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Física e Matemática LEIA COM ATENÇÃO 01. Só abra este caderno após ler todas as instruções e quando for autorizado pelos fiscais da sala. 02. Preencha os dados pessoais. 03. Este caderno contém as provas de FÍSICA e MATEMÁTICA, cada uma com 16 (dezesseis) questões, numeradas de 01 a 16, que podem ser de proposições múltiplas e/ou de respostas numéricas. Se não estiver completo, exija outro do fiscal da sala.

04. As questões de proposições múltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0) a duplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras falsas. Na folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna V, as falsas, na coluna F. Caso não desejar responder algum item marque a coluna NR.

05. As questões numéricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser marcados, na

folha de respostas, no local correspondente ao número da questão. (COLUNA D para as dezenas e COLUNA U para as unidades. Respostas com valores entre 0 e 9 devem ser marcadas antepondo-se zero (0) ao valor, na COLUNA D).

06. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e número de inscrição. Qualquer irregularidade observada comunique imediatamente ao fiscal.

07. Assinale a resposta de cada questão no corpo da prova e, só depois, transfira os resultados para a folha de respostas.

08. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferográfica preta e faça as marcas de acordo com o modelo (••••••••). A marcação da folha de respostas é definitiva, não admitindo rasuras.

09. Não risque, não amasse, não dobre e não suje a folha de respostas, pois isto poderá prejudicá-lo. 10. Os fiscais não estão autorizados a emitir opinião nem a prestar esclarecimentos sobre o conteúdo das provas. Cabe única e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir.

11. Se a Comissão verificar que a resposta de uma questão é dúbia ou inexistente, a questão será posteriormente anulada, e os pontos a ela correspondentes, distribuídos entre as demais.

No me:

I nscrição :

I den t id ad e:

Ó rg ão Exp ed id o r:

Assin at u ra: COMISSÃO DE PROCESSOS SELETIVOS E TREINAMENTOS (0xx81) 3412 0800 (0xx81)3412 0805


FÍSICA Dados: 2

Aceleração da gravidade: 10 m/s 3 3 Densidade da água: 10 kg/m 8 Velocidade da luz no vácuo: 3 × 10 m/s 30º 37º 45º sen 0,50 0,60 0,71 cos 0,86 0,80 0,71

01. Uma estrela de nêutrons tem massa igual a quatro vezes a massa do Sol e 30

volume esférico de raio 20 km. Considere a massa do Sol igual a 2 × 10 kg e as densidades da estrela de nêutrons e da água denotadas, respectivamente, N por ρest e ρágua. Se a ordem de grandeza da razão ρest/ρágua é 10 , qual o valor de N?

Resposta: 14 Justificativa: A densidade da estrela de nêutrons é dada por ρest = M/V = 4(2 30 4 3 17 3 × 10 kg)/[4π(2 × 10 m) /3] ≅ 2,4 × 10 kg/m . Assim, a ordem de grandeza 14 da razão ρest/ρágua é 10 .

02. Uma partícula é liberada em queda livre a partir do repouso. Calcule o módulo da velocidade média da partícula, em m/s, após ela ter caído por 320 m.

Resposta: 40 Justificativa: No MUV a velocidade média é a média aritmética das 2 velocidades inicial e final. A velocidade final é v = 2g(∆h) = 2 × 10 × 320 = 6400 → v = 80 m/s. Assim, vm = (80+0)/2 = 40 m/s.

03. Para medir o coeficiente de atrito cinético, µC, entre um bloco e uma superfície

plana, um impulso inicial é dado ao bloco, que se desloca em linha reta sobre a superfície até parar. O bloco percorre 80 cm desde o instante em que a sua velocidade tem módulo igual a 2 m/s até o instante em que para. Expressando −2 o coeficiente de atrito cinético na forma µC = A × 10 , qual o valor de A?

Resposta: 25 Justificativa: Pela 2ª lei de Newton, −Fat = Ma, onde Fat = µN = µMg. Assim, 2 2 a = −µg. Pela equação de Torricelli, v = v0 + 2aL. Substituindo v = 0, 2

−2

obtemos µ = v0 /(2gL) = 0,25 = 25 × 10 .

