszprém Zala

12


HALMAZOK

I. FEJEZET

A halmazokat Venn-diagrammal, azaz halmazábrával szemléltethetjük. Például:

(2. ábra)

A halmazok elemeinek számát tekintve a halmaz véges vagy végtelen lehet. Például: A = { Az év hónapjai } Véges halmazok: B = { Magyarország városai } C = { Kétjegyű páratlan számok } Végtelen halmazok: A = { Racionális számok } B = { Az egyenesen lévő pontok } Üres halmaznak mondjuk azt a halmazt, amelyiknek nincsen eleme. Jele: { }, vagy Ø. Például: A = { 27 napos hónapok } Ha két halmaznak ugyanazok az elemei, akkor a két halmaz egyenlő. Például:

A = { 2; 4; 6; 8 } és B = { Egyjegyű pozitív páros számok }. Ekkor A = B, mivel B = { 2; 4; 6; 8 }

Napok száma a hónapokban Hónap

Napok száma

január

31

február

28/29

március

31

április

30

május

31

június

30

július

31

augusztus

31

szeptember

30

október

31

november

30

december

31

13


MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL

II. FEJEZET

1. Mintapélda Végezzük el a következő műveleteket ügyesen fejszámolással! a) 24 + 267 + 76 + 9 + 33; b) 569 · 45 + 55 · 569; c) 8 · (–25) · 9; d) 145 – 56 + 24 + 58 – 102 – 9 + 43 – 2; e) 358 + 595; f) 347 – 295; g) 347 + 348 + 349 + 350 + 351 + 352 + 353; h) 540 · 25; i) 360 : 24. Megoldás a) Vegyük észre, hogy célszerű a következő módon csoportosítani a tagokat: (24 + 76) + (267 + 33) + 9 = 100 + 300 + 9 = 409. b) Az összeg minkét tagjának az egyik tényezője az 569, így alkalmazhatjuk a széttagolási tulajdonságot: 569 · 45 + 55 · 569 = 569 · (45 + 55 ) = 569 · 100 = 56 900. c) Az egyik tényező előjele negatív, így a szorzat is negatív lesz. Célszerű 8-at 4 · 2 szorzat alakba felírni, ekkor csoportosítva a tényezőket: 8 · (–25) · 9= –(4 · 25)(2 · 9) = –100 · 18 = –1800. d) Célszerű úgy dolgozni, hogy külön összeadjuk a pozitív és külön a negatív számokat, majd a két eredményt kivonjuk egymásból, ügyelve a sorrendre: 145 + 24 + 58 + 43 =  270, 56 + 102 + 9 + 2 = 169. Így az eredmény 270 – 169 = 101. e) Észrevehetjük, hogy az összeg egyik tagja csak 5-tel kisebb 600-nál. Ezért adjuk hozzá a 358-hoz a 600-at, majd vonjuk ki az 5-öt: 358 + 595 = 358 + 600 – 5 = 958 – 5 = 953. f) Az előzőekhez hasonlóan a különbség egyik tagja csak 5-tel kisebb, mint 300. Ezért vonjunk ki 347-ből 300-at, majd mivel 5-tel többet vontunk ki, adjunk hozzá 5-öt: 347 – 295 = 347 – 300 + 5 = 47 + 5 = 52. g) Mivel 7 db egymást követő egész számot kell összeadnunk, célszerű a következő átalakítást elvégezni: 347 + 348 + 349 + 350 + 351 + 352 + 353 = 350 – 3 + 350 – 2 + 350 – 1 + 350 + + 350 + 1 + 350 + 2 + 350 + 3 = 7 · 350+ (3 – 2 – 1 + 1 + 2 + 3) = 7 · 350 = 2450. h) Mivel 25 · 4 = 100, így 540 · 25 = (540 : 4) · (25 · 4) = 135 · 100 = 13 500. i) Mivel 360 : 24 = 360 : (6 · 4) = (360 : 6) : 4 = 60 : 4 = 15.

