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Sistemas de control en tiempo discreto

Lugar Geométrico de las raíces

Transformada Z

Método de Jury


Editorial

UNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELA DE COMPUTACIÓN CÁTEDRA: TEORIA DE CONTROL II

En años recientes se ha incrementado el uso de controladores digitales en sistemas de control. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el desempeño óptimo. Por ejemplo en la forma de productividad máxima, beneficio máximo, costo mínimo o la utilización mínima de energía. Recientemente la aplicación de control por computadora ha hecho posible el movimiento “inteligente” en robots industriales, la optimización de economía de combustibles en automóviles y el refinamiento en la operación de enseres y maquinas de uso domestico, tales como hornos microondas y maquinas de coser, entre otros. La capacidad en la toma de decisiones y la flexibilidad en los programas de control son las mayores ventajas de los sistemas de control digital. La tendencia actual de controlar los sistemas dinámicos en forma digital en lugar de forma analógica. Se debe principalmente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo y a las ventajas de trabajar con señales digitales en lugar de señales de tiempo continuo.

Integrantes Amair Pedro Mendoza Nataly Valera Miguel

CABUDARE, EDO LARA


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Índice

Página

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

+ Sistema de control en tiempo discreto

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ESCUELA DE COMPUTACIÓN

+ Objetivos de los sistemas de control

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CÁTEDRA: TEORIA DE CONTROL II

+ Importancia del diseño de sistemas de control en tiempo discreto

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+ Funciones elementales, propiedades y teoremas * Transformada Z

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* Transformada en Z de señales

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* Propiedades de transformada en Z

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* Transformada inversa de Z

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* Correlación entre el plano S y el plano Z

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* Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

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* Criterios de estabilidad de estado a partir de los coeficientes de la E.C. * Lugar geométrico de las raíces

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+ Tips para la soluciones de ejemplo y ejercicios de sistemas de controles discreto

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CABUDARE, EDO LARA


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Sistema de Control en Tiempo Discreto

Es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un conjunto de reglas y funciones en donde se usa la notación T(.) para representar un sistema general en el cual una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n). Un sistema de control discreto es aquel que incluye un computador digital en el bucle de control para realizar un procesamiento de señal. El control automático de sistemas es actualmente una tecnología imprescindible en una amplia variedad de procesos cotidianos, con especial importancia en el mundo industrial. Si inicialmente el control se realizaba mediante los ya clásicos bucles analógicos, el desarrollo de las computadoras y sistemas digitales basados en microprocesadores en los últimos años ha propiciado su masiva utilización en tareas de control.

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Objetivos de los Sistemas de Control Los objetivos son básicamente la determinación del controlador para que el sistema tenga un desempeño de acuerdo a las especificaciones, de hecho en la mayoría de las situaciones, el proceso controlado es el mismo excepto en este sistema de tiempo discreto en donde el controlador está diseñado para procesar datos digitales o muestreados. Definir los tipos de señales existentes en un sistema de control en tiempo discreto:

Señales Contínuas

Señales Discretas Una señal discreta es una señal discontinua que está definida para todos los puntos de un rango determinando del conjunto de los números enteros.

Una señal continua es una señal “suave “que está definida para todos los puntos de un rango determinado del conjunto de los números reales. Por ejemplo, la función seno es un ejemplo continuo, como la función exponencial o la función constante. Una parte de la función seno en el rango de tiempo de 0 a 6 segundos también es continua. Si deseamos ejemplos de la naturaleza tenemos la corriente, el voltaje, el sonido, la luz.

Importancia del Diseño de Sistemas de Control en Tiempo Discreto La importancia de los diseños de sistemas de control en tiempo discreto en nuestra vida es tan evidente que a veces pasan desapercibidos, pues están presentes en cualquier rincón de nuestras casas o en las actividades que realizamos a diario, por ejemplo en el hogar podemos tener un sistema que encienda de manera automática la bomba para llenar cualquier recipiente, o en los automóviles con el sistema de control de frenos conocido como ABS, como vemos estos diseños están presente en todas las actividades humanas he ahí su importancia, la cual de no existir complicaría los eventos más simples de la vida en el planeta.

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Funciones Elementales, Transformada Z La transformada en Z de una se単al x(k), con x(k) = 0 para k < 0

La transformada en Z juega el mismo papel que la transformada de Laplace, pudi辿ndose describir una se単al discreta X(k) por su transformada X(z).