04. O gráfico seguinte mostra como a energia potencial de uma partícula varia com

a sua posição. O valor da energia mecânica da partícula, EM, também aparece no gráfico. A partícula de massa 0,1 kg se move em linha reta. Todas as forças que atuam na partícula são conservativas. Obtenha a velocidade máxima da partícula, em m/s.


EP(J) EM = 45

15 0

x

Resposta: 30 Justificativa: A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial, Em = Ec + Ep. Logo, a energia cinética máxima ocorre na posição 2 onde a energia potencial é mínima, (Ec)max = Em - Ep = 45 J = mv /2. Assim, v = 30 m/s.

05. Duas partículas idênticas, que se movem sobre a superfície horizontal de uma mesa sem atrito, realizam uma colisão perfeitamente inelástica, como mostra a figura. Antes da colisão, cada partícula tinha velocidade de módulo 5 m/s e direção θ = 37º em relação à linha contínua da figura. Qual a velocidade das partículas após a colisão, em m/s?

Antes da colisão

Depois da colisão

θ( θ( mesa

mesa

Resposta: 04 Justificativa: Há a conservação da quantidade de movimento (momento linear) total das partículas. No caso de colisão perfeitamente inelástica, ao longo da direção da linha contínua da figura, escrevemos: 2Mvf = Mvcosθ + Mvcosθ, ou seja, vf = vcosθ = 5 × 0,8 = 4 m/s.

06. Um barco de passageiros afundou em um lago. É preciso içá-lo utilizando boias 3

especiais. A massa do barco é 8000 kg e o volume ocupado por ele é 3 m . 3 Despreze o peso das boias. Determine o volume mínimo, em m , que devem ter as boias para que o barco fique na iminência de ser elevado do fundo do lago.

Resposta: 05 Justificativa: O barco e as boias estão sujeitos às forças peso e empuxo. Aplicando a 2ª lei de Newton na iminência de movimento tem-se, Eboia + Ebarco – Pbarco = 0. Logo, ρáguaVboiag + ρáguaVbarcog – Mbarcog = 0 → Vboia = 5 3 m .


07. Descobre-se que uma estrela de massa igual a quatro vezes a massa do Sol,

localizada na Via Láctea, possui um planeta orbitando ao seu redor, em movimento circular uniforme (MCU) de raio R. O tempo necessário para que esse exoplaneta percorra uma circunferência completa ao redor da estrela é a metade de um ano terrestre. Considere que a Terra realiza um MCU ao redor do Sol de raio RTS e despreze a influência gravitacional de outros corpos do sistema solar. Quanto vale a razão R/RTS?

Resposta: 01 Justificativa: A 2ª lei de Newton para o exoplaneta sob a ação da força 2 2 gravitacional da estrela é dada por GMEMP/R = MPv /R. Escrevendo v = 3 2 2 2πR/TP, obtemos R = GMETP /(4π ). O mesmo cálculo realizado para o 3 2 2 sistema Terra – Sol leva a RTS = GMST /(4π ). Dividindo uma equação pela 3 2 outra, obtemos (R/RTS) = (ME/MS)(TP/T) . Substituindo ME = 4MS e TP = T/2, encontramos R/RTS = 1.

08. Um estudante precisa de três litros de água à temperatura de 37 oC. Ele já o

o

dispõe de dois litros de água a 17 C. A que temperatura, em C, ele deve aquecer o litro de água a ser misturado com o volume já disponível? Considere a existência de trocas térmicas apenas entre os volumes de água na mistura.

Resposta: 77 Justificativa: Considerando que haja trocas térmicas apenas entre os volumes de água misturados, as trocas de calor são descritas pela equação M1c(Tf – T1) + M2c(Tf – T2) = 0. Como a densidade da água é ρ = M/V, então, o T2 = V1(Tf – T1)/V2 + Tf. Substituindo os valores, obtemos T2 = 77 C.

