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Revista Digital

Estructura de datos II (Grafos)

Febrero, 2014


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Pág. Ejercicios No. 1 ………………………… 2 Ejercicios No. 2 ………………………… 3 Ejercicios No. 3 ………………………… 4 Ejercicios No. 4 ………………………… 5 Ejercicios No. 5 ………………………… 5 Ejercicios No. 6 ………………………… 6 Ejercicios No. 7 ………………………… 7 Ejercicios No. 8 ………………………… 7 Ejercicios No. 9 ………………………… 8 Ejercicios No.10………………………… 8 Ejercicios No.11………………………… 9

Edición Nº 4 Febrer0 2014 Editada por: Asisclo Serrano Diseño: Asisclo Serrano


1.¿Cuántas Aristas tiene un grafo cuyos vértices tienen los siguientes grados 4,3,3,2,2? Dibujarlo. La formula para definir el número de aristas es la siguiente:

Por lo tanto este grafo tiene 7 aristas, para dibujarlo hay que tener en cuenta que el vértice grado 4 tiene 4 aristas uniéndose a los demás, que de los grados 3 deben salir 3 aristas y análogamente con los de 2 grados.

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2. Dado el siguiente grafo g escribir el conjunto de vĂŠrtices y el conjunto de aristas de g

Conjunto de VĂŠrtices: V(g)={a,b,c,d,e,f,g,h,i} Conjunto de Aristas A(g)= {(a,b),(a,d),(b,c),(b,e),(c,f),(d,g),(d,e),(e,h),(e,f),(f,i),(g,h),(h,i)}

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3. Decir cual de los siguientes grafos corresponde a un multigrafo, a un digrafo, a un árbol, a un grafo ponderado y a un grafo completo. Multigrafo:es un par G = (V;A) donde V es un conjunto no vacío de vértices y A es un conjunto de aristas que se identifican con conjuntos de uno o dos vértices.

Diagrafo: esta formado por un conjunto finito y no vacío V (vértices) y por un conjunto E de pares ordenados de elementos distintos de V (arcos). Árbol: es un grafo simple no dirigido G que satisface: • G es conexo y no tiene ciclos. • G no tiene ciclos y, si se añade alguna arista se forma un ciclo. • G es conexo y si se le quita alguna arista deja de ser conexo. • G es conexo y el grafo completo de 3 vértices K_{3} no es un menor de G. • Dos vértices cualquiera de G están conectados por un único camino simple. Ponderado: grafos en los que se asigna un numero a cada una de las aristas. Este número representa un peso para el recorrido a través de la arista. Este peso podrá indicar, por ejemplo, la distancia, el costo monetario o el tiempo invertido, entre otros.

Completo: E s un grafo con n vértices, donde cada vértice es adyacente a todos los demás. 4


4. Dibujar un grafo ponderado de orden 5 (o sea 5 vĂŠrtices)

5. a) b) c) a)

Dado el siguiente grafo g: Definir el grado de cada uno de los vĂŠrtices Definir tres caminos y tres circuitos Definir tres subgrafos a partir del mismo 1: grado 1 2: grado 2 3: grado 5 4: grado 6 5: grado 3 6: grado 4 7: grado 7 8: grado 3 9: grado 4 10: grado 1

b) Caminos: 1,3,7,10 ; 2,4,7,10; 1,3,9,7,5 Circuitos: 3,4,7,9,6; 2,4,7,8,5; 3,4,8,7,6 c)

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6. Dado el siguiente g encontrar en el

Un camino que conecta V1 y V4 : V1,V2,V3,V4 Un camino simple de longitud 5 entre V1 y V4 :V1,V2,V6,V5,V3,V4 Un camino de longitud 6 entre V1 y V4: V1,V6,V7,V2,V3,V5,V4 Un camino cerrado con origen en V4 y de longitud 6: V4,V3,V2,V1,V6,V5,V4 Un ciclo de longitud 3, uno de longitud 4 y otro de longitud 6 : • Longitud 3: V1,V2,V6,V1 • Longitud 4: V7,V6,V1,V2,V7 • Longitud 6: V2,V7,V6,V5,V4,V3,V2 Un circuito de longitud 9:

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7. Dado el siguiente grafo escribir el grado de entrada y salida de cada vĂŠrtice V1: E: 0, S:2 V2: E:2, S:2 V3: E: 1, S:1 V4: E: 1, S:1 V1: E: 3, S:1

8. ÂżCuĂĄndo un grafo es Euleriano? Es aquel en que pueden recorrerse todas sus aristas (arcos) de manera consecutiva y sin repetirlas.

Decir si los siguientes grafos son Eulerianos:

Los grafos de la parte eulerianos son: - a.1, a.3, - b.1

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9. Determinar cual de los siguientes grafos se pueden dibujar en papel sin levantar el lápiz, y sin dibujar dos veces la misma arista. ¿Qué tipo de grafos son?

El grafo que se puede dibujar sin levantar el lápiz, y sin dibujar dos veces la misma arista es el (2) este tipo de grafo es el eureliano.

10. Una compañía de autopistas ha encontrado a una empresa de seguridad para que patrulle la red de autopistas cuyo mapa esta esquematizado en el siguiente grafo:

La empresa de seguridad quiere realizar el servicio con un solo vehiculo y quiere determinar la existencia de un recorrido de manera que se vigilen los tramos de la autopista una única vez.¿Cual es ese recorrido? ¿Es la única solución? El recorrido para vigilar la autopista pasando por los tramos una única vez es: b,f,e,d,c,f,d,b,a,f No es el único recorrido esta también la posibilidad de: b,d,c,f,a,b,f,e,d,f 8


11.En un colegio X hay alumnos de tres pueblos A,B,C. La distancia entre A y B son 6 Km., la de B a C es 7 Km., la de A a C es 10 Km. y la de A a X es 8 Km. Una empresa de transporte escolar hace 2 rutas: La ruta 1 parte de B, y recorre C, A y X. La ruta 2 parte de C y recorre B, A y X. a) Dibujar el grafo y su matriz de adyacencia, pero con sus ponderaciones.

b) Determinar una matriz de 2 X 3, que guarde las distancias de cada pueblo al colegio X por cada ruta

c) La cantidad de alumnos que suben al bus en cada ruta es: Pueblo A: 10 alumnos en la ruta 1 y 9 en la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos en la ruta 1 y 8 en la ruta 2 Pueblo C: 5 alumnos en la ruta 1 y 9 en la ruta 2. Determinar una matriz de 3 X 2 que guarde la cantidad de alumnos que siguen cada ruta en cada pueblo.

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