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CAPITULO I Funciones CAPITULO II Integrales CAPITULO III Ecuaciones diferenciales CAPITULO IV Método para resolver una ecuación diferencial


Funciones 1.1 Exponenciales y Logarítmicas 1.2 Diferenciación de una Función Exponencial 1.3 Diferenciación de una Función Logarítmica 1.3.1 Diferenciación Logarítmica


Integrales 2.1 Integral Indefinida 2.2 Integración de Funciones Trigonométricas 2.3 Teorema Fundamental del Cálculo 2.4 Método de Sustitución 2.4.1 Sustitución para integrales definidas

2.5 Integración por partes


Ecuaciones Diferenciales 3.1 Introducción 3.2 Solución de una Ecuación Diferencial 3.2.1 Comprobación de la solución de una ED

3.3 Obtención de una Ecuación Diferencial a partir de la solución general.


Métodos Para Resolver una ED 4.1 Introducción 4.1.1 Objetivo de los métodos para la obtención de la solución general.

4.2 Ecuaciones de Variables Separables 4.3 Ecuaciones Homogéneas 4.4 Ecuaciones Exactas


Cálculo con Geometría Analítica R. E. Larson y R. P. Hostetler Mc. Graw-Hill, 2000

Cálculo con Geometría L. Leiithold Harla, 1992 Cálculo, Concepto y Contextos J. Stewart Internacional Thompson, 1999


Ecuaciones Diferenciales E. D. Rainville Nueva Editorial Interamericana, 1987

Cálculo Frnakes Ayres Jr., Elliot Mendelson Mc. Graw-Hill, 2001 Matemáticas Superiores para Ingeniería C. Ray Wyle Mc. Graw-Hill, 1994


Definición

f :AB

f Función A y B Conjuntos

La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.

A

x

f(x)

a

f(a)

B


Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales:

ABR

Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f). Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A. El número f(x) es el valor de f en x.


R( f )   f ( x ) : x  A y

y=f(x)

Rango

x Dominio


Ejemplo Encuentre el dominio y rango de cada funciรณn: 1. f(x)=2x-1 2. g(x)=x2


Solución 1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.

1 -1

-1

/2 1

1


Solución 2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo. 4 3 2 1 -2

-1

1

2


Funciones Potencia Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:

f (x)  Ejemplos:

x

a

aR

f (x)  x 2 g( x ) 

x

h( x )  x 1


Función Exponencial Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma:

f (x)  a

x

a0

x R

Ejemplos:

f (x)  2

x

g( x )  3 2 x

1 h( x )    2

x


Propiedades de la Función Exponencial Siendo:

x, y  R

a, b  0

1.

a0  1

4.

 ab 

2.

a x a y  a xy

5.

a 

x

a x y 3.  a ay

x

x y

x

 axbx  a x y

x a a   6.    x b b


En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828. Definición La función exponencial para cualquier x є R se define como: 1 x e  Lim 1  x  x  2.718281828 x 0

Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.


Gráfica de la Función Exponencial “base e” 4 3 2 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5


Función Logarítmica Para a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como:

log a x  b  a b  x Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.


Las funciones exponenciales y logarĂ­tmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Forma LogarĂ­tmica Forma Exponencial log28=3

23=8

loga1=0

a0=1

log10 0.1=-1

10-1=0.1

log10 1000=3

103=1000


Propiedades de la Función Logarítmica Siendo: a, b  1 y x, y >0 se tienen las siguientes características: 1. log a 1  0 3. log a  xy   log a x  log a y n 5. log a x  n log a x

1 7. log a b  log b a

2. log a a  1 x 4. log a    log a x  log a y y log b x 6. log a x  log b a


Logaritmo Natural Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por:

ln x  log e x

Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.


Funciรณn de Logaritmo Natural 0.5 -1 -2 -3 -4

1

1.5

2


Propiedades como Funciones Inversas 1.Si a > 0 y a  1 se tiene:

log a a x  x

a log a x  x

x  R

x  0

2.Si a = e se tiene:

ln e x  x

e ln x  x

x  R

x  0


Ejemplo: Desarrolla las siguientes expresiones:

10 log 5 9

ln 3 x  2

xy log 2 5

 x  2 ln

2

x3 x  1


Solución: 1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos: x log a    log a x  log a y y

10 log 5  log 5 10  log 5 9 9


Solución: 2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural: log a x n  nlog a x