09. Um gás ideal se transforma de acordo com o ciclo termodinâmico mostrado abaixo no diagrama pressão versus volume. Os processos AB e CD são isovolumétricos, e os processos BC e DA são isotérmicos. Qual a razão TC/TD entre as respectivas temperaturas absolutas do gás nos pontos C e D? p(Pa) 2,5

0,5

B

A

C

D V


Resposta: 05 Justificativa: Segundo a lei dos gases ideais, ao longo da isovolumétrica AB, temos que pA/TA = pB/TB. Se os processos BC e CD são isotérmicos, então, TC = TB e TD = TA, de modo que TC/TD = pB/pA = 5.

10. A figura mostra uma montagem onde um oscilador gera uma onda estacionária que se forma em um fio. A massa de um pedaço de 100 m deste fio é 20 g. Qual a velocidade de propagação das ondas que formam a onda estacionária, em m/s?

polia

oscilador

M = 128 g Resposta: 80 Justificativa: A velocidade de uma onda mecânica se propagando em um fio 1/2 é dada por v = (T/µ) , onde T é a tração sobre o fio e µ é a densidade linear -4 do fio. Assim, T = 0,128 × 10 = 1,28 N e µ = 0,02/100 = 2 × 10 kg/m, de modo que v = 80 m/s.

11. Uma carga elétrica puntiforme gera campo elétrico nos pontos P1 e P2. A

figura a seguir mostra setas que indicam a direção e o sentido do vetor campo elétrico, nestes pontos. Contudo, os comprimentos das setas não indicam os módulos destes vetores. O módulo do campo elétrico no ponto P1 é 32 V/m. Calcule o módulo do campo elétrico no ponto P2, em V/m.

P1

P2

Resposta: 16 Justificativa: Visto que a carga é puntiforme, a posição da carga é determinada pelo cruzamento das direções das setas. A carga se encontra no vértice superior direito do quadrado (de lado L) no canto inferior esquerdo da figura. O módulo campo gerado no ponto P1 é 2

2

2

E1 = kQ/(2√2L) = 32 → kQ/L = 256. O campo elétrico E2 = kQ/(4L) = 256/16 = 16.

12. Uma pequena lanterna utiliza uma pilha do tipo AA. A pilha tem resistência interna r = 0,25 Ω e fornece uma força eletromotriz de ε = 1,5 V. Calcule a energia dissipada pela lâmpada, de resistência elétrica R = 0,5 Ω, quando esta é ligada durante ∆t = 30 s. Obtenha o resultado em J.


Resposta: 60 Justificativa: A corrente da lâmpada é dada pela lei de Ohm, tem-se que ε = 2 2 (r + R)I → I = 1,5/(0,25+0,5) = 2 A. A potência da lâmpada é P = RI = 0,5 × 2 = 2 W. A energia química da pilha transformada em luz e calor é E = P(∆t) = 60 J.

13. A figura apresenta um experimento com um raio de luz que passa de um bloco de vidro para o ar. Considere a velocidade da luz no ar como sendo igual à velocidade da luz no vácuo. Qual é a velocidade da luz dentro do bloco de 8 vidro, em unidades de 10 m/s?

bloco de vidro

o

30

ar o

45

Resposta: 02 Justificativa: Usando a lei de Snell, n1sen(30º) = n2sen(45º) → 0,5 = 8 (v/c)0,71 → v = 0,5c/0,71 = 2,11 × 10 m/s.

14. A figura mostra uma montagem onde um objeto foi colocado sobre o eixo ótico

distando 4,2 cm de uma lente convergente de distância focal f = 4 cm. Calcule o fator de ampliação, em módulo, para a montagem descrita.

lente objeto

foco

foco

Resposta: 20 Justificativa: Usando a expressão que relaciona a distância focal com a distância do objeto e a da imagem tem-se, 1/f = 1/o +1/i → i = 84 cm. O módulo da ampliação é A = i/o = 20.