32


II. FEJEZET

MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL

GYAKORLÓFELADATOK  1.  a) c) e) g) i)

Adjuk meg az eredményt fejszámolással! Hogyan célszerű számolni? 42 + 54 + 38 + 11 + 16; b) 145 + 37 + 29 + 55 + 201; 67 · 76 + 67 · 24; d) 345 · 654+654 · 655; 2758 + 600;  f) 567 + 433; 2 · 14 · 5; h) 4 · 67 · 25; 5 · 541 · 20; j) 125 · 19 · 8.

 2.  a) c) e) g)

Végezzük el írásban a következő műveleteket! 5234 + 825; b) 2356 + 2013 + 431; 10 765 + 4387 + 34 644; d) 34 · 7; 5684 · 9; f) 474 · 13; 845 · 46; h) 149 · 527.

 3.  a) b) c) d)

Számítsuk ki a következő összegeket ügyesen! Mit veszünk észre? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;  101 + 102 + 103 + 104 + 105 + 106 + 107 + 108 + 109; 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40; 267 + 268 + 269 + 270 + 271 + 272 + 273.

 4.  Soroljuk fel a 3-nak, a 4-nek illetve az 5-nek az első öt pozitív egész hatványának értékét!  5.  Számítsuk ki a következő hatványok értékeit! a) 25; b) –25; c) (–2)5; d) 33; e) –33; f) (–3)3; g) –(–3)3; h) (–3)0; i) (–2013)0; j) (–10)6; 9 k) (–10) ; l) –(π)0.  6.  a) c) e) g)

Végezzük el a műveleteket fejszámolással! 145 – 31 + 67 – 89 – 17 + 74 + 15; b) 817 + 4053; d) 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31; f) 22 400 : 400; h)

2516 + 495; 2013 – 495; 444 · 25; 540 : 36.

33


A MÉRÉS

III. FEJEZET

2. Mintapélda

3,2+6,5=9,7 C

542–125=417 A 92=81

Megoldás

60

B


III. FEJEZET

A MÉRÉS

A mérések során sokszor nem tudjuk meghatározni a pontos értéket, de az is lehet, hogy nincs rá szükség. Ekkor közelítő értékekkel számolunk. A közelítő érték megadásánál, illetve a kerekítésnél mindig meg kell állapodnunk abban, hogy milyen pontossággal számoljunk (2. ábra). Például megadhatjuk a mérés pontosságát a tizedes jegyek számával. Ha a gerenda hossza körülbelül 3 m, akkor az eltérés legfeljebb 0,5 m lehet. Ha a hossza körülbelül 3,0 m, akkor az eltérés már csak 0,5 dm lehet és így tovább. Kerekíteni csak a szabályok alapján lehet. Kerekítésnél a pontosság szerinti helyi érték utáni számjegyeket a megadott elv alapján elhagyjuk. A számokat kerekíthetjük „felfelé”, illetve „lefelé”, erről mindig az első elhagyott számjegy dönt. Ha az a számjegy 5 vagy annál nagyobb, akkor az utolsó megtartott számjegyet 1-gyel megnöveljük, ha pedig az elhagyott legnagyobb helyi értékű szám 5-nél kisebb, akkor az utolsó megtartott számjegyet változatlanul hagyjuk.

(2. ábra)

GYAKORLÓFELADATOK  1.  2008 március 1-től már nem lehet 1 és 2 forintos aprópénzekkel fizetni. Nézzünk utána, hogy a törvény milyen kerekítési szabályt ír elő!  2.  Ha 1 hüvelyk, azaz 1 col körülbelül 2,54 cm, akkor mekkora annak a csőnek a belső átmérője, amelyikre azt is mondhatjuk, hogy 3 colos?  3.  a) c) e)

Milyen mértékegységet választanál, ha meg kellene mérned, hogy mennyi folyadékot iszol meg egy nap; b) idő van hátra a születésnapodig; sonkát veszel a boltban; d) ideig írtad a házi feladatot matematikából; a szobád területe; f) Győr–Kecskemét távolsága?

