Examinemos esta cuestión en nuestro ejemplo. Tenemos que las variables básicas candidatas a salir de la base (es decir, a ser iguales a 0) son X3 , X4, y X5. En el Cuadro 2.2 Se presentan los cálculos para identificar cual es la variable básica saliente. Recordemos que X1 sigue siendo igual a 0. Cuadro 2.2: Cálculos para obtener la variable saliente Variable Básica
Cota Superior Para X2
Ecuación
X3 X4 X5
X 3 = 144 - X1 - 3X2 X 4 = 162 - 3X1 - 2X2 X 5 = 982 - 13X1 - 18X 2
X2 X2 X2
144/3 = 48 mínimo 162/2 = 81 982/18 = 54,6
Como X1 es una variable no-básica, tendremos que X1 = 0 en la segunda columna del Cuadro 2.2. La tercera columna indica las cotas superiores para X2 antes de que la variable básica correspondiente a la primera columna sea negativa. Por ejemplo, X3 = 0 si X2 = 48 (mientras que X3 > 0 si X2 < 48, y X3 < 0 cuando X2 > 48). Como en este caso X3 (la variable de holgura correspondiente a la restricción X1 + 3X2 144) impone la cota negativa más pequeña sobre X2, la variable básica saliente será X3, de manera que en la nueva situación tendremos que X3 = 0 (no-básica) y X2 = 48 (básica), que corresponde al punto extremo B.
Pregunta c): ¿Cómo podemos identificar de manera convincente la nueva solución básica factible? Después de haber identificado las variables entrantes y salientes de la base (incluyendo el valor de la variable básica entrante), necesitamos conocer cual es el valor nuevo del resto de variables básicas. Para poder calcular estos valores, el método Simplex utiliza la forma apropiada de eliminación de Gauss que teníamos en el paso inicial (aquella en la cual cada ecuación tiene únicamente una variable básica con coeficiente +1, y esta variable básica aparece en una única ecuación). Se trata de encontrar la nueva forma apropiada después del cambio de base. Se necesita realizar dos operaciones algebraicas normalmente utilizadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estas operaciones son: 1. Multiplicar (o dividir) una ecuación por una constante diferente de 0. 2. Sumar (o restar) un múltiple de una ecuación con otra ecuación Estas operaciones son legítimas porque implican únicamente: 1) multiplicar cosas iguales (los dos lados de la ecuación) por una constante y 2) sumar cosas iguales con cosas iguales. Por lo tanto, una solución que cumple un sistema de ecuaciones determinado también lo hará después de la transformación. Vamos a ver como funciona en nuestro ejemplo. Consideremos en sistema de ecuaciones originales, en el cual se muestran las variables básicas en negrita. El problema se puede escribir de la forma siguiente:
(0)
Z
-X1
- X2
(1)
X1
+ 3X2
(2)
3X1
+ 2X2
(3)
13X1
+ 18X2
=0 + X3
= 144 + X4
= 162 + X5
38
= 982