15. O circuito elétrico plano, mostrado a seguir, possui uma bateria de força

eletromotriz ε = 48 V e resistência interna r = 1 Ω ligada a resistores de resistências R = 9 Ω e r = 1 Ω O trecho retilíneo ab do circuito possui comprimento de 50 cm. No plano do circuito, existe um campo magnético uniforme, de módulo B = 2,5 T e direção fazendo um ângulo de 37º com a direção do trecho ab. Qual o módulo da força magnética que age no trecho ab, em N?

R

a

r B

37° b

R R

ε = 48 V

r

Resposta: 03 Justificativa: A corrente elétrica constante no circuito é dada por i = ε/Req, onde a resistência equivalente é Req = R/3 + r = 4 Ω. Assim, i = 12 A. A corrente que percorre o trecho ab é, portanto, 4 A. A força devido a um campo magnético de módulo B em um trecho retilíneo de comprimento L de um fio atravessado por uma corrente elétrica i constante possui módulo F = iLBsenθ, onde θ é o ângulo entre o trecho do fio e o vetor campo magnético. Nesse caso, substituindo os dados fornecidos na expressão da força, obtemos F = (4 o A)(0,5 m)(2,5 T)sen(37 ) = 3 N.

16. Sobre os modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, podemos fazer as seguintes afirmações.

0-0) A partir do resultado do espalhamento de partículas α por folhas metálicas finas, Rutherford concluiu que a densidade de carga positiva do modelo atômico de Thomson era muito maior que a real. 1-1) A estabilidade do átomo de Bohr era garantida por um postulado, pois, de acordo com a física clássica, um elétron em movimento circular teria perdas de energia por irradiação devido à sua aceleração centrípeta. 2-2) De acordo com o modelo de Rutherford, os elétrons se distribuem em órbitas quantizadas na região ao redor do núcleo denominada eletrosfera. 3-3) A razão entre as energias quantizadas de duas órbitas no modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é igual à razão entre os números quânticos associados a estas órbitas. 4-4) No modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio, o produto da velocidade do elétron pelo raio da órbita é quantizado.


Resposta: FVFFV Justificativa: 0-0) FALSA, pois, a partir do resultado do espalhamento de partículas α por finas folhas metálicas, Rutherford concluiu que a densidade de carga positiva do modelo atômico de Thomson era muito menor que a real, criando, assim, o conceito de núcleo atômico. 1-1) VERDADEIRA, pois, de fato, elétrons acelerados irradiam energia, de acordo com a física clássica, devendo espiralar até o núcleo. Bohr “resolveu” a questão da estabilidade atômica por meio de um postulado. 2-2) FALSA, pois Rutherford não considerou a quantização das órbitas eletrônicas em seu modelo. 3-3) FALSA, pois a razão entre as energias quantizadas de duas órbitas no modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é igual ao inverso do quadrado da razão entre os números quânticos associados a estas órbitas. 4-4) VERDADEIRA, pois Bohr considerou, em seu modelo, que o momento angular do elétron em uma órbita circular é quantizado, sendo este proporcional ao produto da velocidade do elétron pelo raio da sua órbita.

MATEMÁTICA 01. A curva da figura abaixo representa parte do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação

2

y – 4y – 4x = 0. Com base nesses dados, analise as afirmações seguintes.

0-0) Para cada y real, existe um real x tal que (x,y) está na curva. 1-1) A curva é o gráfico da função y = 2 ± 2 x + 1 , com domínio os reais ≥ -1. 2-2) A parte da curva em traço pontilhado ilustra o gráfico da função y = 2 + 2 x + 1 , com domínio os reais ≥ -1. 3-3) A parte da curva em traço contínuo ilustra o gráfico da função y = 2 2 x + 1 , com domínio os reais ≥ -1. 4-4) Não é possível expressar x como função de y.

Resposta: VFVVF Justificativa: Completando quadrados, obtemos 2

2

y – 4y + 4 = 4x + 4 ou (y – 2) = 4 (x +1).


Portanto y = 2 ± 2 x + 1 , que são duas funções de x.

02. Na ilustração a seguir, temos parte dos gráficos das funções f : IR → IR dada 2

por f(x) = 5 – x e g : IR - { 0 }

IR dada por g(x) = 2/x.

