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ACADEMIA MATEMÁTICA “PELU – JEAN”

TRIGONOMETRÍA 5º

En ocasiones se nos presentan ejercicios en las que

Hacemos un cambio de variable:

se nos pide reducir o simplificar como por ejemplo:

+

=A

=B

E = (Sen20° + Sen20°) Sec10° Obtenemos: Observando

quizás

la

necesidad

de

pasar

Sen ( 40 Sen 20 ) a un producto de funciones   Suma de Funci ones

debe decir:

A B

A–B

2

2

Reemplazamos en (*) se tiene:

Suma de Funciones

Producto de Funciones

Transformación (Fórmula)

SenA + SenB = 2Sen (

A B 2

) Cos (

A–B 2

)

Esto puede lograrse mediante el uso correcto de

Los demás se demuestran en forma análoga

las siguientes identidades:

quedando como ejercicio para el alumno.

SenB

2Sen (

II. SenA – SenB

2Sen (

I.

SenA

III. CosA

CosB

IV. CosA – CosB

2Cos(

A B 2 A–B 2

A B

–2Sen (

2

) Cos (

) Cos (

) Cos(

A–B

)

2

A B 2

A–B 2

)

) Sen Cos

A B A–B ) Sen ( ) 2 2

Cos Sen

Sen ( – ) Sen Cos – Cos Sen

(Sen40° + Sen20°) Sec10° Usamos la identidad (I)

)

Para demostrar la primera identidad recordemos: Sen (

Entonces en nuestro ejemplo:

Sumando mi embro a mi embro

2Sen (

40

20 2

) Cos(

40 – 20 2

) Sec10

2 Sen30° Cos10°Sec10° Por identidad recíproca = 1 1 2( ) . 1 2

Se obtiene: Sen(

+ ) + Sen(

– ) = 2Sen Cos ………… (*)

E=1

Profesor: Antonio Ayala Ramos


ACADEMIA MATEMÁTICA “PELU – JEAN”

1. Simplificar:

TRIGONOMETRÍA 5º

8. Reducir:

E = (Sen40° + Sen80°) Csc24° Sec16° a) 1 d) Sen24°

b) 2 e) Cos16°

a) 1

E = (Sen32° + Sen16°) Csc24° Sec8° a) 1 d) Sen24°

b) 2 e) Cos8°

c) 3

d)

b) 2 3

4. Reducir: E

a) 1 d) 3

b) 2Sen3x + 1 e) 2Cos3x

Sen 7 x

Sen 20

c) 2Sen3x

b) –1

d) –2

e) 3

c) 2

10. Reducir: E = (Sen70° + Cos70°) Sec25°

Sen 5xCos2x

c) 1/2

5. Simplificar:

2

a) 1

b)

d) 1/2

e) 2

c)

2 /2

11. Pase a producto: E

a) Tg d) Ctg3x

Sen 5x – Senx Cos 5x

E = Senx + Cos2x

Cosx

b) Tg2x e) Ctg2x

c) Tg3x a) Cos ( 45 –

6. Simplificar: E

Cos3x

Cosx

c) Cos ( 45 – c) Tg2x

x 2

d) 2Cos ( 45 –

7. Simplificar: Sen 7 x

x 3x ) Cos ( 45º– ) 2 2

b) 2Cos( 45 –

Sen3x – Senx

b) Ctgx e) 2

E

Cos 50

Sen 80

a) 1

Sen3x

b) 2 e) Sen5x

a) Tgx d) Ctg2x

Ctg 50

Senx

Cos2x

a) 2Sen3xCos2x d) 2

3

9. Reducir: E

Sen 5x

c) Tg50°

3

e)

3. Reducir: E

Sen 20

Cos20 – Cos 80

c) 3

2. Simplificar:

a) Tg2x d) Ctg4x

Sen 80

E

e) Cos

Sen3x

x 2

x 3x ) Cos( 45º– ) 2 2 ) Cos x 2

3x 2

) Cos

Cos ( 45 –

x 2

3x 2 )

Cos3x – Cos 7 x

b) Ctg2x e) 1

c) Tg4x

Profesor: Antonio Ayala Ramos


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12. Pase a producto:

