Issuu on Google+

UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA

SERIE 6 DE EJERCICIOS MARTÍNEZ-GARCÍA ADÁN* *Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla, Centro Interdisciplinario de Posgrados, Av. Morelos Sur, Número 138, Col. Las Palmas, Cuernavaca, México. adanmargar@gmail.com

1. Se tienen los siguientes resultados para dos muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones. Muestra 1 Muestra 2 n1 = 10 n2 = 8 x1 = 22.5 x 2 = 20.1 s1 = 2.5 s2 = 2.0 RESPUESTAS. Como puede apreciarse, éste es un caso de una muestra pequeña (ya que n1<30 ó n2<30). Asimismo, se desconoce el parámetro σ y, por tanto, éste será estimado por medio de s. a) ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia entre las dos medias de población? Entonces, dicha estimación está dada por…

b) ¿Cuál es la estimación combinada de la varianza de población? Dicha varianza combinada está definida como…

c) Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre los dos promedios de población. El intervalo, en éste caso, se define como…

Donde…

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 1


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Ahora, con 95% de confianza (y n1+n2-2=10+8-2=16 grados de libertad para t)…

y… Por tanto…

…el valor de t con una cola superior de 0.025 es:

Finalmente, el intervalo solicitado es…

2. Los precios de las gasolinas se incrementaron de manera notable de 1999 a 2000. La asociación automotriz estadounidense publicó información acerca del costo promedio por galón para la gasolina normal sin plomo durante los dos años. Suponga que se obtuvieron los resultados siguientes a partir de muestras independientes de lugares de todo el país. Costo en 2000 n1 = 50 x1 = 1.58 dólares s1 = 0.12 dólares

Costo en 1999 n2 = 42 x 2 = 0.98 dólares s2 = 0.08 dólares

RESPUESTAS. Como puede apreciarse, éste es un caso de una muestra grande (ya que n1>30 y n2>30). Asimismo, se desconoce el parámetro σ y, por tanto, éste será estimado por medio de la s. a) ¿Cuál es la estimación puntual del incremento en el costo promedio por galón de 1999 a 2000?

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 2


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA b) ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza de 95% del incremento en el costo promedio por galón de 1999 a 2000? El intervalo, en éste caso, se define como…

Donde…

Ahora, con 95% de confianza…

y…

Por tanto, el valor de…

…Z con una cola superior de 0.025 es:

Finalmente, el intervalo solicitado es…

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 3


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA 3. Se tiene la siguiente prueba de hipótesis:

H0: 1-2 = 0 Ha: 1-2  0

Los resultados corresponden a dos muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones. Muestra 1 n1 = 80 x1 = 104 s1 = 8.4

Muestra 2 n2 = 70 x 2 = 106 s2 = 7.6

RESPUESTAS. Se observa que éste caso se trata de una prueba bilateral o de dos colas. De igual manera, se desconoce el parámetro σ y, por tanto, éste se evaluará a través de s. Por otra parte, también se aprecia que es una muestra grande (ya que n1>30 y n2>30). a) ¿Cuál es su conclusión de la prueba de hipótesis con  = 0.05? Los datos que se tienen para éste caso son…

Así…

Y, por simetría, los valores críticos de Z son…

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 4


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Y el estadístico de prueba, para éste caso, se define por medio de…

Por lo tanto, en base a los datos de la muestra, y a la significancia dada, se acepta la hipótesis nula H 0; porque…

b) ¿Cuál es el valor p? Por simetría y en base al estadístico de prueba…

…se observa que el valor p es:

Y de manera análoga, se acepta la hipótesis nula H0, porque…

4. El servicio de evaluación educativa llevó a cabo un estudio para investigar las diferencias entre las calificaciones de alumnos hombres y mujeres en la prueba de aptitud escolar. El estudio identificó una muestra aleatoria de 562 alumnos mujeres y 852 alumnos hombres que alcanzaron la misma alta calificación en la parte de matemáticas. Esto es, se consideró que los alumnos hombres y mujeres tenían aptitudes semejantes y altas en matemáticas. Las calificaciones de expresión oral de la prueba de aptitud escolar, para las dos muestras se resume en la siguiente tabla:

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 5


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA Alumnos mujeres

Alumnos hombres

x1 = 547

x 2 = 525

s1 = 83

s2 = 78

Esos datos, ¿respaldan la conclusión que, dada una población de alumnos mujeres y una de alumnos hombres con aptitudes matemáticas altas, los alumnos mujeres tienen una aptitud bastante mayor de expresión oral? Haga la prueba con un nivel de significancia de 0.02, ¿cuál es su conclusión? RESPUESTA. Antes, se deben estructurar las hipótesis nula y alternativa. Por ende, las mismas son…

Así, se observa que éste caso se trata de una prueba de cola superior o derecha. De igual manera, se desconoce el parámetro σ y, por tanto, éste se evaluará a través de s. Por otra parte, también se aprecia que es una muestra grande (ya que n1>30 (n1=562) y n2>30 (n2=852)). Entonces, para α=0.02 de significancia, el valor crítico de Z es…

Y el estadístico de prueba, para éste caso, se define por medio de…

Por lo tanto, en base a los datos de la muestra, y a la significancia dada, se rechaza la hipótesis nula H 0; porque…

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 6


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA 5. Periódicamente, a los clientes de Merril se les pide evaluar a los asesores y servicios financieros de Cerril. Las calificaciones altas en la encuesta de satisfacción al cliente indican mejor servicio con 7 como la calificación más alta. A continuación se resumen las muestras independientes de calificaciones de servicio para dos asesores financieros. El asesor A tiene 10 años de experiencia, en tanto que el asesor B tiene un año de experiencia. Pruebe con  = 0.05 para ver si el asesor con más experiencia tiene la mayor calificación de servicio de promedio poblacional. Asesor A n1 = 16 x1 = 6.82 s1 = 0.64

Asesor B n2 = 10 x 2 = 6.25 s2 = 0.75

RESPUESTAS. Antes, se deben formular las hipótesis correspondientes… a) Formule la hipótesis nula y la alternativa. Éstas son…

Así, se observa que éste caso se trata de una prueba de cola superior o derecha. De igual manera, se desconoce el parámetro σ y, por tanto, éste se evaluará a través de s. Por otra parte, también se aprecia que es una muestra pequeña (ya que n1<30 (n1=16) ó n2<30 (n2=10)). Entonces, para α=0.05 de significancia, el valor crítico de t es (con n1+n2-2=16+10-2=24 grados de libertad)…

b) ¿Cuál es la regla de rechazo? Por tanto, se rechaza la hipótesis nula H0 si…

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 7


UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL ESTADO DE PUEBLA c) Calcule el valor del estadístico de prueba. Dicho estadístico está dado por…

Donde…

Finalmente,

d) ¿Cuál es su conclusión? Por lo tanto, en base a los datos de la muestra, y a la significancia dada, se rechaza la hipótesis nula H0; porque…

Posgrado en Matemáticas Estadística Inferencial / Martínez García Adán

Página 8


6. DIFERENCIA DE MEDIAS NO PAREADAS