 4.  Megmértünk egy távolságot, és azt kaptuk, hogy 2 km 651 m 3 dm 5 cm. Add meg a km-ben magadott távolságot tizedes tört alakban, majd kerekítsd kilométer, méter, deciméter, illetve centiméter pontosságra. Tudjuk, hogy 1 km az 1000 m.  5.  Egy épület alapozási munkálatai során a kitűzésnél a két pont közötti távolságot pontosan 327,53 dm-ben adták meg. A mérőszalaggal hány métert, decimétert és centimétert kell kimérned? 61


ARÁNY, ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

IV. FEJEZET

1 részét jelenti, ezt 100 pedig úgy kaphatjuk meg, ha a számot elosztjuk 100-zal.

Egy szám (vagy mennyiség) 1 %-a a szám

20 részét jelenti, 100 azt pedig úgy kapjuk meg, hogy a számot elosztjuk 100-zal, majd ezt megszorozzuk 20-szal, vagy a számot szorozzuk 0,20 századdal.

Egy szám (vagy mennyiség) 20 %-a a szám

Ha egy a számnak p %-a egy e értékkel egyenlő, akkor az a számot százalékalapnak, a p számot százaléklábnak és a kapott e eredményt százalékértéknek nevezzük. százalékláb

p a⋅ =e 100  

százalékalap

2% 7%

5,1% 10% (7. ábra)

90

százalékérték

A százalékértéket a százalékalap törtrészeként kapjuk meg. A százalékértéket úgy is kiszámíthatjuk, hogy a százalékalapot megszorozzuk a százalékláb század részével, azaz: p . e = a⋅ 100

A százalékláb megmutatja, hogy a százalékérték hány század része a százalékalapnak (7. ábra). A százaléklábat úgy is kiszámíthatjuk, hogy a százalékérték és a százalékalap hányadosát megszorozzuk 100-zal. e p = ⋅ 100 . a

Ha adott a százalékérték és a százalékláb, akkor az százaléklapot úgy is megkaphatjuk, ha a százalékérték százszorosát elosztjuk a százaléklábbal, vagy a százalékértéket elosztjuk a százalékláb századrészével: e ⋅ 100 p a= vagy a = e : . p 100


ARÁNY, ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

IV. FEJEZET

GYAKORLÓFELADATOK  1.  Fejezzük ki a következő törtrészeket százalékalakban! 3 1 rész; b) rész; a) 4 5 c)

9 13 rész; d) rész. 12 10

 2.  Hány százaléka egy szám: 3 8 részének a része; a) 4 3 c) 1,2 részének a

5 része; 6

e) 70 %-ának a 130 %-a;

b)

2 9 részének a része; 3 10

d) 25 %-ának a 15 %-a; f)

142 %-ának a 220 %-a?

 3.  a) b) c) d)

Határozzuk meg: 320 kg 1 %-át, 10 %-át; 24 %-át; 20 %-át; 45 %-át! 1 %-át; 12 %-át; 85 %-át; 110 %-át; 135 %-át! 3500 Ft 42,56 m 1 %-át; 5 %-át; 68 %-át; 121,5 %-át; 340 %-át! 1 %-át; 15 %-át; 47 %-át; 80 %-át; 104 %-át! 65 l

 4.  a) c) e)

Hány százaléka: 12 a 48-nak; 26 a 312-nek; 7 a 35-nek;

b) 48 a 12-nek; d) 226 a 80-nak; f) 48 a 3-nak?

 5.  Hány százaléka: a) 80 dl-nek az 5 l; c) 12 dm2 -nek az 540 cm2;

d) 80 dkg-nak a 2,1 kg?

 6.  a) c) e)

b) 10 %-a 42; d) 72 %-a 720; f) 156 % -a 3900?

Melyik az a szám, amelynek: 1 %-a 8; 50 %-a 120; 85 %-a 170;

b) 2,3 km-nek a 2530 m;

 7.  Mennyi lesz az ára a 2400 Ft-os pólónak, ha az árát a) felemelik 5%-kal; 12%-kal; 30 %-kal? 20 %-kal; 45%-kal? b) leszállítják 4%-kal;

91


GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, STATISZTIKA

Keressünk az interneten minél több statisztikai diagramot, majd jellemezzük őket!

