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EXAMEN FINAL RESUELTO DE MATEMÁTICAS III DISEÑO CONCEPTUAL Y GRÁFICO: MARTÍNEZ-GARCÍA ADÁN INC. A LA UAEM DESDE 1999 CLAVES 2000-I-P.S.A. Y 99-CXXII-P

EXAMEN FINAL RESUELTO DE MATEMÁTICAS III CATEDRÁTICO: MARTÍNEZ-GARCÍA ADÁN* *Escuela Preparatoria Freinet de Morelos, Av. Domingo 10, Número 211, Col. El Empleado o Lomas de la Selva, Cuernavaca, Morelos, México. adanmargar@gmail.com

NOMBRE______________________________ CALIFICACIÓN________ INSTRUCCIONES. Todos los reactivos debes contestarlos en hojas blancas por separado (en estas debes incluir todos tus procedimientos), no debes escribir en esta hoja de examen (excepto tu nombre). Puedes utilizar calculadora científica. El examen se calificará sobre 170 puntos. 1. Resuelve la ecuación siguiente, por los métodos de: La “Fórmula General”, Factorización y Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto. (20 PUNTOS)

RESPUESTAS: Reordenando la ecuación…

Y resolviéndola por el método de la Fórmula General (con a=12, b=13 y c=-35)…

Finalmente, las raíces, o ceros, o los resultados son…

Otra manera de resolver la misma ecuación, es factorizando…

Para este caso, primero, se deben encontrar dos números que: multiplicados den -420 (12 por menos 35), y que su suma sea 13 (el coeficiente del término lineal). Por lo tanto, esto números son… 1 ESCUELA PREPARATORIA FREINET DE MORELOS


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Estos números se emplearán para reescribir el término lineal de la ecuación dada…

Ahora, se agrupan los términos…

Y se realiza la primera (de dos) factorizaciones…

De ésta manera, se puede observar que existe otro factor común. Entonces, se efectúa la segunda factorización…

Finalmente, se tienen dos casos de interés, para una multiplicación de dos números cuyo producto es cero. Si…

Y resolviendo éstas dos ecuaciones lineales…

Y para la ecuación dos…

También se puede resolver la ecuación por el método de completar un trinomio cuadrado perfecto. Así, dividimos a la ecuación entre 12 (para convertir en 1 el coeficiente del término cuadrático)…

Y se obtiene…

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Ahora, y en base en la definición de un trinomio cuadrado perfecto, se suma a ambos lados de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal…

De éste modo, como un trinomio cuadrado perfecto se puede factorizar como el cuadrado de un binomio…

Y finalmente, resolviendo para x la ecuación…

Por lo tanto, los resultados son…

Y

2. Encuentra los ceros, o raíces, para la ecuación… (20 PUNTOS)

RESPUESTA: Este caso corresponde a una estrategia de cambio de variable. Es decir, se nombrará otra variable, de tal manera, que permita expresar a la ecuación dada de manera menos elaborada. 3 ESCUELA PREPARATORIA FREINET DE MORELOS


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Así, sea…

Entonces, la ecuación dada, se puede reescribir como…

Que es una ecuación de segundo grado en Z. Y resolviendo por cualquiera de los métodos conocidos (por ejemplo: el de la Fórmula General)…

Y los dos resultados posibles para Z son…

Por otra parte, como Z es…

Entonces, hay dos casos…

Caso a)…

Evidentemente, los dos resultados posibles no existen en el conjunto de los números reales (son números imaginarios). Caso b)…

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Igualmente, los dos resultados posibles no existen en el conjunto de los números reales (son números imaginarios).

3. Se desea cercar un terreno de manera rectangular con 400m de malla ciclónica. ¿Cuáles serán las dimensiones del terreno cercado, si queremos delimitar la mayor superficie posible de éste? (20 PUNTOS)

RESPUESTA: El esquema muestra la descripción dada en el enunciado del problema a resolver…

z = Largo

y = Área

x = Ancho

Así, se sabe que el perímetro y área de un rectángulo están definidos por…

Por lo tanto, resolviendo para z la ecuación del perímetro y sustituyendo en la ecuación del área…

Y sustituyendo…

Finalmente, sustituyendo los valores conocidos…

Es decir….

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…es una función cuadrática con: a=-1, b=200 y c=0. Por lo tanto, como a es negativa (a<0), la gráfica de dicha función es una parábola cóncava hacia abajo, y cuyo vértice es un punto máximo (es decir, en éste punto la función alcanza su valor máximo). Así, la coordenada del vértice V de una parábola está dada por…

En resumen, si se cerca un terreno de manera rectangular con 400m de malla ciclónica, las dimensiones del terreno cercado (si queremos delimitar la mayor superficie posible de éste) son…

Y…

En otras palabras, para usar los 400m de malla ciclónica y cercar la máxima área, el terreno rectangular debe ser un cuadrado perfecto.

4. Soluciona los sistemas de ecuaciones dadas. (20 PUNTOS)

RESPUESTAS: a) Si multiplicamos por 3 y 2, respectivamente, a las dos ecuaciones que forman el sistema…

Se obtienen las ecuaciones equivalentes (y sumándolas)…

Por lo tanto… 6 ESCUELA PREPARATORIA FREINET DE MORELOS


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Es decir, hay dos resultados posibles para y (y=3 y y=-3). De éste modo, se deben sustituir estos dos valores, en cualquiera de las ecuaciones que forma al sistema original, para determinar los valores de x. Entonces, si y = 3…

Y si y = - 3…

En síntesis, los resultados pueden expresarse en forma de pares ordenados. Así, el conjunto solución del sistema dado está formado por los pares ordenados…

b) Para este caso, resolvemos (para cualquiera de las dos incógnitas) la ecuación lineal que forma parte del sistema. Así, para x…

Y sustituimos el valor de x en la ecuación cuadrática del mismo sistema…

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Y resolviéndola para y…

De ésta manera, los dos valores posibles para y son…

Finalmente, x posee dos valores. Por lo tanto, si y =2…

Y si

5. El punto

se encuentra en una circunferencia unitaria y tiene por coordenada

.

Determina el valor exacto de todas las funciones circulares, o trigonométricas, para el ángulo ; y para el ángulo complementario de . (20 PUNTOS)

RESPUESTAS: Se sabe que dos ángulos son complementarios si su suma es 90º. Por lo tanto, el ángulo complementario de es . Por ende, para ellos es válido…

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6. Muestra que es idéntica la relación... (20 PUNTOS)

RESPUESTA: Algebraicamente se manipulará el lado izquierdo de la identidad (haciendo uso de las identidades trigonométricas) hasta hacerlo coincidir con el lado derecho de la misma…

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Por lo tanto…

7. Encuentra los logaritmos siguientes (empleando el cambio de base de logaritmos). (10 PUNTOS) RESPUESTAS: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

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j)

8. Realiza la operación proporcionada utilizando logaritmos. (20 PUNTOS)

RESPUESTA: Igualamos con N, y aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación…

Ahora, reordenando la ecuación y aplicando las propiedades de los logaritmos…

Por lo tanto, el resultado solicitado es…

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9. Resuelve para x las ecuaciones siguientes. (20 PUNTOS)

RESPUESTAS: Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación y aplicando sus propiedades…

a)

De la misma forma… b)

Y resolviendo la ecuación cuadrática (por el método deseado)…

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