TRIGONOMETRÍA 5º

14. Pase a producto: E = Cos3 + Cos7 + Cos3 + Cos

E = Sen3x + Cosx

a) Cos Cos3 Cos5 b) 2Cos Cos3 Cos5 c) 4Cos Cos3 Cos5 d) Cos2 Cos3 Cos5 e) 4Cos2 Cos3 Cos5

a) Cos(45° - x) Cos(45° - 2x) b) Cos(45° - x) Cos(45° + 2x) c) 2Cos(45° - x) Cos(45° – 2x) d) 2Cos(45° - x) Cos(45° + 2x) e) 2Cos(45° - x) Cos2x

15. Pase a producto de Cosenos:

13. Pase a producto:

E

E = Sen4x + Sen2x + 2Sen3x Cos5x a) Sen6x Cos2x

b) 2Sen6x Cos2x

c) 4Sen6x Cos2x

d) Sen3x Cos2x

e) 4Sen3x Cos2x Cosx

1. Reducir:

1

2

a) 4Cos52°30’ Cos7°30’ b) Cos52°30’ Cos7°30’ c) 2Cos52°30’ Cos7°30’ d) 3Cos52°30’ Cos7°30’ e) 5Cos52°30’ Cos7°30’

4. Reducir:

E

Sen 4x

Sen2x

E

Sen 3xCosx

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

2. Reducir:

Sen17 – Sen 3 2Sen 7 Sen10

a) 1

b) 2

d) Ctg10°

e) Tg3°

c) Tg10°

5. Reducir: Sen 40

Sen 20

E

Cos10

a) 1

b) 1/2

d) 2Sen10°

e) Cos10°

c) 1

3. Reducir:

Cos3x Cosx Cos2x Cosx

a) 1

b) 2

d) Sen2x

e) Cosx

c) Sen3x

6. Reducir:

E

Sen5x – Sen3x

E

2Cos 4x Cosx

a) 1

b) 2

d) Tgx

e) Ctgx

c) Senx

Cos 4x – Cos2x Sen3xSenx

a) 1

b) –1

d) –2

e) Senx

c) 2

Profesor: Antonio Ayala Ramos


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7. Reducir:

TRIGONOMETRÍA 5º

12. Reducir: Cos10 – Cos 6

E

a) 1

b) 2

d) Ctg2°

e) Sen2°

Cos 70

Cos10

c) Tg2° a) 1 d)

8. Simplificar:

E

Sen 70 – Sen10

E

– 2Sen 8 Cos2

Cosx – Cos3x

b) –Senx

d) –2Senx

e) Cos2x

3

3

2 3

e)

3

c)

3

13. Pase a producto:

Sen 2x

a) Senx

b) 2

c) 2Senx

E = Sen11 + Sen7 + Sen5 + Sen

a) Sen6 Cos3 Cos2 b) 2Sen6 Cos3 Cos

9. Simplificar:

c) 4Sen6 Cos3 Cos2 E

Sen 5x

Sen 3x

Senx

Cos 5x

Cos3x

Cosx

a) Tgx

b) Tg2x

d) Tg4x

e) Tg5x

d) 2Sen4 Cos3 Cos2 e) 4Sen4 Cos3 Cos2 c) Tg3x 14. Hallar “x” si:

Sen 4x

10. Transformar a producto: E = Sen8x + Sen6x + Sen4x + Sen2x a) Sen5x Cos2x Cosx

Sen2x

3 (Cos 4x

a) 10°

b) 20°

d) 18°

e) 25°

Cos2x)

c) 15°

b) 4Sen5x Cos2x Cosx 15. Pase a producto de Cosenos:

c) 4 Cos5x Cos2x Cosx d) Cos5x Cos2x Cosx

E

e) 4 Sen2x Cos3x Cosx

3

2Sen20

a) Cos55° Cos20°

11. Reducir: E

Cos 5x

b) 2Cos55° Cos20°

Cosx

Sen 5x – Senx

a) Tgx

b) Tg2x

d) Ctgx

e) Ctg3x

c) 4Cos50° Cos20° c) Ctg2x

d) 2Cos70° Cos20° e) 4Cos40° Cos20°

Profesor: Antonio Ayala Ramos


Transformaciones trigonométricas