Issuu on Google+


Резольвента (от лат. resolvere — здесь: решать) используется в математике в различных значениях. Тема электронного тематического журнала №1 - теория вероятностей, математическая статистика и их приложения. Этот номер посвящен науке всех наук - математике, а точнее - ее относительно новому, перспективному и быстро развивающемуся направлению под названием ―теория вероятностей―.


В номере: 1.В мире математической науки 1.1. Математика-это наука... 1.2 Из истории «Теории вероятностей» 1.3 Кое-что из прошлого теории вероятностей. 2.Теория вероятностей и математическая статистика 2.1.Пониятие о теории вероятностей и математической статистике 2.2.Классическая вероятность

3.Случайность и здравый смысл 3.1.Типы случайных событий и действия над ними 3.2.Действия над случайными событиями

4.Статистика 4.1.Понятие о статистике 4.2.Задачи практического содержания

5.Великий математик 5.1.КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС

6.Занимательные вероятностные задачи с решениями 6.1.Задача Монти Холла 6,2.Задача «Толстая монета» 6.3. Задача « Выходные дни и дни рождения»

7.Страница выпускника 7.1 Советы 7.2 Как себя вести; какую область идти? 7.3 Тесты по теории вероятностей 8.Интересные факты 8.1Числа Фибоначи


ихаил ванович алинин (1875-1946)

« Какую бы науку вы не изучали, в какое бы высшее учебное заведение вы не поступили, в какой бы области вы не работали, и если вы хотите оставить после себя след, для этого вы должны хорошо знать математику».


1.В мире математической науки

1.1.Математи ка-это наука... Математика- наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчѐта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объекты создаются путѐм идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.

Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика это фундаментальная наука, она является языком для других наук.


1.2.Из истории «Теории вероятностей» Теория вероятностей развивалась изначально на основе наблюдений за азартными играми и желанию людей угадывать их исходы. Со временем теория вероятностей оформилась как отдельное направление в математике, получила свою аксиоматику, свои определения, теоремы и леммы. Теория вероятностей зародилась в 16-17 в.в. Основоположниками теории вероятностей можно назвать Паскаля, Ферма и Гюйгенса. Следующий период истории теории вероятностей (18 - 19 в. в.) связан с именами А. уавра, П. Лапласа, . Гаусса и С. Пуассона.

Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд актуальных применений в науке и технике (главным образом в геодезии и астрономии, в теории стрельбы). этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа и Пуассона. А. Лежандром и Гауссом в это же время был разработан метод наименьших квадратов. Третий период истории теории вероятностей (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. . Ляпунова и А. А. аркова.

Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов н арков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятностей , обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал центральную предельную теорему для сумм независимых


случайных величин и указал один из методов еѐ доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. арков впервые рассмотрел один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей аркова. Отдельно следует остановиться на персоне А.Н. олмогорова, который внес величайший вклад в становление и развитие аппарата теории вероятностей. Он написал несколько фундаментальных трудов, которыми с успехом пользуются по сей день. На базе аппарата теории вероятностей появились такие дисциплины, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория телетрафика и другие. В них математический аппарат теории вероятностей расширяется и применяется к различным моделям и ситуациям.

На этом журнале Вы сможете найти большое количество информации по теории вероятностей и смежным дисциплинам. В журнале есть прекрасные и интересные темы: 1.В мире математической науки

2.Теория вероятностей и математическая статистика 3.Великие математики 4.Страница выпускника 5.Занимательная математика 6. нтересные факты

1.3.Кое-что из прошлого теории вероятностей. Теория вероятностей и статистика имеет многовековую историю. Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно. Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр акедонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.


Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить «вероятность» своего возвращения «со щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Позднее, с опытом человек все чаще стал планировать случайные события – наблюдения и опыты, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Уже в древнем мире вели статистический учет населения. Однако произвольные толкования статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов позволили в конце ХIХ века английскому премьер-министру Б.Дизраэли не без основания заметить: «Есть три вида лжи: просто ложь, наглая ложь и статистика». В ХХ веке появилась математическая статистика – наука, основанная на законах теории вероятностей. Соединение накопленных к этому времени практических методов обработки данных с математическим аппаратом теории вероятностей превратило эти отрасли человеческого знания в мощный инструмент для исследования законов природы и общества. Сравнивая шансы случайных событий используют статистические данные. Так называют данные (чаще всего – числовые). Полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов. Уже на этапе сбора таких данных возникает масса непростых проблем, от решения которых во многом будет зависеть объективность полученной информации и достоверность выводов, которые потом будут сделаны на ее основе.

