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Universit´e Pierre et Marie Curie Licence de science et technologies, L1

Fonctions, LM110 Ann´ee universitaire 2012-2013

Devoir 2

Exercice 1 D´ eveloppements limit´ es Pour chaque fonction, calculer le d´eveloppement limit´e en 0 et `a l’ordre n √

√ 1 − x − 1 + x avec n = 4   1+x avec n = 3 2. g : x 7→ ln 1 − x + x2

1. f : x 7→

3. h : x 7→

x2 + x − sin(x) avec n = 3. ln(1 + x)

Exercice 2 Th´ eor` eme de Rolle 3 Soit Pn le polynˆ ome d´efini par P3 (t) = 1 − t2

1. Montrer qu’il existe c ∈ ]−1; 1[ tel que P3′ (c) = 0. (3) 2. Montrer que P3 , la d´eriv´ee 3i`eme de P3 poss`ede 3 racines r´eelles simples.

Exercice 3 Calculs de limites 1. limπ (tan(x))tan(2x) x→ 4

2.

lim n

n→+∞

     1 n 2n − 1 e 1+ − n 2n

Indication pour le 2 : on effectura un d´eveloppement limit´e du premier terme de la parenth`ese, ´ecrit sous forme exponen1 tielle, en la variable n

Exercice 4 D´ eveloppement asymptotique Soit g : x 7→

x2 − x + 2 − 1 e x. x+3

x2 − x + 2 14 1. Justifier pour x ∈ R − {−3; 0}, l’´egalit´e, =x−4+ x+3 x

1 1+

3 x

!

.

2. Au voisinage de +∞, donner  un d´eveloppement asymptotique de g sous la forme 1 1 c , o` u a, b et c sont trois r´eels `a pr´eciser (on remarquera que g(x) = ax + b + + ε x x x 1 tend vers 0 lorsque x tend vers +∞). x 3. En d´eduire l’existence d’une asymptote oblique `a la courbe repr´esentative de g et les positions relatives de ces deux courbes au voisinage de +∞.

Exercice 5 Equation diff´ erentielle du second ordre On se propose de r´esoudre sur ]0, ∞[ l’´equation diff´erentielle : (E)

x2 y ′′ (x) + y(x) = x

On appelle (E0 ) l’´equation sans second membre associ´ee.


1. D´eterminer une solution particuli`ere y0 ”´evidente” de (E).  2. On effectue le changement de variable t = ln(x) et y(x) = y et = z(t). Montrer que l’´equation (E0 ) est transform´ee, via ce changement de variable, en : (E ′ ) : z ′′ (t) − z ′ (t) + z(t) = 0 (on v´erifiera qu’on a notamment z ′′ (t) = xy ′ (x) + x2 y ′′ (x)) 3. R´esoudre (E ′ ). 4. En d´eduire les solutions de (E0 ) puis celles de (E).

Exercice 6 Formule de Taylor Soit f une application de classe C 2 de R `a valeurs dans R. On suppose f ′ et f ′′ born´ees ; on pose M0 = sup |f (x)| et M2 = sup |f ′′ (x)|. x∈R

x∈R

1. En appliquant la formule de Taylor entre x et x − h d’une part et x et x + h, d’autre part, hM2 1 montrer que, pour tout x ∈ R et pour tout h > 0 on a : |f ′ (x)| ≤ + M0 . 2 h 2. En ´etudiant le membre de droite de l’in´egalit´e pr´ec´edente, en d´eduire que, pour tout √ x ∈ R, |f ′ (x)| ≤ 2M0 M2

2


D2-2-LM110-2012-2013