1 ln 3 x  2  ln  3 x  2  2


Solución: 3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos: log a  xy   log a x  log a y

x log a    log a x  log a y y

xy log 2   log 2 x  log 2 y   log 2 5 5


Solución: 4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural: log a  xy   log a x  log a y

log a x n  nlog a x

x log a    log a x  log a y y 2  x  2 ln 3

x x 1

 ln  x  3

2

1  ln x x  1  2 ln  x  3  ln x  ln  x  1  3 3


Ejercicios para Resolver en Clase: 1. Escribir cada ecuaciĂłn logarĂ­tmica mediante exponencial y viceversa: a) ln8.4 = 2.128 b) 491/2 = 7 2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones: a) log2x2y b) ln(z-1)2


Ejercicios de Tarea: 1. Desarrolla la siguiente expresión:  x 1 ln 3   x  2

3

2. Despejar x de las siguientes expresión: a)

log 10  x  3  log 10 x  1

ln x b) e  4

x c) ln e  3


Funciones de Base Arbitraria

Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es: d x a   ln a  a x dx

y para la derivada de au es: d u u du a   ln a  a dx dx


Ejemplo:

1. Derivar las siguientes funciones: (a)y=2x (b) y=2senx Solución:

(a)

y' 

d x 2   ln 2  2 x dx

d senx 2 (b) dx

y' 

y'   ln 2  2 senx

d senx dx

y'   cos x  ln 2  2 senx


Funciones de Base e

Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es: d x e  ex dx

y para la derivada de eu es: d u u du e e dx dx


Ejercicios para Realizar en Clase:

1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1 b) y=(ex+1)2 c) y=e3x d) y=etan3x


Ejercicios de Tarea:

1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1 b) y=x2ex c) y=e5x


Derivación con Base Arbitraria:

Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de logax es: d 1 log a x   ln a  x dx

y la derivada de logau es: d 1 du log a u   ln a  u dx dx


Ejemplo:

1.Derivar las siguientes funciones: (a)y=log10cosx (b) y=log5(2+senx) Solución:

(a)

d  log 10 cos x  dx 1 d y'  cos x  ln 10 cos x dx y' 

y' 

 senx tan x   ln 10 cos x ln 10

d y' (b) log 5  2  senx  dx y' 

1 d  2  senx   ln 5(2  senx ) dx

y' 

cos x  ln 5(2  senx )


Derivación con Base e

Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es: d 1 ln x  dx x

y la derivada de lnu es: d 1 du ln u  dx u dx


Ejemplo:

1.Derivar las siguientes funciones: (a) y  ln x 3  1

y (b) ln



y'  (b)

x 1 x 2

Solución:

(a)

 

y' 

d ln x 3  1 dx

y' 

1 d 3 x 1 3 x  1 dx

3x 2 y'  3 x 1

y' 

y' 

d  x 1   ln dx  x  2  1 d  x 1    x  1 dx  x  2  x 2 x 5 2 x  1  x  2 


Ejercicios para Resolver en Clase:

1.Derivar las siguientes funciones: a) f    ln cos  

ax b) g x   ln ax c) f  x   x ln x


Ejercicios de Tarea:

1.Derivar las siguientes funciones: a) f  x   log 3 x 2  4

b)

f  x   ln x


El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. Método de la Derivación Logarítmica: 1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar. 2. Derive con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y’.


Ejemplo: 1. Derivar las siguiente ecuación: y

x

3

4

x2  1

 3x  2 5

Solución:

 34  2 x x  1  ln y  ln  5   3x  2   

3 1 ln y  ln x  ln x 2  1  5 ln  3 x  2  4 2

1 dy 3 x 15   2  y dx 4 x x  1 3 x  2 3

dy x 15  x 4 x 2  1  3 x 15   3  y  2         5 2 dx  3x  2  4x x  1 3x  2   4x x  1 3x  2 


Ejercicios para Resolver en Clases:

1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) y   3 x  7  8 x  1 4

2

3

senx y  x b)


Ejercicios de Tarea:

1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

 x  1  x  5 y 8  x  3 4

a)

3

b)

y  xx


Definición Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.

Ejemplo Se necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:

F (x)  x

4

Por lo tanto F es una primitiva de f.

d 4 3 x  4x dx


Familia de Primitivas: Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma: x  I G x   F  x   C C R

Ejemplo Sabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones: G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123 también son primitivas de f(x).