V. FEJEZET

4. MINDENNAPOK STATISZTIKÁJA A statisztika különböző szempontok szerinti adatok összegyűjtésével, azok rendszerezésével és elemzésével foglalkozik. Statisztikai számításokkal a tudomány számos területén és a mindennapi életben is gyakran találkozhatunk. Például az időjárás előrejelzése, a termelési folyamatok elemzése, a lakosság nyilvántartása, a kereskedelem, az oktatás, az egészségügy, de akár a gyógyszerkutatás is elképzelhetetlen lenne statisztikai folyamatok nélkül.

4.1. Statisztikai adatok ábrázolása A statisztikai elemzéshez összegyűjtött adatokat az egyszerűbb kezelhetőség érdekében célszerű táblázatba foglalni.

(4. ábra)

Az adatokat különböző diagramokkal szemléltethetjük (4 –5. ábra). Ilyenek például a vonaldiagram, az oszlopdiagram, a sávdiagram és a kördiagram. Célszerű azt a diagramot választani, amelyik a legtöbb információt nyújtja az adatokról.

Keressük meg az interneten a KSH (Központi Statisztikai Hivatal) honlapján található interaktív korfát! Nézzük meg a 20 és 40 évvel ezelőtti adatokat! Hasonlítsuk össze azokat! (5. ábra)

114

http://www.ksh.hu/interaktiv/korfak/terulet.html


V. FEJEZET

GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, STATISZTIKA

1. Mintapélda A 17 fős osztály 50 pontos matematika dolgozatának pontszámai a javítás sorrendjében az alábbiak szerint alakultak: 15; 34; 10; 28; 49; 38; 30; 21; 28; 50; 37; 35; 26; 15; 20; 3; 29. A jegyeket a következő szerint állapította meg a tanár: 0 – 12 pont: elégtelen; 12 – 24 pont: elégséges; 25 – 34 pont: közepes; 35 – 41 pont: jó és 42 – 50 pont: jeles. a) Készítsünk gyakoriság táblázatot a kapott érdemjegyek alapján! b) Szemléltessük többféleképpen az osztályzatok megoszlását! Megoldás a) A gyakoriság táblázat olyan táblázat, melynek első oszlopában az összegyűjtött adatok szerepelnek, lehetőleg növekvő vagy csökkenő sorrendben, a második oszlopában pedig az egyes adatok előfordulásának száma látható. A feltételek alapján a pontszámokhoz érdemjegyeket rendelünk, majd gyakoriság táblázatban összesítjük őket.

Érdemjegy

Tanulók száma

1

2

2

4

3

6

4

3

5

2

b) A vonaldiagramot és az oszlopdiagramot koordináta-rendszerben ábrázoljuk. A vízszintes tengelyen jelöljük az érdemjegyeket, a függőleges tengelyen pedig a gyakoriságot. Fontos jelezni, hogy melyik tengely milyen adatokat szemléltet. Oszlopdiagram esetén a kapott érdemjegyek fölé megfelelő magasságú oszlopokat rajzolunk. Vonaldiagram esetén pontokat ábrázolunk, majd összekötjük őket egy törött vonallal. (A pontokat összekötő szakaszoknak nincs matematikai jelentése, azok a növekedést, illetve a csökkenést szemléltetik.)

115


ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK Az általános iskolában már több összefüggéssel, képlettel találkoztatok. Például: – a négyzet kerületét megadó képlet: K = 4a; – a téglalap területét magadó képlet: T = ab; – a derékszögű háromszög a és b befogója és c átfogója közötti összefüggés: a 2 + b2 = c 2.

VI. FEJEZET

A matematikában sokszor keresünk valamilyen összefüggést az adatok között. Ezen összefüggések általánosításához betűkre van szükségünk. Ha a négy alapműveletet (összeadást, kivonást, szorzást és osztást) számokra vagy betűkre véges sokszor alkalmazzuk, akkor algebrai kifejezést kapunk. Például:

7 · x + 1;

x · y;

(2 · a – 3 · b) : 5

stb.

Az algebrai kifejezésben szerepelő betűket változóknak vagy ismeretleneknek nevezzük. A betűkhöz szorzással kapcsolódó számok az együtthatók (1. ábra). Általában az együttható és a változó közé a szorzás jelét nem szoktuk kiírni. Például: 4 · a = 4a; 5 · (x – 2) = 5(x – 2). Ha az együttható 1, azt nem szoktuk kiírni, ha pedig –1, akkor csak a "–" előjelet használjuk. Például: 1 · x = x; –1 · z = –z.

