Issuu on Google+

Higidura Bibratorioa Armoniko Sinplea AURKIBIDEA Sarrera

2

HBAS eta HZkU -ren arteko erlazioa

2

HBAS-ren ezaugarriak

3

HBAS-ren analisia

5

HBAS-ren ekuazioa

6

HBAS-ren abiadura eta azelerazioa

7

HBAS-ren indar sortzailea. Ekuazioa

8

Pultsazioa, K eta T -ren arteko erlazioa

8

Pultsazioaren eta abiaduraren arteko erlazioa

8

Pendulu sinplea

9

HBAS-ren energia

10


Higidura Bibratorioa Armoniko Sinplea Sarrera Partikula batek, higidura periodiko bat deskribatzen du bere posizioa, abiadura eta azelerazioaren balioak, denbora konstante baten epean (T) errepikatu egiten dituenean. Adibidez, gurpil bat birakak abiadura konstantearekin. Partikula batek, bere oreka puntuarekiko alde batera eta bestera desplazatzen denean, distantzia maximo eta minoimo bat lortuz, higidura bibratorioa edo oszilatorioa deskribatzen duela esaten da. Adibidez, pendulu baten higidura. Partikula batek higidura oszilatorio bat deskribatzen badu, eta bere ibilbidea zuzen bat bada, bere higidura armonikoa sinplea dela esan ohi da. Adibidez: Malguki elastiko baten ertzean kokatuta eta malgukia berak bultzatuz mugitzen den gorputz bat.

Irudian, higidura bibratorioa deskribatzen duen partikula bat (puntu gorria) daukagu eta baita ere bere elongazioaren proiekzioa (Y ardatzean) denboraren araberan (X ardatzean) HBAS eta HZkU -ren arteko erlazioa  abiadurarekin higidura zirkular uniforme bat deskribatuz biraka ari den partikula bat suposatu dezagun. Bere proiekzioa Y ardatzean aztertzen badugu (X ardatzean ere egin daiteke), ondorengo irudia ikusiko genuke:


Proiekzioak deskribatzen higidura, lrhrn definitutako HBAS-rekin bat dator. Horregatik, HBAS-a ezaguna dugun HZkU-a aprobetxatuz aztertzen da.

HBAS-ren ezaugarriak Oreka posizioa: Oszilazioaren puntu zentrala. Puntu honetan, higikariak jasatzen dituen indarrak F = 0 batzen dute. Elongazioa (y): Hune batean, oreka posizioarekiko distantzia. Anplitudea (A): Elongazio maximoa. Periodoa (T): Oszilazio bat osatzeko behar duen denbora. Gorputz laguntzaileak bira bat osatzeko behar duen denboraren berdina da, noski. Maiztasuna (N): Higikariak zenbat oszilazio burutzen dituen segundu batean. Gorputz laguntzaileak segunduko deskribatzen dituen biren kopuruaekin bat dator. Pultsazioa (  ): Gorputz laguntzailearen abiadura angeluarra. Bibratzen ari den gorputzak duenabiadurarekin erlazionatuta dago.


Desfasea ( î‚´0 ): Denbora neurtzen hasten garenean higikariak koordenatuen jatorriarekiko duen atzerapen edo aurrerapen angeluarra. Guk -hune batean- higikariaren posizioa nahi dugu jakin. Horretarako, erreferentzi puntu bat aukeratu behar dugu (y=0) posizioa zehazteko eta hori noiz gertatzen den jakiteko, kronometro bat martxan ipini behar dugu (t = 0). Gauza biak batera gertatgzea izango litzateke egokiena, baina askotan ez da horrela izaten. Adibidez, irudian ikusten den egoeran hau gertatzen da: y = 0 eta t = 0 ez dira batera gertatzen.


HBAS-ren analisia HBAS nola gertatzen den aztertzeko, suposatu daigun gorputz bat malguki elastiko baten (Hooke) ertzean lotuta dagoela. Malgukia luzatu ondoren, askatu egin dugu. Higiduraren arduraduna malgukiak egiten duen indarra da: F=−K. l 1.- Punturik baxuenean, malgukai ahalk eta gehien luzatuta dago; beraz, bere indar errekuperatzailea da gorantz eta maximoa. Horregatik, hune horretan azleraziorik haundiena izango du. Bestalde, gorputza, askatu berria denez, oraindik ez du abiadurarik.

