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Matemáticas Pitágoras 4.º ESO / Opción B / Resumen Unidad 2

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Polinomios

1. Expresiones algebraicas y polinomios Una expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras (variables) relacionados entre sí por las operaciones aritméticas. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir en ella las variables por números concretos y realizar las operaciones indicadas.

!

Recuerda la definición de grado de un monomio: Respecto a x

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número real y una o más variables elevadas a exponentes naturales. Un polinomio es la suma de varios monomios. Su grado es el del monomio de mayor grado que contenga.

Ten en cuenta Respecto a y

7 x3y5 Coeficiente

Parte literal

Grado del monomio: 3 + 5 = 8

2. Suma, producto y potencia de polinomios ■

Suma y diferencia de polinomios Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes y se deja indicada la suma o resta de los monomios no semejantes.

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Ten en cuenta

Recuerda: dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal, como 5x2z y −7x2z.

Producto y potencia de polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio del primero por cada uno del segundo y se suman luego los que resulten semejantes. Para hallar la potencia de exponente natural de un polinomio se multiplica el polinomio por sí mismo tantas veces como indica el exponente.

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Ten en cuenta

El producto de polinomios cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Por tanto, si varios términos comparten variables, se puede extraer un monomio como factor común.

3. Identidades notables Cuadrado de una suma

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Cuadrado de una diferencia

(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab

Suma por diferencia

(a + b)(a − b) = a2 − b2

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4. División de polinomios Dividir un polinomio D(x) entre otro d(x) consiste en encontrar dos polinomios, C(x) y R(x), que cumplan: • D(x) = d(x) · C(x) + R(x), es decir,

D( x ) R( x ) = C( x ) + d( x ) d( x )

• Grado(R(x)) < Grado(d(x)) Si el resto de la división es 0, la división se llama exacta y se dice que: • El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x). • El polinomio d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x).

5. Regla de Ruffini (2x3 − 10x + 3) : (x − 2) 1.º Se anotan los coeficientes del dividendo en la fila superior. Si falta un término, se completa con 0. A la izquierda se coloca el valor a. Se baja el primer coeficiente.

2 2

0

−10

0

−10

3

0 −10 +

3

3

2 2.º Se multiplica el valor de a por el primer coeficiente bajado, y el resultado se escribe debajo del segundo coeficiente.

2 2

4 2

3.º Se suma el segundo coeficiente con el valor anotado debajo, y se escribe el resultado en la línea inferior (0 + 4 = 4).

2 2

4.º Se repiten los pasos 2 y 3 hasta completar la fila inferior.

4 2

4

2

0

2

El valor de la derecha es el resto (−1), y los valores a su izquierda son los coeficientes del cociente (2x2 + 4x − 2).

4 2

4

2

0

2

4 2

Cociente: 2x2 + 4x − 2

!

4

8

−10 +

3

8 −4 −2 −10

3 +

8 −4 −2 −1 ↓

Resto: −1

Ten en cuenta

• La regla de Ruffini también sirve si el divisor es de la forma x + a. Basta con escribir x − (−a). • El resto siempre es un número, ya que el grado del resto debe ser menor que el del divisor, que es 1.

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6. Teoremas del resto y del factor Teorema del resto. El resto R de la división de un polinomio P(x) entre x − a es igual al valor numérico del polinomio en x = a, es decir, R = P(a). Teorema del factor. Si el valor numérico del polinomio P(x) en x = a es 0, entonces P(x) tiene como factor x − a y, por tanto, P(x) puede escribirse de la forma P(x) = (x − a) · C(x).

7. Raíces de un polinomio. Factorización Las raíces de un polinomio P(x) son los valores de x que lo hacen cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x) = 0. ■

Número de raíces de un polinomio Un polinomio de grado n tiene, como máximo, n raíces reales.

!

Ten en cuenta

Si un polinomio tiene dos raíces iguales, se dice que esa es una raíz doble, rd, del polinomio. En ese caso, su expresión factorizada incluye el factor (x − rd)2. Si la raíz aparece tres veces, se llama raíz triple, y así sucesivamente.

Raíces enteras de un polinomio Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, estas son divisores del término independiente.

Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios del menor grado posible cuyo producto sea el polinomio dado. Si un polinomio P(x) de grado n tiene n raíces r1, r2, r3, …, rn, y a es el coeficiente del término de mayor grado, P(x) puede factorizarse como: P(x) = a(x − r1) · (x − r2) · (x − r3) · … · (x − rn) Un polinomio irreducible es aquel que no se puede factorizar. Un polinomio siempre se puede factorizar como producto de binomios de la forma x − ri, donde ri es una raíz del polinomio, y polinomios irreducibles de grado 2.

8. Técnicas de descomposición factorial • Extraer factor común. Cuando haya algún factor común a todos los términos, es conveniente comenzar extrayéndolo. • Utilizar las identidades notables. Antes de aplicar otras técnicas es útil analizar el polinomio para ver si responde a alguna identidad notable que lo simplifique. • Resolver ecuaciones de segundo grado. Si alguno de los factores es un polinomio de grado 2, se puede factorizar utilizando la fórmula de resolución de las ecuaciones de segundo grado. • Buscar raíces enteras. Si lo anterior falla, se pueden buscar raíces enteras entre los divisores del término independiente mediante la regla de Ruffini.

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