Issuu on Google+

in te grals Integral – p. 1


Tenim una funció f (x)

Integral – p. 2


Considerem dos valors concrets de x: x = a i x = b

a

b

Integral – p. 3


L’àrea limitada per la funció i l’eix x, entre els valors x = a i Z b x = b, és f (x)dx a

a

b

Integral – p. 4


Volem trobar una expressió que permeti trobar aquesta àrea.

Integral – p. 5


Considerem l’extrem esquerre a fix, i l’extrem dret variable (l’anomenarem t). Així, l’àrea serà funció del valor de t.

A(t)

a

t

Integral – p. 6


Considerarem dos valors per l’extrem dret: t i t + ∆t

A(t + ∆t)

A(t) a

t

a

t + ∆t

Lògicament, A(t + ∆t) > A(t)

Integral – p. 7


i la seva diferència és

A(t − ∆t) − A(t)

t

t + ∆t

Integral – p. 8


i per tant hi haurà algun valor τ entre t i t + ∆t que faci A(t + ∆t) − A(t) = f (τ ) · ∆t

f (τ )

t

τ t + ∆t

Integral – p. 9


En el cas que els dos valors t i t + ∆t siguin molt propers, és a dir, quan ∆t → 0, tindrem que τ → t, d’on lim A(t + ∆t) − A(t) = lim f (τ ) · ∆t

∆t→0

∆t→0

es pot escriure com lim A(t + ∆t) − A(t) = lim f (t) · ∆t

∆t→0

∆t→0

Integral – p. 10


Aleshores, A(t + ∆t) − A(t) = lim f (t) lim ∆t→0 ∆t→0 ∆t

però com que t no depen de ∆t, el límit de la dreta és irrellevant A(t + ∆t) − A(t) = f (t) lim ∆t→0 ∆t

Integral – p. 11


I el primer membre no és altra cosa que la funció derivada de A: A′ (t) = f (t)

resultat conegut com el teorema fonamental del càlcul.

Integral – p. 12


En resum: la funció A(x) que busquem és aquella que, si la derivem, dóna la funció f (t).

Integral – p. 13


Però amb això hem trobat una propietat de la funció àrea A(x), no la seva expressió.

Integral – p. 14


I hi ha moltes funcions A que si es deriven donen f .

Integral – p. 15


Per exemple, si f (x) = 2x: A(x) x2 + 1 x2 + 2 x2 + 5 x2 − 3 x2 − 7 ... x2 + k

A′ (x) 2x 2x 2x 2x 2x ... 2x

Integral – p. 16


Quina funció, d’aquesta família, és la que ens interessa per a calcular l’àrea?

Integral – p. 17


Sabem que A(b) =

Z

b

f (x)dx, amb A′ = f .

a

Però el que tenim és una funció primitiva F , que no sabem si coincideix amb A, però que segur que difereix d’A només en un terme constant. Per això podem assegurar que F (x) + C = A(x).

Integral – p. 18


Per tant, Z

b

f (x)dx = F (b) + C a

Integral – p. 19


Ara bé, com que

i

Z Z

a

f (x)dx = 0 a

a

f (x)dx = F (a) + C a

aleshores C = −F (a)

Integral – p. 20


Per tant,

Z

b

f (x)dx = F (b) − F (a) a

resultat conegut com regla de Barrow.

Integral – p. 21


La regla de Barrow ens ve a dir que no cal anar a buscar la funció A(x), perquè amb qualsevol funció primitiva F (x) podem trobar l’àrea.

Integral – p. 22


Introduccio a l'integral definida