G x   x 4  C

Es la familia de primitivas de f(x)


Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:

 f  x  dx Definición El proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:

 f  x  dx  F  x   C

C R

lo que significa que: d F  x  C   F' x  f  x dx


Partes de la Integración: Variable de Integración

f  x  dx  F  x   C

Símbolo de la Integración Integrando

Constante de Integración


Reglas de la Integración: 1.

 kf  x  dx  k  f  x  dx

2.

  f  x   g x  dx   f  x  dx   g x  dx

n 1 x C 3.  x n dx n 1

n  1

5.  e x dx  e x  C 7.

 senxdx   cos x  C

1 4.  dx  ln x  C x ax x C 6.  a dx  ln a

8.

 cos xdx  senx  C


Reglas de la Integración: 2 9.  sec xdx  tan x  C

2 10.  csc xdx   cot x  C

11.  sec x tan xdx  sec x  C

12.  csc x cot xdx   csc x  C 1 1 dx  sen x C 14.  x2  1

1 dx  tan 1 x  C 13.  2 x 1


Ejemplo: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1 1.  3 dx x

3.

 2senxdx

5.

 3x

4

x dx 2.

  x4. 2 dx

 5 x 2  x dx


Solución: 1.

1 x 2 1 3  x 3 dx   x dx   2  C   2x 2  C 3

2.

3.

x 1/2 x dx   x dx  3

2

2

2 32 2 C  x C  x3  C 3 3

 2senxdx  2 senxdx  2  cos x   C  2cosx  C


Solución: 4.

x2   x  2 dx   xdx   2dx  2  2x  C

5.

  3x

4

 5x 2  x dx  3 x 4 dx  5  x 2 dx   xdx

 x5  3  5

  x3  x2 3 5 5 3 1 2   5   C  x  x  x C 5 3 2   3  2


Ejercicios para resolver en Clase: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1.

 10 x

2.

 x

3

4

 2 sec 2 x dx

 6 x dx

3   3 3.   2 x  6 x  2 dx x 1 


Ejercicios de Tarea: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1.

 x

2.

  2senx  3 cos x  dx

3.

3/2

 2 x  1 dx

x2  x  1 x

dx


Identidades Fundamentales: 1.

1 csc x  senx

2.

1 sec x  cos x

3.

tan x 

senx cos x

4.

cot x  cos xsenx

5.

1 cot x  tan x

6.

sen 2 x  cos 2 x  1

7.

tan 2 x  1  sec 2 x

8.

cot 2 x  1  csc 2 x


Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración: 15.

 tan xdx   ln cos x  C

16.  cot xdx   ln senx  C

17.

 sec xdx  ln sec x  tan x  C

18.  csc xdx   ln csc x  cot x  C


Ejemplo: Calcular la siguiente integral

  tan

2

y  1 dy

Solución:

  tan

2

y  1 dy   sec 2 ydy  tany  C


Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Resolver las siguientes integrales a)

  2senx  3 cos x  dx

b)

  1  csc x cot x  dx

c)

  sec

2

x  senx dx


Entre ambas ramas existe una relaciรณn descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cรกlculo, el cual afirma que la diferenciaciรณn e integraciรณn son operaciones mutuamente inversas.


Teorema Fundamental de Cálculo Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces: b

 f  x  dx  F (b)  F (a) a

Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación: b

 a

f  x  dx   F  x   a  F (b)  F (a) b


Propiedades de la Integral Definida Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces: 1. Si k es cualquier constante entonces: b

b

a

a

 kf  x dx  k  f  x dx 2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces: b

b

b

a

a

a

  f  x   g x  dx   f  x dx   g x dx


Propiedades de la Integral Definida 3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]: b

c

b

a

a

c

 f  x dx   f  x dx   f  x dx 4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es: a

 f  x dx  0 a


Propiedades de la Integral Definida 5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir: b

a

a

b

 f  x dx    f  x dx


Ejemplo Resuelva las siguientes integrales: 1

1.   x 2  3dx 2

4

2.  3 x dx 1


Solución: 1. Geométricamente la integración de la función (1) en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada: 1

 x 2

2

1

1

 3 dx   x 2 dx   3dx 2

1

2

x3  1      3x  2  3 2  1 8       3  6 3 3 2  3


Solución: 2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada: 4

3 1

4

x dx  3 x

1/2

 2 4 

3/2

1

 14

4

x  dx  3  3 / 2  1 3/2

 2 1 

3/2


Ejercicios para Resolver en Clase Resolver las siguientes integrales: 1

1.

 2 xdx 0

0

2.

  x  2dx

1 1

x x dx 3.  3 0


Ejercicios de Tarea Resolver las siguientes integrales: 2

 3   1  dx 1.  2  1x

 1

2.

3

x  2 dx

1 4

3.