ак, например,

организовать социологический опрос, чтобы полученные в нем данные отражали мнение всего общества в целом? Сколько человек нужно опросить? ак организовать их выбор? В какой форме и какие вопросы задавать? После того как данные собраны, начинается их систематизация и анализ.

менно здесь

вероятностно-статистические методы оказываются в высшей степени необходимы. стория знает немало случаев, когда недобросовестность, а иногда и просто безграмотность некоторых горе-статистиков приводила к тому, что из правильно собранных статистических данных делались абсолютно неверные выводы.


2.Теория вероятностей и математическая статистика 2.1. Пониятие о теории вероятностей и математической статистике Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Тероятностное пространство> - это тройка (Ω, F, Ρ), где Ω - это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками; F - сигма-алгебра подмножеств Ω, называемых (случайными) событиями; Ρ - вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что Ρ(Ω)=1. Вероятность - численная мера возможности наступления некоторого события. С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного Простой пример: вероятность того что на кубике выпадет число «5» равна 1/6 атематическая статистика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Статистика — отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных.


2.2.Классическая вероятность Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента в одних и тех же условиях. Равновозможные события – это события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще других при многократных экспериментах, проводимых в одинаковых условиях. Достоверные события – это события, которые при нормальных условиях всегда выполняются обязательно. Невозможные события – это события, которые в данных условиях никогда не происходят. Случайные эксперименты – это различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которое можно повторить много раз в одинаковых условиях. (Все события прописываются буквами латинского алфавита A,B,C,D…) Если при неизменных условиях случайный эксперимент проведен n раз и в n(А) случаях произошло событие А, то число n(А) называется частотой события А. Относительная частота случайного события – это отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов. Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу, то это число называется вероятностью случайного события А. Вероятность события обозначается Р. (статистическое определение вероятности) Событие В называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.


3.Случайность и здравый смысл «Теория вероятностей есть в сущности не что иное,как здравый смысл,сведенной к сведенной к исчислению». Лаплас

3.1.Типы случайных событий и действия над ними Событие называется случайным если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Этот комплекс условий называется случайным опытом или случайным экспериментом. Случайным считается событие, связанное со случайным экспериментом. Пример. Событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков.» Случайный эксперимент – подбрасывание кубика.

Типы случайных событий

Достоверное событие

Невозможное событие

Достоверное событие – это событие, которое обязательно происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Этому событию соответствует всѐ множество исходов данного эксперимента. Пример. Событие «При бросании кубика выпало не более 6 очков» Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Этому событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента. Пример. Событие «При бросании кубика выпало 7 очков»


Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) - это событие Ā, которое не происходит, если А происходит, и наоборот. Пример. Событие А «выпало четное число очков» и Ā «выпало нечѐтное число очков» при бросании игрального кубика. Два события А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (т.е. в соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых (общих) исходов). Пример. События «Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось 6 очков; чѐтное число очков» - совместные. События «Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось 6 очков; 5 очков» - несовместные. Два события А и В считаются независимыми, если вероятность каждого из них ( Р(А) и Р(В) ) не зависит от наступления или не наступления второго.

3.2.Действия над случайными событиями

Суммой двух случайных событий А и В называют новое случайное событие А+В, которое происходит, если происходят либо А, либо В, либо А и В одновременно. Событию А+В соответствует объединение (сумма) множеств исходов, соответствующих событиям А и В. Произведением двух случайных событий А и В называется новое случайное событие АxВ, которое происходит только тогда, когда происходят события А и В одновременно. Событию АxВ соответствует пересечение множеств исходов, соответствующих событиям А и В.


4.Статистика 4.1.Пониятие о статистике Статистика (от лат. status – состояние, положение вещей) – наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая

статистика

изучает

рождаемость,

численность

населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А

есть

ещѐ

статистика

финансовая,

налоговая,

биологическая,

метеорологическая… В школе – статистика успеваемости, посещаемости учащихся. зучение теории вероятностей и статистики раскроет перед учащимися мир случайного. Собственно.

ир остается таким.

аков он и есть, но

показывается он не совсем с обычной стороны. Только пользуясь языком науки о случае – теории вероятностей можно описать многие явления и ситуации. Углубить свои знания можно лишь с помощью решения задач практического содержания.