2.- Erdiko puntua: Malgukia errekuperatzen doan bitartean, indarra gorantz gero eta txikiagoa da eta ondorioz azelerazioa ere bai... erdiko puntura ailegatu arte. Hune horretan malgukiak bere oreka posizioa eskuratu duenez, indarra nuloa da eta azelerazioa ere bai. Baina beheko puntutik erdiko punturaino, azeleratzen joan denez (naiz eta azelerazioa gero eta txikiagoa izan), hune horretan abiadura maximoa izango du. 3.- Oreka puntura ailegatzean, eta hainbesteko abiadura lortu duenez, ez dauka gelditzerik eta bere inertziaren ondorioz, bere bidea jarraitzen du eta malgukia konprimitzen hasten da. Hau, malgukia, kontrako indar bat egiten hasten zaio, zenbat eta malgukia gehiago konprimitu, oraindik eta haundiagoa. Gorputza gelditzen joango da, eta ondorioz, gero eta gutxiago komprimituko du.


Punturik altuenean: malgukia ahal den gehien komprimituta dago, beraz, beherantz egingo duen indar errekuperatzailea izan daitekeen haundiena izango da; ondorioz, azelerazioa ere bai. Bestalde, gorputza gelditua izan da, beraz bere abiadura hune horretan, nuloa da.

4.- Hortik aurrera, indarrak (maximoa) malgukia luzatu egingo du poliki-poliki; ondorioz, indarrak gero eta gutxiago balio du. Azelerazioari, beste hainbeste gertatuko zaio, eta gero eta gutxiago balio izango du. Erdira ailegatzerakoan, indarra eta azlerazioa nuloak dira, baina -tarte guztian eta naiz eta gero eta gutxiago izan, azelereratzen joan denez- abiadura maximoa izango du. 5.- Oreka puntura ailegatzean, higidurak errepikatzen hasten da.

HBAS-ren ekuazioa Imagina ditzagun, HBAS dun partikula bat eta HZkU deskribatzen ari den eta bera bribatzen ari denaren proiekzioa den beste bat. Edozein hunean (t) higikariaren posizioa (y) kalkulatzeko balio izango duen ekuazio baten -y = f(t)- bila gabiltz. Ikusi dugu lehen koordenatuen jatorriaren eta denbora neurketaren jatorriaren artea, diferentzia bat egon daitekela: desfasea. Demagun, desfase positibo bat daukagula. Higikaria yo tik pasatzen ari denean, berarekin lotuta dagoena zirkunferentziaren puntu batetik pasatzen ari da. Hune horretan kronometroa martxan jarri dugu. Egokiena, y=0 tik pasatzen ari denean jartzea izango litzateke, baina "akats bat", "atzerapen" bat izan dugu. Atzerapen hau, modu askotan hartu daiteke kontuan: * denbora moduan: x segunduko atzerapena izan dugu. * espazio aldetik: yo metro atzeratu gara. * angeluarki: atzerapen horretan, kanpokaldetik dabilen partikulari, î‚´0 rad -ko angelua deskribatu du. Fisikan eta gure kalkuloetan, modu angeluarra erabiltzen da, erradianetan neurtua. Hau da lehen definitu dugun desfasea.


Guk nahi duguna, posizio t segundu ondoren kalkulatzea da. Horretarako, sen (a+b) kalkulatuko dugu: sen 0  b =

y R

Kontuan izanik: R=A

b =  .t sen  0   . t  =

y R

Hortik, oso erraza da Y askatzea: y = A.sen . t  0  Desfasea, atzerapen bategatik izan beharrean, aurrerapen bategatik izan balitz, "a" angelua, x ardatzeren azpitik egongo litzateke, 4. koadrantean, eta frogapena berriro eginaz, y = A.sen . t −  0 

lortuko genuke. Beraz, ekuazio bat bakarra erabiltzen da (lauki barruan dagoena) eta desfasea ( 0 ) positiboa edo negatiboa erabiltzen da, atzerapenaren edo aurrerapenaren araberan.

HBAS-ren abiadura eta azelerazioa Behin HBAS-ren ekuazioa lortu ondoren, abiadura eta azelerazioa lortzeko, dagozkien deribatuak egitea nahikoa da. Abiadura v=

dY = A. . cos . t   0  dt

a=

dV 2. 2 = − A. sen . t  0  = −  . y dt

Azelerazioa

Honen ondorioz, higiduraren hiru ekuazioak dauzkagu:

y = A.sen . t   0 

v = A. . cos . t   0  2.

a =− A. sen . t   0 


HBAS-ren indar sortzailea. Ekuazioa Dagoenekoz agertu zaizkigun bi gauza kontuan hartzea nahiko da: 1.- HBAS-ren indar arduraduna, malgukiaren indar berreskuratzailea da: Kontuan izanik l , elongazioa dela, idatzi dezakegu: F = -k.y

F=−K. l

2.- Malgukiaren ertzean dagoen partikula, azelerazioarekin bibratzen ari bada eta masa badu, Newton-en legearen bidez kalkulatu daiteke zein den mugierazten dion indarra. F = m.a

2

F = − m. . y

Ekuazio biek berdinak izan behar dutenez, ondorengo urratsak emateko aprobetxatuko dugu.