 1

x 2 x

dx


Método de Sustitución Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:

 f  g x   g'  x dx  F  g x    C Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:  f  u du  F  u   C Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.


Ejemplo:

1. Resolver la integral: Solución:

u  x3  1  du  3 x 2 dx

2 3 3 x x  1dx 

2 3 1/2 3 x x  1 dx  u du  u    du

u3/2 2 3/2  C  u C 3 3 2

2 3  x 1 3

3/2

2 c  3

x

3

1

3

C


Ejercicios para Resolver en Clases

1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a)

 2x x

b)

 x x

c)

 5 cos x 5 xdx

2

2

4

 1 dx

2

 1 dx


Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución. Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo: 4

 0

 1  2 x  1 1  2 x  1dx    2 x  1 2dx    3/2 2 0 2 4

4

3/2

4

  0

1 3/2 1 3/2 1 26 1 3/2     2 x  1    9   1   27  1   3 3 3 3 0 3


El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación: Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces b

g( b )

a

g( a )

 f  g x   g'  x dx   f  u du


Ejemplo 4

2 x  1dx

0

Solución Tomando la sustitución u=2x+1 tenemos que du  2dx

1  dx  du 2

Hallamos los nuevos límites de integración: x 0

u  0   2 0   1  1

x4

u  4   2 4   1  9


Por lo tanto: 4

0

9

2x  1dx 

udu

1

9

 3/2  9 9 1 1 u   1 2 u3/2   1 u3/2   u 1 / 2 du    21 2 2  2  3 3 1  3  1

1 3/2 26 9  13/2  3 3

9 1


Ejemplo: Evaluar la siguiente integral

1

 x x

2

3

 1 dx

0

u  x 1 2

du  2 xdx

x  0  u 0   0 2  1  1

1  du  xdx 2

x  1  u 1   1 2  1  2 2

4   1 u 1 4 1 3 1 3   1 2 u du  2 1 u du 2  4  1 8 u 2

2

 

2 1

1 4 15 4  2 1  8 8


Ejercicios para Resolver en Clase

Evaluar las siguientes integrales: 5

1.

 1

x 2x  1

dx

e

ln x dx 2.  x 1 7

3.

 3

x  3dx


Ejercicios de Tarea

Calcular las siguientes integrales 1.

x 2  3x  7 x

1

2.

 x x

2

dx

3

 1 dx

1

3.

2  2 x 9  x dx 


Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:

 f  x  g'  x dx  f  x  g x    g x  f '  x dx Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

u  f (x) v  g( x ) du  f ' ( x )dx dv  g' ( x )dx

 udv  uv   vdu


Ejemplo

 xsenxdx Solución

ux du  dx

dv  senx v   cos x

De manera que:

 xsenxdx  x   cos x      cos x dx   x cos x   cos xdx   xcosx  senx  C


 xsenxdx Solución Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:

x2 1 2   xsenx dx  senx  x cos xdx   2 2 2 x  cosxdx es una integral mas difícil de calcular.


Ejemplo

2 x x  e dx

Solución

u  x2

du  2 xdx

dv  e x dx v  ex

De manera que: 2 x 2 x x x e dx  x e  2 xe   dx

La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.


x xe  dx

ux

du  dx

dv  e x dx

v  ex

x x x x x xe dx  xe  2 e dx  xe  e C  

Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:

2 x 2 x x 2 x x x x e dx  x e  2 xe dx  x e  2 xe  e C  

 x 2 e x  2xe x  2e x  C 1

C 1  2C


Ejercicios para Resolver en Clase

Resuelva las siguientes integrales: 1.

 ln xdx

2.

x e  senxdx

3.

2 x  ln xdx

4.

3 sec  xdx


Fórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas b

 udv   uv a

b a

b

  vdu a


Ejemplo 1

 xe 0

De donde:

 xe 0

dx

ux

dv  e x dx

du  dx

v  ex

Por lo tanto: 1

x

x

   e

dx  xe

x 1 0

1

0

x

   e 

dx  xe

  e  0   e  1   1

x 1 0

x 1 0


Ejercicios de Tarea

Resuelva las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4.

 2

2x xe  dx

5.

 x cos xdx

6.