4.2.Задачи практического содержания №1.На круговой диаграмме показано распределение земной суши, составляющей около 150 млн.кв.км, между шестью частями света.

Антарктида Австралия Африка Европа Азия Америка

Глядя на диаграмму, ответьте на следующие вопросы: а) Какая часть света самая большая по площади? б) Какова приблизительно площадь Африки? в) Какова приблизительно площадь материка Евразия? г) Нарисуйте круговую диаграмму, показывающую распределение земной суши между материками. Какую информацию вам для этого необходимо отыскать дополнительно? Ответы: а) Самая большая часть света Азия. б) Площадь Африки около 150 млн.кв.км ∙ 0,2 = 30 млн.кв.км. в) Площадь материка Евразия составляет 30% + 7% = 37% земной суши, т.е. 0,37 часть. 150 млн.кв.км ∙ 0,37 = 55,5 млн.кв.км. г) Распределение земной суши между материками следующее:


Антарктида 9

Австралия 5%

Африка 20%

Евразия 37%

Северная Америка – 25,5 млн.кв.км; 25,5/150 = 0,17 = 17%. Южная Америка – 18 млн.кв.км; 18/150 = 0,12 = 12%.

5.Великий математик 5.1. АРЛ ФР ДР Х ГАУСС В этом разделе собраны биографии величайших математиков человечества, приложивших усилия к становлению и развитию той математики, которую человечество имеет сегодня и без которой его существование немыслимо. АРЛ ФР ДР Х ГАУСС (1777–1855) Дата рождения: 30 апреля 1777 есто рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 есто смерти: Гѐттинген Гражданство: Германия Научная сфера: математика, физика, астрономия Альма-матер: Гѐттингенский университет арл Фридрих Гаусс (нем. Johann Carl Friedrich Gau.; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гѐттинген) — выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времѐн. Ранние годы атематический талант Гаусса проявился ещѐ в детстве. По легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время,


предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50*101=5050. С 1795 по 1798 Гаусс учился в Гѐттингенском университете, где 30 марта 1796 доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. роме того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и дал критерий возможности построения любого правильного n-угольника, показав, что если n — простое число, то оно должно быть вида (числом Ферма). Этому открытию Гаусс придавал большое значение и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг. В 1799 г. Гаусс доказал основную теорему алгебры о том, что уравнение n-й степени с одной переменной имеет ровно n решений в комплексных числах. Зрелость Первым крупным трудом Гаусса в области теории чисел стала работа 1801 года «Арифметические исследования» (нем. Disquisitiones Arithmeticae), в которой дано обстоятельное изложение теории сравнений, исследованы свойства квадратичных вычетов и доказан квадратичный закон взаимности. С 1807 года и до самой смерти Гаусс был директором гѐттингенской обсерватории и ординарным профессором Гѐттингенского университета. В астрономии Гаусс, в первую очередь, интересовался небесной механикой, изучал орбиты малых планет и их возмущения. В 1809 Гаусс нашѐл способ определения элементов орбиты по трѐм полным наблюдениям (время, прямое восхождение и склонение). Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс разработал метод наименьших квадратов, который сейчас повсеместно применяется в статистике, и открыл нормальный закон распределения — на это открытие, по-видимому, повлияли исследования в области теории вероятностей де Бергофского, с которым молодой Гаусс, видимо, был знаком. В геометрии поверхностей Гаусс впервые начал изучать внутреннюю геометрию, не зависящую от вложения в пространства. Он указал некоторую ха��актеристику поверхности (гауссову кривизну), которая не изменяется при изгибаниях, тем самым заложив основы римановой геометрии.


В физике Гаусс плодотворно сотрудничал с В. Вебером в области исследования электромагнетизма. Была создана система электромагнитных единиц измерения и сконструирован примитивный телеграф.

6.Занимательные вероятностные задачи с решениями 6.1.Задача

онти Холла

В телевикторине участники должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими нет ничего. Участник, выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, конечно пустышку. Затем он говорит участнику, — «Вы смените дверь или выберете другую?». Вопрос, который мы рассмотрим в том, выгодно ли участнику сменить дверь или выгодно оставить свой выбор.

Прежде, чем идти дальше, пожалуйста, подумайте и ответьте на этот вопрос. Оставляете дверь или меняете?