(1. ábra)

Az algebrai kifejezésekben a változók helyére mindig egy megadott számhalmaz, azaz alaphalmaz elemeit helyettesíthetjük, amelyekkel a különböző műveleteket elvégezve megkapjuk az algebrai kifejezés helyettesítési értékét. Például: ha a = 5, akkor 4 · a = 4 · 5 = 20; ha x = –3, akkor 5 · (x – 2) = 5(–3 – 2) = 5 · (–5) = –25. Azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek legfeljebb az együtthatójukban különböznek egymástól, egynemű algebrai kifejezéseknek nevezzük (2. ábra). Egyneműek például a következő algebrai kifejezések: xy2;

3xy2;

–y2 x;

x · 5y2;

y2 x 2

stb.

Nem egyneműek, azaz különneműek a következő algebrai kifejezések: 0,3xy2; –xy; 2x3 stb.

120


ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

VI. FEJEZET

Egytagú algebrai kifejezésről akkor beszélünk, ha a kifejezésben a betűket, illetve a számokat csak a szorzás, illetve az osztás műveletével kapcsoljuk össze. Például: 4 k stb. 4x; –0,2ab2; xyz; 4 5 Többtagú algebrai kifejezések: 2 3a + 4b; − x 2 + 5; 3

algebrai kifejezések

egytagú egynemű

x + 4y – z

többtagú

nem egynemű

stb.

(2. ábra)

2. Mintapélda Határozzuk meg a megadott algebrai kifejezések helyettesítési értékét, ha x = 3; y = –2! 5y + 4 x a) 4x – y; b) (y – 4 )(x + 1)2; c) . 2 Megoldás A megfelelő betűk helyére behelyettesítjük a számokat, majd elvégezzük a műveleteket, ügyelve azok sorrendjére: a) 4x – y = 4 · 3 – (–2) = 12 + 2= 14; b) (y – 4)(x + 1)2 = (–2 – 4)(3 + 1)2 = –6 · 42 = –6 · 16 = –96; c)

5 y + 4 x 5 ⋅ ( −2) + 4 ⋅ 3 −10 + 12 2 = = = = 1. 2 2 2 2

3. Mintapélda Egy falazat hosszának meghatározásánál a következő képletet kell alkalmazni: h = a · n + (n – 1) · v. A képletben h a falazat hossza, az n a falazóelemek darabszáma, v a habarcsréteg vastagsága, a pedig a falazóelem figyelembe vehető hosszmérete. Határozzuk meg annak a falnak a hosszát, amelynél a = 25 cm; n =43 és v = 1 cm! Megoldás Mivel a képletet ismerjük, így nincs más dolgunk, mint a megfelelő betűk helyére behelyettesíteni a megadott értékeket: h = a · n + (n – 1) · v = 25 · 43 + (43 – 1) · 1 =   = 1075 + 42 · 1 = 1075 + 42 = 1117 cm.

121


GEOMETRIAI ISMERETEK

VII. FEJEZET

‒‒ Két sík metszi egymást, ha pontosan egy közös egyenesük, azaz metszésvonaluk van (7. ábra). ‒‒ Két sík párhuzamos, ha nincsen közös pontjuk, vagy ha illeszkednek egymásra (7. ábra). ‒‒ Egy egyenes metszi a síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van. ‒‒ Egy egyenes párhuzamos a síkkal, ha nincsen közös pontjuk, vagy ha illeszkedik a síkra (8. ábra).

1.2. Térelemek távolsága ‒‒ Két pont távolságán a pontokat összekötő szakasz hosszát értjük (9. ábra). ‒‒ Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesig húzott merőleges szakasz hosszát értjük (9. ábra). ‒‒ Két alakzat távolságán az alakzatok pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebbet értjük.