1 sen xdx 

7.

 sen cos  dx

 x cos 2 xdx 0 4

 ln 1 1

x dx

1 x tan xdx  0


Definición Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables. Ejemplo Las siguientes expresiones son ejemplos de ED’s: 2

d y dy 3  2y  0 2 dx dx

dy  y dt Conocida como Ley de Crecimiento Exponencial


En basa a la definición anterior se tiene que: a) Si la función desconocida depende de solo una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria. dy  2x dx

y'  2 x  y

b) Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial. 2v 2v 2 2  v 2 x y


Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado. Orden El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación. Ejemplo Determinar el orden de las ecuaciones diferenciales: 3

 dy  5    7x  8  dx 

d2y  5sen 3 x 2 dx


Solución 3

La ecuación diferencial:

 dy  5    7x  8  dx 

Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada. La ecuación diferencial:

d2y  5sen 3 x 2 dx

Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.


Ejercicios para resolver en clase Determinar el orden de las siguientes ecuaciones: 2

5

d y  d y   dy  2      5   3 x 7   a)  4  2    dx   dx   dx  4

2

6

d y d y  dy  2  7 x b)   x   2  2 dx  dx   dx  2

2

3


Grado El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial. Ejemplo El grado de la ecuación diferencial es: 3

 dy  xy   7 x 5  8   dx  de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.


Ejercicios para resolver en clase Determinar el grado de las siguientes ecuaciones: 2

5

d y  d y   dy  2      5   3 x 7   a)  4  2    dx   dx   dx  4

2

6

d y d y  dy  2  7 x b)   x   2  2 dx  dx   dx  2

2

3


NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para despuĂŠs determinar el grado de la ecuaciĂłn diferencial.


Ejercicios para resolver en clases Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

dy  7x 2  1 dx

b)

d2y dy 3 x  2 dx dx


Ejercicios para resolver en clases Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

dy  7x 2  1 dx

b)

d2y dy 3 x  2 dx dx


Ejercicios de Tarea Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: d3y  dy  d3y dy    5 x  8  a) dx 3  3 x  dx   5 y b) 3 dx    dx  3

d y d y dy c) dx  18 3   8 x   3   dx   dx  3

d)

3 d2y d y 5  3x  2 dx dx 3

3

5


Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad. Ejemplo 2 y  9  x La función definida por ecuación diferencial: x y'  

1 y'  9  x 2 2

puesto que:

es una solución de la

y

   2x    1

2

x 9  x2

y al sustituir en la ED se obtiene una identidad 

x 9x

2



x 9x

2

3 x  3


Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general. Ejemplo Verificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial

xy'3y  0 Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:

y( 3)  2


Solución Derivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:

 

x 3Cx 2  3 Cx 3  0 de esta manera y=Cx3 es solución de la ED. Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:

2  C   3  27C 2 C  27 3

La solución particular es:

2 3 y x 27


Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método: Método 1.Observemos que derivada o derivadas aparecen en la ecuación diferencial. 2.Estas derivas las encontramos al derivar la ecuación que se supone solución. 3.La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.


Ejemplo Comprobar que la y=x2+C no es solución de la ecuación diferencial dy x dx

Solución 1.Observando la ecuación diferencial vemos que aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solución. 2.Derivando y=x2+C tenemos dy  2x dx


Solución 3.Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos: 2x  x 21

Por lo tanto y=x2+C si es solución de la ecuación diferencial dy x dx


Ejercicios para resolver en clase Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada: 1.

y  x  Cx ; 2

 dy  2 x x y  dx 

2. y  Asen(5 x )  B cos(5 x ); 3. y  C  x  C  ; 2

3

d2y  25y  0 2 dx

 dy   dy  2  4 xy  8 y 0      dx   dx 


Ejercicios de tarea Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada: 1.

1

y  C  Cx ;

2. e

2

cos x

y  xy'  x  y'

 1  cos y   C ;

3. y  8 x 5  3 x 2  C ;

4

2

 dy  seny   senx cos y  senx  dx  d2y 3  6  160 x dx 2


Para obtener la ED a partir de su solución general, aplicaremos el siguiente método: 1.Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada. 2.Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.


3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos: a) Si en la última derivada ya no aparecen constantes de integración, esta será la ED que de la solución general dada. b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, asó como también la solución general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integración.


Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es y=x2+C Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=x2+C. Así dy  2x dx

Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.


Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es y=Cx2 Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=Cx2. Así dy  2Cx dx

Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED. y C 2 x

dy  y   2 2  x dx x 


Solución Por lo tanto: dy x  2y dx

Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen constantes de integración.


Ejercicios para resolver en clase Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales 1.

y  C1e x  C 2e x ;

3x y  e  C 1 sen(2 x )  C 2 cos(2 x ) 2.


Ejercicios de tarea Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales 1.

y  tan(3 x  C )

2.

 x  C 1  2  y 2  C 22

00 repaso de calculo e introduccion a las ecs difs  

santisteban

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santisteban

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