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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA

SERIE 1 DE EJERCICIOS MARTÍNEZ-GARCÍA ADÁN* *Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla, Centro Interdisciplinario de Posgrados, Av. Morelos Sur, Número 138, Col. Las Palmas, Cuernavaca, México. adanmargar@gmail.com

1. Una muestra aleatoria simple de datos de cinco meses de ventas da la siguiente información: Mes Unidades Vendidas

1 2 94 100

3 85

4 5 94 92

RESPUESTAS: Suponiendo que la variable “unidades vendidas por mes” se distribuye normalmente, y que es una muestra aleatoria de tamaño n de una población con media μ y varianza σ2, entonces la media y la varianza de la variables mencionada son…

De ésta manera… a) Cuál es la estimación puntual de la media de la población del número de unidades vendidas por mes.

Por lo tanto…

b) Cuál es la estimación puntual de la desviación estándar de la población.

Por lo tanto, si…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Entonces…

2. Se preguntó a 784 niños de una muestra, cuyas edades eran de 9 a 14 años, en qué forma conseguían dinero de sus padres. Se obtuvieron las siguientes respuestas: Fuente de ingresos Sólo domingos. Quehaceres, dádivas y domingos. Quehaceres, dádivas y sin domingos. Nada. Total

Frecuencia 149 219 251 165 784

FRECUENCIA RELATIVA 0.19 0.28 0.32 0.21 1.00

Se sabe que la proporción de un dato estadístico es el número de veces que se presenta ese dato respecto al total de datos. Se conoce también como frecuencia relativa y es uno de los parámetros de cálculo más sencillos. Tiene la ventaja de que puede calcularse para variables cualitativas. Así, también se puede decir que el dato con mayor proporción se conoce como moda. Por tanto…

RESPUESTAS: Se calculó la frecuencia relativa en el cuadro anterior. Asimismo, suponiendo que la variable “formas de conseguir dinero” se distribuye normalmente, y que es una muestra aleatoria de tamaño n de una población con media μ y varianza σ2, entonces (sin considerar el factor de corrección)…

Así… a) Qué proporción de niños recibe domingo como única fuente de dinero.

b) Qué proporción de niños recibe dinero por quehaceres y dádivas, pero no lo recibe como domingo.

c) Respecto a todas las fuentes de ingresos, ¿qué proporción de niños reciben al menos algo de dinero de sus padres?

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA 3. Una muestra aleatoria simple de tamaño 50 se selecciona de una población con una desviación estándar de 10. Calcule el valor del error estándar para cada uno de los siguientes casos (si es necesario, aplique el factor de corrección de población finita). RESPUESTAS: Para esto, se sabe que la distribución muestral de medias tiene un error estándar de… - Para una población infinita con n>30 (o muestreo con reemplazo), o población normal:

- Para población finita o muestreo sin reemplazo (con

,

donde

):

, se denomina factor de corrección.

Por otra parte, los datos de que se dispone son:

.

a) El tamaño de la población es infinito.

b) El tamaño de la población es N=50000. Como es una población finita, primero se debe determinar…

Y como se puede observa…

Por lo tanto, no es necesario emplear el factor de corrección, y…

c) El tamaño de la población es N=5000. Como es una población finita, primero se debe determinar…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Y como se puede observa… Por lo tanto, no es necesario emplear el factor de corrección, y…

d) El tamaño de la población es N=500. Como es una población finita, primero se debe determinar…

Y como se puede observa… Por lo tanto, es necesario emplear el factor de corrección, y…

4. La media del precio por galón de gasolina regular vendida en USA es de 1.20 dólares. Suponga que la media de la población del precio por galón es µ = 1.20 dólares, y que la desviación estándar de la población es σ = 0.10 dólares. También suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 50 gasolineras, y que se calcula un precio de la media de la muestra con los datos reunidos en esas gasolineras. RESPUESTAS: De ésta manera… a) Muestre la distribución de muestreo de la media de la muestra

para las 50 gasolineras.