Pultsazioa, K eta T -ren arteko erlazioa Lehengo bi ekuazioak berdinduz: 2

k. y = − m.  . y

Hortik:

=

2

k m

Bestalde, higidura zirkular uniforme baten:

Biak berdinduz:

K = m.

2.  k = T m

=

T = 2

2.  T

m k

Pultsazioaren eta abiaduraren arteko erlazioa Askotan, bibratzen ari den partikularen abiadura eta bibratzen ari den partikularekin lotuta dagoen eta higidura zirkularra deskribatzen duen partikularen abiadura nahastu egiten dira. Akats oso arrunta da. Ikus daigun zein den benetako erlazioa. 2

ekuazioan, sinua askatuko dugu:

y = A.sen . t   0 

sen  . t   0  = 2

v = A. . cos . t   0 

cos  . t   0  =

ekuazioan, kosinua:

Ekuazio biak batu ezkero: 2

2

sen  . t   0  cos  . t   0  =

1=

2

2

y v  2 2 A.  A.

2

v =   A − y .  2

2

2

A.  =  y.   v

v askatuz: 2

2

y v  2 2 A. A. 

2

2

2

y 2 A. 2

v 2  A.


Pendulu sinplea

L luzera duen ari batetik zintzilikatuta dagoen gorputz batek, oreka posizioarekiko gutxi zabaltzen bada, higidura bibratorioa deskribatzen duela onartu daiteke. Penduluaren higudraren arduraduna, pisuaren osagai tangentziala da: gorputzari igotzen jarraitzea ostoptzendiona. Indar hau aztertuz, ondorio bitxiak atera ditzakegu:

Penduluaren higiduraren indar sortzailea: Fpéndulua = -Psen a = - mg.sen a Baina, a angelua oso txikia bada eta erradianetan neurtuta baldin badago,

sen a≃a

da.

Lehenengo baldinza (pendulua gutxi zabaldu dadila) hasiera batetik betetzen da, eta bigarren baldintza, dagonenkoz onartutzat joko dugu. Ondorioz: s Fpendulua =−mg.a  Fpendulua = −mg. l Baina, angelua oso txikia bada, S arkua eta X oreka punturainoko distantzia, berdinak izango dira, distantzia hau, ezagutzen dugun elongazioa dela (y). Fpendulua = −mg.

y l

Higidura bibratorioen indar sortzailea: . Higidura bibratorio edozeinen indar arduraduna lehen ago ikusi dugu zein den: F = − m. 2 . y : Penduluaren hidigdura, aipatu ditugun baldintzetan, bibratorioa denez, biak berdindu ditzakegu: 2

− m.  . y = −m.g

y l

2

 =

g l

=

g l


Penduloaren periodoa hau, HBAS duten higiduren periodoarekin konparatuz:

g l 2.  = T

Pendulua:

=

HBAS-a:

Biak berdinduz, penduloaren periodoa lortuko dugu:

T = 2

l g

HBAS-ren energia HBAS baten energia kalkulatzeko, bere energia zinetikoa eta potentzial elastikoa kontuan hartzea nahikoa da. * Energia zinetikoa: Ec = 1/2.mv2 Kontuan hartuz

v =   A − y .  2

2

2

, lortuko dugu:

Ec =

1 2 2 2 m. A − y  . 2

* Energia potentziala: Ep = 1/2.ky2 2 K = m. denez, ordezkatuz,

Ep =

1 2 m. . y2 2.

Energia totala: * Energia mekanikoa: Ez + Ep 1 1 1 2 2 2 2 2 2. 2 E mek= m. A − y .   m.  . y = m A  2 2. 2 Ikus daiteke E mekanikoa, beti konstantea dela. Eta Ez eta Ep -ren adierazpen matematikoak aztertuz, bereala ikusten da bat haunditzen doan bitartean, bestea murrizten doala eta alderantziz. Hau, garbi ikus daiteke Ep eta Ez / t grafikan.


Higidura Bibratorioa