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Examen Resuelto de Probabilidad y Estadística I Diseño Conceptual y Gráfico: Martínez-García Adán

INC. A LA UAEM DESDE 1999 CLAVES 2000-I-P.S.A. Y 99-CXXII-P

EXAMEN DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I CATEDRÁTICO: MARTÍNEZ-GARCÍA ADÁN* *Escuela Preparatoria Freinet de Morelos, Av. Domingo 10, Número 211, Col. Lomas de la Selva o El Empleado, Cuernavaca, Morelos, México. adanmargar@gmail.com

NOMBRE______________________________ CALIFICACIÓN________ INSTRUCCIONES. Todos los reactivos debes contestarlos en hojas blancas por separado (en estas debes incluir todos tus procedimientos y las justificaciones de tus respuestas), no debes escribir en esta hoja de examen (excepto tu nombre). Puedes utilizar calculadora científica. 1. Dado el conjunto universal y continuación. a)

y sus subconjuntos ; determina los conjuntos requeridos a

b)

RESPUESTA: Primero, se debe iniciar por determinar los conjuntos complementos involucrados en las operaciones…

Entonces, para el inciso a)…

Por lo tanto…

Y para el inciso b)…

Por lo tanto…

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2. Un grupo de cinco solicitantes para un par de trabajos idénticos está formado por tres hombres y dos mujeres. El empleador ha de seleccionar dos de los cinco solicitantes para los trabajos. Denote con S el conjunto de todos los resultados posibles para la selección del empleador. Denota con A al subconjunto de resultados correspondientes a la selección de dos hombres y con B al subconjunto correspondiente a la selección de al menos una mujer. Indiqua los resultados para: . Denota los hombres y mujeres diferentes con M1, M2, M3 y W1, W2, respectivamente.

RESPUESTA: En el cuadro siguiente se observan las posibles combinaciones de elección del empleador. M1

M2

M1 M1 M1 M1

M2

M3

W1

W2

M3 W1 W2 M2 M2 M2

M3 W1 W2 M3 M3

W1 W1

W2 W2

NÚMERO DE COMBINACIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Por lo tanto, el conjunto S está dado por…

Y los subconjuntos A y B…

Finalmente, se determina el conjunto complemento de B, o B complemento es…

…para así encontrar los conjuntos solicitados:

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3. Los estadounidenses pueden ser bastante suspicaces, en especial cuando se trata de conspiraciones del gobierno. Sobre la pregunta de si la Fuerza Aérea de Estados Unidos tiene oculta la prueba de la existencia de vida inteligente en otros planetas, las proporciones de estadounidenses, en relación a sus opiniones, se dan en la siguiente tabla: Opinión Muy probable Poco probable Improbable Otra

Proporción 0.24 0.24 0.40 0.12

Supón que se selecciona un estadounidense al azar y que se registra su opinión. a) ¿Cuáles son los eventos simples para este experimento? b) Todos los eventos simples que diste en el inciso a), ¿son igualmente probables? Si no es así, ¿cuáles son las probabilidades que deben asignarse a cada uno? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada encuentre al menos un poco probable que la Fuerza Aérea esté ocultando información acerca de vida inteligente en otros planetas?

RESPUESTA: a) Designemos con E1, E2, E3 y E4 los eventos simples. Correspondiendo: E1=Muy Probable, E2=Poco Probable, E3=Improbable y E4=Otra. b) Las proporciones de cada evento simple se pueden expresar en términos de frecuencias relativas, entonces…

OPINIÓN Muy Probable Poco Probable Improbable Otra

EVENTO SIMPLE E1 E2 E3 E4

PROPORCIÓN 0.24 0.24 0.40 0.12

FRECUENCIA RELATIVA 24/100 24/100 40/100 12/100

PROBABILIDAD EN % 24 24 40 12

Ahora, tomando la probabilidad de cada evento simple como la frecuencia relativa, se puede apreciar claramente que cada evento no es igualmente probable.

c) Cuando se dice al menos un poco probable, se están considerando los eventos simples E1 y E2. Por lo tanto, denominemos A al evento de que la opinión del estadounidense sea: al menos poco probable. Así, como cada uno de los eventos simples son mutuamente excluyentes…

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4. Un espacio muestral está formado por cinco eventos simples: E1, E2, E3, E4 y E5. a) Si P(E1)=P(E2)=0.15, P(E3)=0.4 y P(E4)=2P(E5), halla las probabilidades de E4 y E5. b) Si P(E1)=3P(E2)=0.3, encuentra las probabilidades de los eventos simples restantes si se sabe que son igualmente probables.