Supongamos que la población presenta un tamaño N y que la variable de estudio es el “precio por galón de gasolina”. Así, la media de la población y la desviación estándar de la misma son…

…respectivamente. Por otra parte, el paso siguiente es extraer de la población muestras aleatorias simples de tamaño n=50. Con esto, al conjunto de todas las muestras posibles (de tamaño 50), se le denomina distribución muestral.

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Por lo tanto, para cada una de las muestras se determina el valor promedio. Y se puede observar que, el promedio de las medias muestrales es igual a la media poblacional…

Asimismo, la varianza de la variable aleatoria “media muestral”, es…

Y finalmente, el valor que cuantifica la variación de las medias muestrales, para un mismo tamaño de muestra es el Error Estándar de la media…

Por ello, se puede decir que… 1) Si la población de origen es normal, la distribución de la media muestral es también normal, independiente del tamaño (n) de la muestra extraída con una media  y variancia 2/n. 2) Si la población de origen no presenta una distribución normal o si el tamaño de la muestra es grande, por el Teorema Central del Límite se cumple: “Dada una población de cualquier forma funcional no normal con una media  y variancia finita 2, la distribución muestral de la media, calculada a partir de muestras de igual tamaño (n) de dicha población, será aproximadamente normal con media  y variancia 2/n, cuando la muestra es grande”. 3) A medida que el tamaño (n) de la muestra aumenta, la distribución muestral de la media se concentra cada vez más alrededor de , y la variabilidad de las medias, cuantificadas por el error estándar, disminuye.

En conclusión, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el error para un tamaño de muestra dado. Las ecuaciones para la distribución muestral dependerán de la distribución de la población, del estadístico y del tamaño de la muestra. De ésta forma (y sin considerar factores de corrección)…

b) Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media de la muestra a menos de 0.02 dólares de la media de la población. Es decir, obtener una media de la muestra de entre: 1.20-0.02=1.18 y 1.20+0.02=1.22 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una media entre 1.18 y 1.22); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Asimismo, los datos que se tienen de la población son: Y de la muestra…

Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (1.18 y 1.22) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA c) Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media de la muestra a menos de 0.01 dólares de la media de la población.

Es decir, obtener una media de la muestra de entre: 1.20-0.01=1.19 y 1.20+0.01=1.21 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una media entre 1.19 y 1.21); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (1.19 y 1.21) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA 5. El programa de pruebas universitario de la oficina universitaria en USA reportó una calificación SAT de la media de la población de µ=1017. Suponga que la desviación estándar de la población es de σ=100.

RESPUESTAS: De ésta manera, los datos que se tienen de la población son:

a) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media de la muestra de calificación SAT que quede a menos de 10 de la media de la población. …y de la muestra:

Es decir, obtener una media de la muestra de entre: 1017-10=1007 y 1017+10=1027 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una media entre 1007 y 1027); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (1007 y 1027) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

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Finalmente…

b) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media de la muestra de calificación SAT que quede a menos de 20 de la media de la población. Para éste caso, se debe obtener una media de la muestra de entre: 1017-20=997 y 1017+20=1037 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una media entre 997 y 1037); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (997 y 1037) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

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Finalmente…

6. La renta promedio mensual para un departamento de dos recámaras en Atlanta es de 982 dólares. Suponga que la media poblacional es de 982 dólares y la desviación estándar es de 210 dólares.

RESPUESTAS: De ésta manera, los datos que se tienen de la población son:

a) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 40 departamentos de dos recámaras dé una renta mensual promedio de ± 100 dólares de la media poblacional. …y de la muestra:

Para éste caso, se debe obtener una media de la muestra de entre: 982-100=882 y 982+100=1082 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una media entre 882 y 1082); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (882 y 1082) con…

Se tiene…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA De donde se desprende que…

Finalmente…

b) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 40 departamentos de dos recámaras dé una renta mensual promedio de ± 25 dólares de la media poblacional. Para éste caso, se debe obtener una media de la muestra de entre: 982-25=957 y 982+25=1007 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una media entre 957 y 1007); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (957 y 1007) con…

Se tiene…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA De donde se desprende que…

Finalmente…

7. La proporción poblacional es de 0.30 ¿cuál es la probabilidad de que una proporción muestral esté a ±0.04 de la proporción poblacional para cada uno de los tamaños siguientes de muestra.