В 1990 году этот вопрос разделил Америку на два лагеря. С одной стороны была эрилин вос Савант, вошедшая в «книгу рекордов Гиннесса»как человек с самым высоким уровнем интеллекта равным 228. С другой стороны математики и читатели воскресной газеты, в которой эрилин высказала свою точку зрения на вопрос, менять или нет, дверь. Она получила несколько десятков тысяч отзывов, из которых более сотни были написаны дипломированными математиками, докторами наук. 92 процента написавших считали, что эрилин ошибается. Сделали свой выбор? Честно запишите его на бумажке, а потом поделитесь в комментариях, что вы выбрали. Заранее спасибо, за вашу честность.

Негодование большинства вызвала стратегия предложенная эрилин. Она


предложила сменить дверь. Не оставить, а именно сменить, так как это повышает шансы на выигрыш. Ответ на задачу

онти Холла

В задаче онти Холла фигурирует три двери: за одной нечто ценное, скажем гоночная машина, за двумя другими — нечто гораздо менее интересное, например, русско-русский разговорник. Вы выбрали дверь №1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:

ашина за дверью №1 ашина за дверью №2 ашина за дверью №3

Вероятность каждого исхода — 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство выберет машину, то первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.

Далее по сценарию, ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что там лежит разговорник. Поскольку, открывая эту дверь ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местоположение машины, данный процесс нельзя назвать случайным в полном смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.

Первый — вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком


поездки станете владельцем разговорника. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего 1 из 3.

Второй — вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой». Шансы, что вы не угадаете, равны 2 из 3, так что «ошибочная догадка» в два раза вероятнее, чем «счастливая догадка». ак «ошибочная догадка» отличается от «счастливой догадки»? При «ошибочной догадке» машина находится за одной из тех дверей, которые вы обошли своим вниманием, а за другой — книжка. В противоположность «счастливой догадке» в этом варианте ведущий открывает невыбранную дверь не наугад. Поскольку он не собирается открывать дверь с машиной, он именно что выбирает ту самую дверь, за которой машины нет. Другими словами, в «ошибочной догадке» ведущий вмешивается в то, что до той поры называлось случайным процессом. Таким образом, процесс уже не может считаться случайным: ведущий пользуется своими знаниями, чтобы повлиять на результат, и тем самым отрицает само понятие случайности, гарантируя, что при смене двери участник получит авто. з-за подобного вмешательства происходит следующее: вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки», и, следовательно, выигрываете при смене двери и проигрываете, если отказываетесь сменить ее.

В итоге получается: если вы оказываетесь в ситуации «счастливой догадки» (вероятность которой 1 из 3), вы выигрываете при условии, если остаетесь при своем выборе. Если вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки» (вероятность 2 из 3), то под влиянием действий ведущего вы выигрываете при условии, если меняете первоначальный выбор. так, ваше решение, сводится к догадке, в какой ситуации вы окажетесь? Если вы чувствуете, что вашим изначальным выбором руководит шестое чувство, что вас направляет сама судьба, может, и не стоит менять свое решение. Но если вам не дано завязывать ложки узелками только силой мысли, то наверняка шансы того, что вы попали в ситуацию «ошибочной догадки», равны 2 к 1, так что лучше сменить дверь.


6,2.Толстая монета акой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась бы 1/3? Решение Услышав впервые эту задачу, покойный великий математик Джон фон Нейман дал ответ с точными тремя знаками за 20 секунд в присутствии публики, которой потребовалось для решения значительно больше времени. онечно, для того, чтобы задача имела определенный ответ, надо наложить некоторые условия, упрощающие дело. атериал, из которого изготовлена монета, сила, с которой ее подбрасывают, и свойства поверхности, на которую она падает, должны такими, чтобы задача допускала эмпирическую проверку. ажется естественным подобрать эти условия таким образом, чтобы монету можно было рассматривать как вписанную в сферу, центр которой совпадает с центром тяжести монеты. Сама монета при этом трактуется как прямой круговой цилиндр (рис. 10,11).

Рис. 10. "Толстая" монета

Рис. 11. "Толстая" монета как часть сферы

На поверхности сферы выбирается случайная точка, и если радиус, проведенный из центра в эту точку, пересекает боковую поверхность цилиндра, то считается, что монета упала на ребро. На практике этой ситуации отвечает клейкая поверхность, мягко упав на которую монета опускается либо на ребро либо на одно из оснований (рис. 12).


Рис. 12. онета упадет на ребро, если проекция из центра тяжести пересекает поверхность цилиндра Для решения задачи нам понадобится следующий результат. Поверхность куска сферы, заключенного между двумя параллельными плоскостями, пропорциональна расстоянию между этими плоскостями, так что толщина нашей монеты должна составлять 1/3 диаметра сферы. Дадим окончательный ответ в терминах диаметра монеты (рис. 13).

