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TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios Título Actividad: Nombre Asignatura: Semana Nº:

Función Exponencial Algebra 11

Sigla Actividad Nº

10

Lugar

MAT200 Sala de clases

APRENDIZAJES ESPERADOS: Aprendizaje 1

Identifica los coeficientes característicos de la función exponencial.

Aprendizaje 2

Grafica de la función exponencial como herramienta de modelamiento de problemas. Resuelve problemas relativos al cálculo de imágenes y pre imágenes de la función exponencial.

Aprendizaje 3

FUNCION EXPONENCIAL Las funciones exponenciales son graficas que nos muestran el crecimiento o decrecimiento del comportamiento de un objeto o situación.

La forma

f ( x)  T  a

x

con

a 1

Donde

a

= número real positivo, llamado base

x

= exponente

T

= número real, distinto de cero

El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.

Caso Especial Cuando a  e , donde e es el numero irracional ( e  2,7182818284.... ), se tiene la función

x

f ( x)  e , llamada Función Exponencial de base e

Octubre 2012 / Programa de Matemática.

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I.

A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL RESPONDA.

1. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de una ciudad sureña de nuestro país será de P(t )  0,65  e

0, 034t

millones de habitantes

a) ¿Cuál es la población actual? b) ¿Cuál será la población en 12 años más ? 2. Una empresa determina que los costos de producción de x artículos se modela por la expresión C ( x)  1,45  e

0, 005x

 125 donde C está en miles de pesos.

a) ¿Cuáles son los costos fijos de producción? b) ¿Cuáles son los costos de producir 100 artículos? 3. Investigaciones médicas recientes dicen que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación:

R  6  e2,81x donde x es la concentración de alcohol en la sangre (gramos x mil) a)

Según las investigaciones. ¿Qué porcentaje de riesgo tiene un conductor que tiene cero concentración de alcohol en la sangre? b) Un conductor con una concentración de 0,6 ¿Qué porcentaje de riesgo tendrá de tener un accidente?

4.

El porcentaje T de jefes de familia que poseían televisor, t años después que se introdujo en cierto país, estaba dado por el modelo:

T  100  100  e0,11t

a) ¿Inicialmente, ¿qué porcentaje de jefes de familia tenían televisor? b) ¿Y después de 5 años?

5. En 1980 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones y ha ido creciendo a una razón de 0.7 % por año. La población N(t) , t años más tarde, se podría aproximar mediante el modelo N (t )  227  e Si continuara este patrón de crecimiento,

0, 007t

en millones de habitantes.

a) ¿Cuál fue la población de Estados Unidos en el año 2000? b) ¿Y en el año 2007? 6.

Una cierta cantidad de ciervos de 1 año de edad se introduce en una zona de caza. El número N(t) de los que aún queden vivos, después de t años, se predice que es

N (t )  100  0,9t a) ¿Cuántos ciervos se introdujeron inicialmente? b) Estime el número de ciervos vivos después de 5 años. Octubre 2012 / Programa de Matemática.

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL La grafica de una función exponencial es una curva que depende a

0  a 1

a 1

La grafica intersecta al eje y en 1 cuando x=0

Cuando a  1 , se dice que la función es creciente, crece sin límites. Octubre 2012 / Programa de Matemática.

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DETERMINE LA GRAFICA EXPONENCIAL Y RESPONDA.

CORRESPONDIENTE

A

PARTIR

DEL

MODELO

7. En un laboratorio de biotecnología se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador. Si la población de bacterias comenzó con 100 y se duplica cada tres horas, la función que relaciona la cantidad de bacterias y el tiempo t transcurrido en t 3

horas es f (t )  100  2 . ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

8. El índice de contaminación aumenta a medida que transcurren las horas del día, y está dado por la función I (t )  2,1  e 0, 2  t , donde t son las horas transcurridas a partir de las 6 am. ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

Octubre 2012 / Programa de Matemática.

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9. La ganancia anual otras

G de una empresa, en miles de dólares, debido a los negocios con

entidades,

después

de

x

años

que

se

realiza

este

negocio,

es:

x

1 G  100  60     2  , ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

10. Un taller se dedica a la venta de repuestos mecánicos nuevos y usados. El valor en miles de pesos, de un repuesto está dado por la ecuación: V  60  e

 0, 2  t

V, , donde t

son los años de uso del repuesto, ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

Octubre 2012 / Programa de Matemática.

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11. Un estudio realizado sobre el uso de los artefactos eléctricos, que en la actualidad son esenciales para nuestra vida, arrojó que en el pasado la proporción de familias que los poseían, t años después de salir a venta, se puede representar por la expresión: f (t )  1  e

 0,1 t

¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

12. Una constructora se dedica a la venta de casas nuevas y usadas. El valor V (en millones de pesos) de una casa está dado por la ecuación: V  50  e  0, 25 t , donde t son los años de uso de la casa, ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

Octubre 2012 / Programa de Matemática.

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SOLUCIONES 1. a) 650.000 habitantes

b) 977.500 habitantes aprox.

2. a) $ 126.450

b) $ 127.391 aproximadamente

3. a) 6 %

b) 32,4 %

4. a) 0 %

b) 42,3 %

5. a) 261 millones aprox.

b) 274 millones aprox.

6. a) 100 ciervos

b) 59 ciervos

7. Modelo 3 8. Modelo 1 9. Modelo 3 10. Modelo 2 11. Modelo 1 12. Modelo 1

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