RESPUESTAS: Para la población, se tiene la información siguiente: a) n=100. …y para la muestra:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.30-0.04=0.26 y 0.30+0.04=0.34 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.26 y 0.34); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.26 y 0.34) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

b) n=200. …y para la muestra:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.30-0.04=0.26 y 0.30+0.04=0.34 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.26 y 0.34); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.26 y 0.34) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

c) n=500. …y para la muestra:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.30-0.04=0.26 y 0.30+0.04=0.34 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.26 y 0.34); así, el cuestionamiento se puede plantear como… Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.26 y 0.34) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

d) n=1000. …y para la muestra:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.30-0.04=0.26 y 0.30+0.04=0.34 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.26 y 0.34); así, el cuestionamiento se puede plantear como… Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.26 y 0.34) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

8. El presidente de Distribuidores Díaz S.A., cree que 30% de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos. Se va a usar una muestra aleatoria simple de 100 pedidos para estimar la proporción de clientes nuevos. RESPUESTAS: A continuación, se describe con detalle las estimaciones requeridas. a) Suponga que el presidente está en lo correcto y que p= 0.30. ¿Cuál es distribución muestral de este estudio?

para

La distribución muestral de la proporción se puede definir como la distribución de probabilidad de todos los valores posibles de la proporción muestral ( ). Asimismo, la media de las proporciones muestrales es Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA la media de todos los valores posibles de las proporciones que se pueden generar mediante las diversas muestras aleatorias simples. También, se puede demostrar que la media de las proporciones muestrales es igual a la proporción de la población. Así, el valor esperado de las proporciones muestrales es igual a la proporción poblacional ( ). Por otra parte, el error estándar de la proporción es la desviación estándar de la distribución de muestreo de la proporción, por lo que mide el grado en que se espera que varíen las proporciones de las diferentes muestras de la proporción de la población (esto, debido al error aleatorio en el proceso de muestreo). De ésta manera, la distribución de muestreo tiene un error estándar igual a: - Para una población finita con n>30 (n=tamaño de la muestra y N=tamaño de la población) o muestreo con reemplazo…

- Para una población finita y muestreo sin reemplazo con

Finalmente, la distribución de muestreo que se obtendría al tomar todas las muestras de un tamaño específico constituye una distribución teórica de muestreo. En la práctica, el tamaño y el carácter de la mayor parte de las poblaciones impide que los responsables de las decisiones tomen todas las muestras posibles de una distribución de población; sin embargo, se han desarrollado teorías para estimar las características de éstas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesario que se recolecten grandes números de muestras. Por lo tanto…

b) Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral

esté entre 0.20 y 0.40

Para la muestra se tienen:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.20 y 0.40 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.20 y 0.40); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.20 y 0.40) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

c) Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral

esté entre 0.25 y 0.35

Para la muestra se tienen:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.25 y 0.35 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.25 y 0.35); así, el cuestionamiento se puede plantear como… Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.25 y 0.35) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

9. Si bien la mayoría de las personas creen que el desayuno es el alimento más importante del día, 25% de los adultos no desayunan. Suponga que la proporción poblacional es p = 0.25 y que es la proporción muestral de adultos que no desayunan, determinada de una muestra de 200 adultos. RESPUESTAS: Al igual que en el inciso anterior… a) Muestre la distribución muestral de . La distribución muestral de la proporción se puede definir como la distribución de probabilidad de todos los valores posibles de la proporción muestral ( ). Asimismo, la media de las proporciones muestrales es la media de todos los valores posibles de las proporciones que se pueden generar mediante las diversas muestras aleatorias simples. También, se puede demostrar que la media de las proporciones muestrales es Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA igual a la proporción de la población. Así, el valor esperado de las proporciones muestrales es igual a la proporción poblacional ( ). Por otra parte, el error estándar de la proporción es la desviación estándar de la distribución de muestreo de la proporción, por lo que mide el grado en que se espera que varíen las proporciones de las diferentes muestras de la proporción de la población (esto, debido al error aleatorio en el proceso de muestreo). De ésta manera, la distribución de muestreo tiene un error estándar igual a: - Para una población finita con n>30 (n=tamaño de la muestra y N=tamaño de la población) o muestreo con reemplazo…