RESPUESTA: a) En el cuadro siguiente se pueden observar las probabilidades conocidas… EVENTO

PROBABILIDAD

SUMA DE PROBABILIDADES

E1 E2 E3

0.15 0.15 0.40

0.30

E4 E5

2 P(E5) = ? ?

0.30

0.40

Esto porque… Por lo tanto, se puede apreciar que la suma de las probabilidades de los eventos E4 y E5 es…

Finalmente… EVENTO E1 E2 E3 E4 E5

PROBABILIDAD 0.15 0.15 0.40 0.20 0.10

b) Como , quiere decir que la probabilidad del evento E1 es 0.30 y la del evento E2 es 0.30/3=0.10. Asimismo, se tiene que…

Lo que lleva a…

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Y como estos últimos son eventos igualmente probables, cada uno de ellos tiene una probabilidad de…

5. Un experimento consiste en tirar un par de dados. a) Usa los teoremas combinatorios para determinar el número de puntos muestrales del espacio muestral S. b) Encuentre la probabilidad de que la suma de los números que aparezcan en los dados sea igual a 7.

RESPUESTA: a) Llamemos A y B a los dos dados, y representemos con (a, b) las numeraciones de las caras superiores de ellos (es decir, los puntos muestrales del espacio muestral S). Así, a es la cara superior del dado A y b es la cara superior del dado B. Por lo tanto, el número de puntos muestrales del espacio muestral S es…

CARAS SUPERIORES DEL DADO A CARAS SUPERIORES DEL DADO B

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)

(3, 1) (3, 2) (3, 3)

(4, 1) (4, 2)

(5, 1)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

(1, 6)

(2, 5) (2, 6)

(3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

Es decir, se tienen m elementos: a1, a2, a3, a4, a5, a6; y n elementos: b1, b2, b3, b4, b5 y b6. De lo cual se hace evidente que mxn=6x6=62=36 puntos muestrales del espacio muestral S. b) Así, sea P(A) la probabilidad de que la suma de los dados sea 7, entonces…

6. Se observa que hombres y mujeres reaccionan de modo diferente a un conjunto determinado de circunstancias; se sabe que 70% de las mujeres reaccionan positivamente a estas circunstancias mientras que de este mismo modo reaccionan sólo 40% de los hombres. Un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, se sometió a estas circunstancias y a los sujetos se les pidió describieran sus reacciones en un cuestionario escrito. Una respuesta escogida al azar de las 20 fue negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido un hombre?

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RESPUESTA: La descripción de la situación se puede representar de la manera siguiente (por medio de un diagrama de árbol; donde representamos con H y M a hombres y mujeres, respectivamente, y con E1 y E2 las reacciones positiva y negativa)… 0.40

E1 (POSITIVA)

H 5/20 0.60

E2 (NEGATIVA)

0.70

E1 (POSITIVA)

0.30

E2 (NEGATIVA)

15/20

M

Éste es un claro ejemplo de aplicación del teorema de la multiplicación para la probabilidad condicionada. Así, supongamos que A y B son sucesos de un espacio muestral S con P(A)>0. Por definición de probabilidad condicional…

Y multiplicando por P(A)…

Que es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos A y B, y que puede ser extensible a tres o más sucesos. De esta forma, Sea E un suceso del espacio muestral S y sean A1, A2,…, An sucesos mutuamente disjuntos cuya unión es S. Entonces…

Conocida ésta última ecuación como ley de la probabilidad total (punto de partida del Teorema de Bayes). Por otra parte, y para nuestro caso, se observan en el diagrama de árbol anterior las distintas probabilidades vinculadas a los distintos sucesos mencionados en el problema. Por lo tanto, lo que se está solicitando es…

Es decir, la probabilidad condicional de que la persona elegida al azar de las veinte sea hombre, sabiendo que su reacción fue negativa. Entonces…

Ahora, como puede verificarse… 6 Escuela Preparatoria Freinet de Morelos Diseño Conceptual y Gráfico: Martínez-García Adán


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Y sustituyendo…

Que es la probabilidad requerida por el problema.