Рис. 13. Чертеж сечения сферы, поясняющий соотношение между радиусом R сферы и радиусом r монеты Пусть R - радиус сферы, а r - радиус монеты. Согласно теореме Пифагора

так, высота ребра монеты составляет около 35% ее диаметра.


6.3.Выходные дни и дни рождения Согласно законам о трудоустройстве в городе N, наниматели обязаны предоставлять всем рабочим выходной, если хотя бы у одного из них день рождения, и принимать на службу рабочих независимо от их дня рождения. За исключением этих выходных рабочие трудятся весь год из 365 дней. Предприниматели хотят максимизировать среднее число человеко-дней в году. Сколько рабочих трудятся на фабрике в городе N?

Если на фабрике работает один человек, то предприниматель получает 364 человеко-дней, если два, то почти всегда 2·363 = 726, так что можно думать, что максимум достигается при числе рабочих, большем двух. С другой стороны, при весьма большом числе рабочих практически каждый день является выходным, и завод никогда не работает. Следовательно, действительно существует конечное число рабочих, на котором достигается максимум. Найдем среднее число рабочих дней. аждый день является либо рабочим либо нет. Заменим для общности 365 на N и обозначим через n число рабочих на фабрике. Тогда вероятность того, что первый день в году рабочий, равна (1 - 1/N)n, так как в этом случае все рабочие родились в один из других N - 1 дней. Средний вклад первого дня в трудоднях равен

Это число одинаково для всех дней, так что среднее число человеко-дней, отработанных в году, при n рабочих на фабрике равно n·N·(1 - l/N)n. Для максимизации этой функции от n надо найти значение n, для которого


Отсюда получаем n ≤ Nn ≤ n + 1 и, значит, или n = N, или же n = N - 1. Подставляя эти значения n в формулу для среднего числа человеко-дней, мы получаем N2·(1 - 1/N)N и (N - 1)·N·(1 - 1/N)N - 1 т. е. равные величины. Так как N-й человек не изменяет положения дел, на фабрике должно быть N - 1 рабочих. В силу соотношения (1 - 1/N)N ≈ e-1 среднее число трудодней приблизительно равно N2·e-1. Если бы все N человек работали каждый день, то число трудодней равнялось бы N2, так что e-1 равняется среднему отношению числа действительно проработанных дней к потенциально возможному N2. Оно приблизительно равно 0.37. так, на фабрике работает 364 человека, и число рабочих дней приблизительно равно 49 (если считать, что других выходных нет). 364-й рабочий вкладывает в среднем только 0.37 дня �� общее число трудодней. Рабочая сила должна быть очень дешева в этом городе!


Лобачевский Николай Иванович : "Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни." Н.И.Лобачевский

7.Страница выпускника 7.2.Тесты по комбинаторики и теории вероятностей Вариант 1. 1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? 1) 30 2) 100 3) 120 4) 5 2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? 1) 128

2)

35960

3) 36

4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными? 1) 10

2) 60

3) 20

4) 30

4. Вычислить: 6! -5! 1) 600

2)

300

3)

1

4) 1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. акова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым? 1)

17 45

17 43

2)

3)

43 45

4)

17 45

6. Бросают три монеты. акова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка? 1)

3 2

2) 0,5

3) 0,125

4)

1 3

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. акова вероятность выигрыша? 1) 0,02 № задания № ответа

1 3

2) 2 2

0,00012 3 4

3) 0,0008 4 1

5 2

4) 0,002 6 3

7 4


Вариант 2. 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? 1) 100 2) 30 3) 5 4) 120 2. меются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей? 1)

3

2)

6

3)

2

4)

1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков. 1)

10000

4. Вычислите:

1)

2)

60480

3)

56

4) 39450

2)

56

3)

30

4)

8! 6!

2

4 3

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. акова вероятность, что эта карта – туз?

1 36

1)

2)

1 35

3)

1 9

4)

36 4

6. Бросают два игральных кубика. акова вероятность того, что выпадут две четные цифры? 1) 0,25

2)

2 6

3) 0,5

4) 0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. акова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий? 1) № задания № ответа

0,5

2)

0,4

3)

0,04

4) 0,8

1

2

3

4

5

6

7

4

1

2

2

3

1

1


Резольвента