- Para una población finita y muestreo sin reemplazo con

Finalmente, la distribución de muestreo que se obtendría al tomar todas las muestras de un tamaño específico constituye una distribución teórica de muestreo. En la práctica, el tamaño y el carácter de la mayor parte de las poblaciones impide que los responsables de las decisiones tomen todas las muestras posibles de una distribución de población; sin embargo, se han desarrollado teorías para estimar las características de éstas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesario que se recolecten grandes números de muestras. Por lo tanto…

b) Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral quede a ± 0.03 de la proporción poblacional. Para la muestra se tienen:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.25-0.03=0.22 y 0.25+0.03=0.28 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.22 y 0.28); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.22 y 0.28) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

c) Cuál es la probabilidad con ± 0.05 Para la muestra se tienen:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.25-0.05=0.20 y 0.25+0.05=0.30 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.20 y 0.30); así, el cuestionamiento se puede plantear como… Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.20 y 0.30) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

10. El instituto de mercadotecnia de alimentos indica que 17% de las familias gastan más de 100 dólares por semana en abarrotes. Suponga que la proporción poblacional es p = 0.17 y que de ella se selecciona una muestra aleatoria simple de 800 familias. RESPUESTAS: A continuación, y de forma similar al inciso anterior… a) Describa la distribución muestral de , la proporción muestral de familias que gastan más de 100 dólares por semana en abarrotes. La distribución muestral de la proporción se puede definir como la distribución de probabilidad de todos los valores posibles de la proporción muestral ( ). Asimismo, la media de las proporciones muestrales es la media de todos los valores posibles de las proporciones que se pueden generar mediante las diversas Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA muestras aleatorias simples. También, se puede demostrar que la media de las proporciones muestrales es igual a la proporción de la población. Así, el valor esperado de las proporciones muestrales es igual a la proporción poblacional ( ). Por otra parte, el error estándar de la proporción es la desviación estándar de la distribución de muestreo de la proporción, por lo que mide el grado en que se espera que varíen las proporciones de las diferentes muestras de la proporción de la población (esto, debido al error aleatorio en el proceso de muestreo). De ésta manera, la distribución de muestreo tiene un error estándar igual a: - Para una población finita con n>30 (n=tamaño de la muestra y N=tamaño de la población) o muestreo con reemplazo…

- Para una población finita y muestreo sin reemplazo con

Finalmente, la distribución de muestreo que se obtendría al tomar todas las muestras de un tamaño específico constituye una distribución teórica de muestreo. En la práctica, el tamaño y el carácter de la mayor parte de las poblaciones impide que los responsables de las decisiones tomen todas las muestras posibles de una distribución de población; sin embargo, se han desarrollado teorías para estimar las características de éstas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesario que se recolecten grandes números de muestras. Por lo tanto…

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a ± 0.02 de la proporción poblacional? Para la muestra se tienen:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.17-0.02=0.15 y 0.17+0.02=0.19 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.15 y 0.19); así, el cuestionamiento se puede plantear como…

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Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.15 y 0.19) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

c) Haga lo mismo que en el inciso b), pero ahora considere una muestra de 1600 familias. Para la muestra se tienen:

Para éste caso, se debe obtener una proporción muestral de entre: 0.17-0.02=0.15 y 0.17+0.02=0.19 (es decir, se debe determinar la probabilidad de encontrar una proporción muestral entre 0.15 y 0.19); así, el cuestionamiento se puede plantear como… Martínez García Adán Posgrado en Matemáticas / Estadística Inferencial

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Por otra parte, normalizando o estandarizando los datos de interés (0.15 y 0.19) con…

Se tiene…

De donde se desprende que…

Finalmente…

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1. VALOR ESPERADO Y PROPORCIONES