7. Los siguientes datos representan los ingresos que el gobierno federal recauda por concepto de impuestos (ingresos per cápita) en cada uno de los 50 estados de la Unión Americana durante el año fiscal de 1991: 964 1040 1358 968 1165 786 1416

3168 1080 1013 1007 1189 870 1385

1256 2325 1261 1103 1056 923

997 1159 1317 1312 1216 1051

1477 1151 1615 565 1037 1207

951 1102 1185 1500 1088 1090

1514 1233 1588 1347 1251 1592

1713 1120 948 1567 1104 1292

Fuente: U.S. Department of Commerce, 1991.

Con ésta información traza el histograma de frecuencias relativas. RESPUESTA: Si ordenamos el conjunto de datos (de menor a mayor)… 565 786 870 923 948 951 964

968 997 1007 1013 1037 1040 1051

1056 1080 1088 1090 1102 1103

1104 1120 1151 1159 1165 1185

1189 1207 1216 1233 1251 1256

1261 1292 1312 1317 1347 1358

1385 1416 1477 1500 1514 1567

1588 1592 1615 1713 2325 3168

y haciendo el correspondiente cuadro de frecuencias... 7 Escuela Preparatoria Freinet de Morelos Diseño Conceptual y Gráfico: Martínez-García Adán


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NÚMERO DE INTERVALO 1 2 3 4 5 6 7 8

INTERVALO

FRECUENCIA

560-734 735-909 910-1084 1085-1259 1260-1434 1435-1609 1610-1784 1785-en adelante TOTALES →

1 2 13 16 8 6 2 2 50

FRECUENCIA RELATIVA 1/50=0.02 2/50=0.04 13/50=0.26 16/50=0.32 8/50=0.16 6/50=0.12 2/50=0.04 2/50=0.04 1

FRECUENCIA PORCENTUAL F (%) 2 4 26 32 16 12 4 4 100

Por lo tanto, el histograma de frecuencias relativas es… F (%) 35 30 25 20 15 10

5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Datos (No. Intervalo)

8. Para la muestra de datos siguientes (que representan a una población de los pesos de 50 personas con padecimiento bipolar del tipo 3), Determina: un cuadro de frecuencias apropiado…

80 79 78 77 76

78 80 79 76 78

77 78 79 80 79

78 77 78 76 78

79 77 79 78 77

78 76 77 76 78

77 80 79 78 80

78 76 78 77 78

79 78 76 77 80

78 76 79 80 78

… y además: a) Calcula (la media aritmética de los datos), s (la desviación estándar de los datos). b) Calcula la moda de los datos (Mo) y la mediana de los datos (Ma). c) Calcula el intervalo para k =1,2 y 3. ¿Cuál es el número de mediciones que esperarías obtener de acuerdo a la regla empírica?

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RESPUESTA: Antes de determinar los estadísticos solicitados, se muestran algunos de los cálculos previos para ello… DATO xi 76 77 78 79 80

FRECUENCIA f 8 9 17 9 7

( f ) ( xi ) 608 693 1326 711 560

-1.96 -0.96 0.04 1.04 2.04

3.8416 0.9216 0.0016 1.0816 4.1616

30.7328 8.2944 0.0272 9.7344 29.1312

SUMATORIAS →

a) Por lo tanto, la media aritmética es…

…y la desviación estándar está dada por…

b) Asimismo, la moda es el dato (o datos) más frecuente (y observando el cuadro anterior)…

… y la mediana es el dato que divide a todos los datos (ordenados) por la mitad. Así (como es un número par de datos)…

c) Finalmente, los intervalos pedidos son… Si k=1

O en forma de intervalo:

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Si k=2

O en forma de intervalo:

Si k=3

O en forma de intervalo:

Así, la regla empírica menciona que: el primer intervalo aproximadamente contiene el 68% de los datos, el segundo intervalo el 95% y último intervalo casi todos los datos.

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