Analise as afirmações a seguir referentes às duas funções. 10 8 6 4 2 -6

-4

-2

0 -2

2

4

6

-4 -6 -8 -10

0-0) Um dos pontos de interseção dos gráficos de f e g é (2, 1). 1-1) As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g são as raízes 3 reais da equação x – 5x + 2 = 0. 2 2-2) f(x) – g(x) = (x – 2)(x + 2x – 1)/x , para todo x real e diferente de zero. 3-3) O ponto de interseção dos gráficos de f e g situado no terceiro quadrante tem ordenada 2(1 - 2 ). 4-4) Os gráficos de f e g se interceptam em quatro pontos.

Resposta: VVFVF Justificativa: Substituindo x = 2 nas duas funções obtemos f(2) = 1 e g(2) = 1; logo, o ponto (2, 1) está no gráfico das duas funções. Temos f(x) = g(x) se e somente se 5 – 2 3 x = 2/x que é equivalente a x – 5x + 2 = 0. Do cálculo anterior, temos que f(x) – 3 2 3 g(x) = (-x + 5x - 2)/x = - (x - 2)(x + 2x - 1)/2, dividindo x – 5x + 2 por (x – 2). As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g são as raízes de (x 2)(x + 2x -1) = 0 que são x = 2 e x = (-2 ± 2 2 )/2 = -1 ± 2

2/(-1 -

2 ) = -2(-1 +

2 ) = 2(1 -

2 e g(-1 -

2)=

2 ).

03. Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado 1, e BCG é um triângulo equilátero.


A

B

E G F

D

C

0-0) O ângulo DEC mede 45º 1-1) O segmento ED mede

3 3

2-2) A tangente do ângulo AEB é

3+ 3 2

3-3) O triângulo EBC é isósceles 4-4) O segmento EB mede

1+ 2 3 3

Resposta: FVVFF Justificativa: o

o

o

ECB = CED = 60 , ECD = 30 e tg 30 = ED/DC = 1/ 3 Então ED = 1/ 3 e AE = 1 – 1/ 3 . Portanto, a tangente do ângulo AEB é (3 +

3 )/2. O ângulo EBC é maior que 60º e o ângulo BEC é menor que 60º. 2

 1 1  2 7−2 3  = 1 + 1Temos: EB = 1 +  1 − + = e EB  3 3 3 3  2

2

7−2 3 . 3

04. Se o número complexo 3 + 2i é raiz da equação x3 – 23x + c , com c sendo uma constante real, qual o valor de c?

Resposta: 78 Justificativa: 2

3

3 + 2i é raiz da equação x – 6x + 13 e, dividindo x – 23x + c por este polinômio obtemos quociente x + 6 e resto c – 78. Para o resto ser zero devemos tomar c = 78.

05. Diferentes quantidades de fertilizantes são aplicadas em plantações de cereais

com o mesmo número de plantas, e é medido o peso do cereal colhido em cada plantação. Se x kg de fertilizantes são aplicados em uma plantação onde foram colhidas y toneladas (denotadas por t) de cereais, então, admita que estes r valores estejam relacionados por y = k. x , com k e r constantes. Se, para x = 1 kg, temos y = 0,2 t e, para x = 32 kg, temos y = 0,8 t, encontre o valor de x, em kg, quando y = 1,8 t e assinale a soma dos seus dígitos.

Resposta: 09 Justificativa: r

Substituindo x = 1 e y = 0,2 em y = kx , obtemos 0,2 = k.1 e k = 0,2. r 2 Substituindo x = 32 e y = 0,8 obtemos 0,8 = 0,2.32 que é equivalente a 2 =


5r

0,4.

2 e segue que r = 2/5=0,4. Portanto, y = 0,2.x 0,4 1/0,4 5 = 3 = 243 kg. obtemos 1,8 = 0,2.x e x = 9

. Substituindo y = 1,8

06. A população de peixes de um lago é atacada por uma doença e deixa de se

reproduzir. A cada semana, 20% da população morre. Se inicialmente havia 400.000 peixes no lago e, ao final da décima semana, restavam x peixes, assinale 10log x. Dado: use a aproximação log 2 ≈ 0,3.