(7. ábra)

(8. ábra)

(9. ábra)

1. Mintapélda Egy egyenes országút jobb oldalán 23 jegenyefa áll egymástól 6 m távolságra, a bal oldalán pedig 136 m-en át 8 méterenként állnak a jegenyefák. Milyen hosszú a jobb oldali fasor? Hány fából áll a bal oldali fasor? Megoldás Ha 23 jegenyefa áll a jobb oldalon, akkor a fasor hossza 22 · 6 = 132 m. Hiszen a sor első fájától kiindulva 6 méterenként már csak 22 fa található. A bal oldali fasor hossza 136 m, és 8 m-enként állnak a fák, ekkor ez első fát követően még 136 : 8 = 17 db fa áll. Azaz a bal oldalon 17 + 1 = 18 jegenyefa áll. 140


VII. FEJEZET

GEOMETRIAI ISMERETEK

2. A SZÖGEK A sík egy adott pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja, melyeket szögtartománynak vagy szögnek nevezzük. Az adott pont a szög csúcsa, a félegyenesek pedig a szög szárai. A szögeket általában görög kisbetűkkel (α, β, γ, …) jelöljük (10. ábra). Ha a szög két szára egymás meghosszabbítása, akkor a kapott szöget egyenesszögnek nevezzük. (10. ábra)

A szögmérés egyik egysége az 1°, ami az egyenesszög 180-ad része. Az 1°-os szög 60-ad része az 1 szögperc. Jele: 1’. Az 1’-es szög 60-ad része pedig az 1 szögmásodperc. Jele: 1’’. A szögfajtákat mutatja be a 11. ábra.

(11. ábra)

1. Mintapélda Egy téglalap alakú lemezt az oldalán lévő a pontból kiinduló vágásokkal 4 részre szeretnénk vágni úgy, hogy a vágással keletkező szögek közül háromnak az aránya 2 : 5 : 7, a negyedik szög nagysága pedig 26° legyen. Hány fokosak a levágott szögek? Megoldás Az egyenesszöget kell négy részre felosztanunk. Mivel az egyik szög nagysága 26°, így a 180 – 26 = 154° fokos szöget kell az adott arányban felosztani. Az arányszámok összege: 2 + 5 + 7 =  14, ezért 154°-ot felosztjuk 14 egyenlő részre, így egy rész 154 : 14 =  11°. Ekkor a szögek nagysága 2 · 11 = 22°; 5 · 11 =  55°; 7 · 11 = 77°. Mivel a szögek összege 22° + 55° + 77° + 26° = 180°, így jól oldottuk meg a feladatot. 141


HÁNYFÉLEKÉPPEN? VALÓSZÍNŰ-E? KÉREM A KÖVETKEZŐT!

VIII. FEJEZET

2. VALÓSZÍNŰSÉGI KÍSÉRLETEK A valószínűség-számítás olyan tudomány, amely kialakulását a szerencsejátékoknak köszönheti (2. ábra). Kezdetekben a szerencsejátékokhoz fűződő valószínűségek, várható események és nyeremények kiszámításával foglalkozott. Napjainkban igen széles körben a gyakorlati alkalmazzák. Erre mutatunk néhány példát. (2. ábra)

1. Mintapélda a) Laci elvégzett egy kísérletet. Feldobott egy szabályos dobókockát 50-szer egymás után, és lejegyezte a kapott értékeket. Végezzük el mi is a kísérletet! Mit tapasztalunk? b) Határozzuk meg, hogy a második dobássorozatban a dobások hányadrésze lett 1, 2, 3, 4, 5 illetve 6? c) Határozzuk meg a második dobássorozat alapján annak a gyakoriságát, hogy: ‒‒ a dobott érték nem kisebb 4-nél; ‒‒ a dobott érték nagyobb 6-nál; ‒‒ a dobott érték kisebb 7-nél! Megoldás a) Foglaljuk táblázatba a kapott értékeket! Laci dobássorozata: A dobott számok