Transformada en Z de Se単ales

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Propiedades y Teoremas Propiedades de Transformada en Z Linealidad:

Desplazamiento a la derecha

Desplazamiento a la izquierda

Amortiguaci贸n

Multiplicaci贸n por K

Teorema del valor final

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Transformada Inversa de Z La transformada Z-1 permite obtener una señal X(k) a partir de X(z). Se procede a la descomposición en fracciones simples de X(z)/z, más que de X(z). Se calculan los coeficientes Kij de la descomposición en fracciones simples mediante el método de los residuos

Para raíces Pk simples:

Siendo l el número de raíces simples. Para raíces Pk repetidas, de orden de multiplicidad rj

Una vez determinados los coeficientes Kij, se calculara utilizando las relaciones X(k) – X(z) de la tabla de transformada Z, aplicadas a las fracciones simples obtenidas, tal que para raíces reales simples

Para raíces reales múltiples:

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Correlación entre el Plano S y el Plano Z

Esta correlación nos dice que cuanto más pequeñas son la parte real (en valor absoluto) y la parte imaginaria de las raíces en plano S, más cercanas se encuentran las raíces transformadas al punto z=1 en el plano Z. Puede afirmarse que el sistema discreto y el sistema continuo equivalente ofrecen dinámicas similares cuando el número de muestras por ciclo y el número demuestras por constante de tiempo es suficientemente elevado (en este caso se dice que el sistema no está desvirtuado). Estas indicaciones conllevan a que las raíces características en plano S sean tales que mantengan elevada la relación: 1/αT

En conclusión un sistema discreto no queda desvirtuado frente al sistema continuo equivalente cuando las raíces transformadas en plano Z se encuentren en el interior del circulo de radio unidad y cercanas al punto z=1. En estos casos, pueden asignarse al sistema discreto las mismas características dinámicas que posee el sistema continuo equivalente. De hecho, no es posible conocer las características que presenta la respuesta de un sistema discreto cuando las raíces en plano Z se encuentran alejadas del punto z=1,si no es resolviendo la antitransformada Z de la señal de salida. Mediante la observación de la expresión de la transformada Z, se puede afirmar que el aumento del período de muestreo provocará un alejamiento de las raíces transformadas de la zona del plano Z en la cual se garantiza una respuesta del sistema discreto no desvirtuada frente al sistema continuo equivalente

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Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

En donde las a y las b son constantes y m ≤ n.

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh: 1.- Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an ≠ 0; es decir, se elimina cualquier raíz cero. 2.- Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo.

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3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero. El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

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C

riterios de Estabilidad de Estado a partir de los Coeficientes de la E.C Método de Jury

Se basa en el arreglo de Jury, que tiene 2n-3 filas donde n es el orden del polinomio característico en tiempo discreto. Los coeficientes ai se arreglan dos filas Se calculan las filas por pares hasta obtener una fila con solo tres coeficientes. Se comparan las magnitudes de los coeficientes a determinar la estabilidad del sistema.

Tabla para evaluar el criterio de estabilidad de Jury

Criterio de estabilidad de Jury Todos los ceros del polinomio característico tienen magnitud menor exactamente si las siguientes condiciones son satisfechas: 1. El polinomio característico evaluado en 1 es mayor que cero.

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que uno


2. El polinomio característico evaluado en -1 es positivo para polinomios de orden par y negativo para polinomios de orden impar.

3. El coeficiente an del polinomio característico debe ser positivo y mayor que el valor absoluto del coeficiente a0.

4. Todos los coeficientes calculados de la columna izquierda en las filas impares del arreglo deben tener una magnitud mayor que el coeficiente más a la derecha de la misma fila.

Pasos para la prueba de Jury - Pruebe primero las condiciones 1,2,3 - Calcule los coeficientes del arreglo de Jury de la siguiente forma y evalúe la condición 4 con ellos.

NOTA: Ya que el coeficiente S1 del arreglo de Jury no se emplea para determinar la estabilidad, no es necesario calcularlo

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Lugar Geométrico de las Raíces El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación característica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta ecuación cuando algún parámetro está cambiando:

Podemos ver más claramente el parámetro variable de la siguiente forma:

El LGR se divide en: -

RL: porción del LGR cuando K es mayor o igual a cero (positiva), [0,∞) CRL: porción del LGR cuando K es menor que cero (negativa), (infinito,0), la letra C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL. CR: contorno de las raíces, esto implica que hay más de un parámetro variando en la ecuación polinómica.

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Tips

para la soluciones de ejemplo y ejercicios de Sistemas de Controles Discreto Para resolver problemas de control discretos existen muchas técnicas para abordar dichos problemas:

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Lo primero que debemos hacer es ver las especificaciones o requerimiento del diseño: margen de fase, respuesta transitoria, velocidad de respuesta, margen de ganancia, tiempo de asentamiento, máximo sobre impulso etc.

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Luego debemos ver en que método se nos hace más fácil resolver el problema: por diagrama de bode, lugar geométrico de las raíces, diagrama de Nyquist. El diagrama de bode y de Nyquist sirve sobre todo en el dominio de la frecuencia, pero el más simple de hacer racionalmente es el de las raíces.

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Se debe determinar si se necesita el controlador en adelanto o en atraso o una combinación de ambos. Y por último cuando se tiene ya las características del controlador se procede a su simulación para ver su desempeño.

Matlab es una herramienta poderosa que permite simular rápidamente el desarrollo de sistemas de control en tiempo continuo y discreto.

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Tu Genialidad y Talento siempre hacen...

la Diferencia! Agradecimiento a Melyssa D铆az por su colaboraci贸n en esta Revista

Teoria de control, revista  

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