Resposta: 46 Justificativa: n

A população de peixes no lago após n semanas é P(n) = 400000(0,8) . x = 5 10 5 10 10 10 -5 P(10) = 4.10 .(0,8) = 4.10 .8 /10 = 4.8 .10 logo log x = log 4 + 10log 8 – 5log 10 ≈ 2.0,3 + 30.0,3 – 5 = 32.0,3 – 5 = 9,6 – 5 = 4,6.

07. Em um grupo de cinco torcedores, três torcem pelo time A, e dois torcem pelo time B. Escolhendo aleatoriamente três torcedores do grupo, qual a probabilidade percentual de serem selecionados os dois torcedores do time B?

Resposta: 30 Justificativa: 3

O número de maneiras de escolher três dentre os cinco torcedores é C5 = 5.4/2 = 10. O número de maneiras de escolher três torcedores dos quais dois são os que torcem pelo time B é três. A probabilidade procurada é 3/10 = 30%.

08. Na ilustração a seguir, temos a circunferência com equação x2 + y2 + 6x + 8y = 75 e a reta passando pela origem e pelo centro da circunferência. Determine o ponto da circunferência mais distante da origem e indique esta distância.

Resposta: 15 Justificativa: 2

A equação da circunferência também pode se escrever na forma (x + 3) + (y


2

2

+ 4) = 10 , e a circunferência tem centro no ponto (-3, -4) e raio 10. A reta passando pela origem e pelo centro da circunferência tem equação y = -4x/(-3) = 4x/3. Os pontos da circunferência mais próximo e mais distante da origem são as interseções da circunferência com a reta passando pela origem e pelo centro da circunferência. Substituindo y = 4x/3 na equação da circunferência, 2 2 2 obtemos (x + 3) + (4x/3 + 4) = 100 que se simplifica como (x + 3) + 16(x + 2 2 3) /9 = 100 e também como (x + 3) = 36 e x = ±6 – 3 = 3, -9. Os pontos de interseção são (3, 4) e (-9, -12). O ponto mais distante da origem é (-9, -12), e a distância é

2 2 9 + 12 = 15.

09. Nos anos de 2008, 2009 e 2010, um trabalhador recebeu um total de

rendimentos de R$ 66.200,00. Se a renda do trabalhador, em 2010, foi 10% superior à renda de 2009, e a renda em 2009 foi 10% superior à renda de 2008, calcule o total de rendimentos do trabalhador em 2010 e indique a soma de seus dígitos.

Resposta: 08 Justificativa: Se x é a renda do trabalhador em 2010, então, a sua renda, em 2009, foi de 2 x/1,1 e, em 2008, foi de x/1,1 . Segue que x + x/1,1 + x/1,21 = 66200 e x.3,31 = 1,21.66200 e x = 1,21.20000 = 24200 reais.

2 − 2x + 4 A B C 10. Sabendo que x3 2 = + + , assinale A + B + 2C.

x + x − 2x

x

x+2

x −1

Resposta: 02 Justificativa: Temos

A( x 2 + x − 2) + B( x 2 − x ) + C( x 2 + 2x ) A B C + + = x x + 2 x −1 x ( x 2 + x − 2) 2 − 2x + 4 = x3 2 + x x − 2x

Igualando os numeradores, temos A + B + C =1, A – B + 2C = -2 e -2A = 4. Portanto, A = -2, 2A + 3C = -1, C = 1 e B = 2. Logo, A + B + 2C = -2 + 2 + 2 = 2.

11. Considere três cubos, com arestas medindo 1 cm, 2 cm e 3 cm. Os cubos serão colados ao longo de suas faces de modo a se obter um sólido. Pretende-se saber quais os sólidos com menor área total da superfície.


Por exemplo, se a colagem é feita como na ilustração a seguir temos um sólido 2 com área da superfície 6(1 + 4 + 9) – (8 + 2) = 74 cm .