1

2

3

4

5

6

Laci dobásai

11

9

2

10

10

8

Mi dobásaink

8

7

13

9

5

8

Ha a kocka szabályos, akkor egyforma eséllyel dobhatjuk ki a számokat. Ez azonban nem azt jelenti, hogy mindegyik számot ugyanannyiszor fogjuk dobni, hiszen az, hogy melyik szám kerül felülre, a véletlenen múlik. b) A táblázat második sorának adatait figyelve: 8 50 dobásból 8-szor dobtunk 1-est, ezért a dobások része lett 1-es. Hasonló gon50 13 5 7 dolatmenettel adódik, hogy a dobások része 2-es, része 3-as, része 5-ös 50 50 50 8 illetve része 6-os. 50 c) Meg kell néznünk, hány esetben dobtunk 4-et, 5-öt, illetve 6-ot. Ez összesen 9 + 5 + 8 = 22. Annak a gyakorisága, hogy a dobott pontszám nem kisebb 4-nél, 22.

Akárhányszor dobjuk fel a kockát, a dobott érték soha nem lesz nagyobb 6-nál, ezért ez az esemény lehetetlen. A gyakorisága 0.

Mivel a dobott érték minden esetben kisebb, mint 7, így ez az esemény minden dobásnál biztosan bekövetkezett, vagyis a gyakorisága 50.

186


VIII. FEJEZET

HÁNYFÉLEKÉPPEN? VALÓSZÍNŰ-E? KÉREM A KÖVETKEZŐT!

A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségek, azaz valószínűségi kísérletek megfigyelésével és vizsgálatával foglalkozik. A feladatban elvégezett kísérlet akárhányszor megismételhető, véges számú különböző kimenetele lehetséges, és csak a véletlenen múlik a kapott eredmény. Az ilyen kísérleteket véletlen tömegjelenségeknek nevezzük. A kockafeldobás kísérletének hatféle konkrét kimenetele lehetséges. Ezek a lehetséges kimenetelek az elemi események (3. ábra). A kísérlet során minden elemi esemény ugyanakkora eséllyel következhet be. Az egyes elemi események előfordulásának számát a dobott értékek gyakoriságának nevezzük. Ha a gyakoriságok számát elosztjuk az összes dobás számával, akkor a kapott értéket a dobás relatív gyakoriságának nevezzük. Eseményeknek nevezzük a kísérlet azon lehetséges kimeneteleit, amelyekről egyértelműen el lehet dönteni, hogy a kísérlet során be fognak-e következni, vagy sem. Ha egy kísérlet során egy esemény semmiképpen sem valósulhat meg, akkor azt lehetetlen eseménynek nevezzük.

(3. ábra)

Például kockadobás esetén lehetetlen esemény az, hogy 7-est dobunk. Ha egy kísérlet során egy esemény mindenképpen bekövetkezik, akkor azt biztos eseménynek nevezzük. Például kockadobásnál biztos az az esemény, hogy 7-nél kisebb számot dobunk.

Dobjunk fel egyszerre két dobókockát 50-szer, és figyeljük meg, hogy a lehetséges összegek hányszor fordultak elő! (Az összeg 2-től 12-ig terjedhet). A kísérlet elvégzése előtt becsüljük meg az egyes gyakoriságokat, majd foglaljuk táblázatba a kapott eredményeket! Mit tapasztalunk? Mi lehet ennek a magyarázata? Fogalmazzunk meg a kísérlettel kapcsolatos olyan eseményeket, amelyek biztosan bekövetkeznek, illetve lehetetlenek! Dobjunk fel két pénzérmét 50-szer egymás után! Figyeljük meg, hogy hányszor dobtunk két fejet, két írást és egy fejet egy írást. Mit tapasztalunk? Határozzuk meg az egyes esetekben a relatív gyakoriságot! Feldobunk négy egyforma korongot, melynek egyik oldala piros, a másik kék. Soroljuk fel az összes lehetséges kimenetelt! A következő játékot ketten játszhatjuk, 5 db tízforintossal és egy dobókockával. Egyikünk az 5 érmét, a másikunk a kockát dobja fel. Az érméknél azt figyeljük meg, hogy hány esetben dobunk 2 írást, a kockánál pedig azt, hogy hányszor dobunk kettest. Az nyer, aki 100 dobásból többször dob kettest valamelyik módon. Te melyiket választanád, a kockát vagy az érméket?

187


Matematika szakiskolasoknak