Dentre os sólidos obtidos, colando os três cubos ao longo de suas faces, existem alguns com menor área total da superfície. Indique o valor desta área 2 em cm .

Resposta: 72 Justificativa:

2

As somas das áreas das superfícies dos três cubos é 6(1 + 4 + 9) = 84 cm . A 2 maior área de contato dos dois cubos maiores é 4 cm , o que diminui a área 2 do sólido em 2.4 = 8 cm . A maior área de contato do cubo menor com o sólido já construído é obtida quando o menor tem uma face de contato com cada um dos dois cubos maiores, o que diminui a área do sólido agora 2 construído em 2.2 = 4 cm . A menor área de superfície possível é 84 – 8 – 4 = 2 72 cm e um dos sólidos possíveis está ilustrado a seguir.

12. Uma locadora de vídeos tem três estilos de filmes: de ficção científica, dramáticos e comédias. Sabendo que:


- o total de filmes de ficção científica e dramáticos, adicionado de um quarto dos filmes de comédia, corresponde à metade do total de filmes da locadora; - o número de filmes de comédia excede em 800 o total de filmes de ficção científica e dramáticos; - o número de filmes dramáticos é 50% superior ao número de filmes de ficção científica. Encontre o número de filmes dramáticos da locadora e indique a soma de seus dígitos.

Resposta: 12 Justificativa: Sejam x, y e z os números respectivos de filmes de ficção, dramáticos e de comédias. Da primeira condição, temos x + y + z/4 = (x + y + z)/2 que se simplifica como x + y –z/2 = 0. A segunda condição se traduz como z = 800 + x + y ou x + y – z = -800. A terceira condição se escreve simbolicamente como y = 1,5x. Subtraindo as duas primeiras igualdades obtemos z/ 2 = 800 e z = 1600. Substituindo z na primeira equação, obtemos x + y = 800. Substituindo nesta equação y = 1,5x obtemos 2,5x = 800 e x = 320, y = 480.

13. Qual o menor inteiro positivo que deixa resto 2, quando dividido por 3; resto 3, quando dividido por 5, e resto 5, quando dividido por 7?

Resposta: 68 Justificativa: Os naturais que deixam resto 2 quando divididos por 3 são 2, 5, 8, 13, ... e 8 também deixa resto 3 quando dividido por 5. Os naturais que deixam resto 2, quando divididos por 3, e resto 3, quando divididos por 5 são 8, 23, 38, 53, 68, .. e 68 também deixa resto 5 quando dividido por 7.

14. Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície 2

3

36 3 cm . Indique o volume do octaedro, em cm .

Resposta: 36 Justificativa: Se a aresta do octaedro mede a cm, então, a área de sua superfície é 8.a

2

3 /4 = 2 a

2

3 = 36 3 e

a = 3 2 cm. A altura de uma das pirâmides quadradas que formam metade do octaedro mede

2

2 (a 3 / 2) − (a / 2) = a / 2 cm, e o volume do octaedro


2

será 2.a .(a/ 2 )/3 = a

3

3

2 /3 = 27.2 2 . 2 /3 = 36 cm .

15. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que:

- o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas; - existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física; - existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática; - o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150; - o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190. Quantos alunos cursam as três disciplinas?

Resposta: 22 Justificativa: O número de alunos que cursam exatamente uma disciplina é 150; o número de alunos que cursam exatamente duas disciplinas é 5 + 7 + 6 = 18. O número de alunos que cursam as três disciplinas é 190 – 18 – 150 = 22.

16. Quantas soluções a equação trigonométrica sen2 x + cos x = 5/4 admite no intervalo [0, 60π]?

2

Parte do gráfico da função sen x + cos x está esboçada abaixo.

Resposta: 60 Justificativa: 2

2

2

Substituindo sen x = 1 – cos x na equação obtemos cos x – cos x + ¼ = 0 que tem a raiz dupla cos x = ½. A igualdade anterior tem as soluções x = ±π/3 + 2kπ. Em cada ciclo completo, a equação admite duas soluções; logo, no intervalo [0, 60π], admite 30.2 = 60 soluções.


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