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LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2

5

16a b c 1) Simplifique a fração: 8a 3 b 2

35  5x  7y  xy 5 y

2) Simplificar a fração:

3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:

4) Efetuar, simplificando o resultado:

5) Assinale a resposta certa.

a)

7 1− y

6) Efetuar:

b)

1 1  a 2 − ab ab − b 2

3 4 8 −  1 y 1− y 1 − y2 7 1 y

7 1 − y2

c)

d)

−7 y2 − 1

3a 2 b 3 10x 2 y 2 ⋅ 5a 4 x 6a 3 y

7) Efetuando e simplificando a expressão:

8) efetue a operação:

a)

x3 − 2x 2 − x  2 x2 − 1

2 b

2a − 2b a 2 − b2 ÷ 10 5a  5b

1 1 a2  − ⋅ 2 − 1 ab a−b b b)

2 b

c)

, obtemos o número:

e marque o resultado correto.

a

2

d)

9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível. 5 8  x 3⋅ x 2 − 4 [ 2 ]  x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x

10) Reduzindo a expressão

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 4 ⋅b 5 2

a sua forma mais simples

encontraremos: a)

a 4 ⋅b 3 2

PROFESSOR: LIMA

b)

a 4 ⋅b 2 2

c)

a 3 ⋅b 4 2

d)

a 9 ⋅b 8

2 a


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS RESPOSTAS 1)

2b 3 c a

2)

x7

3)

x−2

4)

ab aba − b

5)

7 1 y

6)

b x y a5

7)

1

8)

9)

− 32

10)

a ⋅b

3

9

2

2 b

8

PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS RESOLUÇÃO 2

5

16a b c 1) Simplifique a fração: 3 2 8a b

16a 2 b5 c 8a 3 b2 =

16 a 2 b5 ⋅ ⋅ ⋅c 8 a 3 b2

=

1 2⋅ 1 ⋅b3 ⋅c a

=

2⋅1⋅b 3 ⋅ c a

=

2 ⋅a

=

2− 3

2b 3 c a

⋅b

5−2

⋅c

=

2 ⋅a

−1

3

⋅b ⋅c

16a 2 b 5 c 2b3 c = a 8a 3 b 2

OU Dividir os monômios dos termos da fração pelo seu m.d.c. Cálculo do m.d.c Lembrete: m.d.c → fatores comuns elevados aos menores expoentes

16a 2 b 5 c 3

8a b

2

=

2 4 ⋅a 2 ⋅b5 ⋅c

= 3

3

2 ⋅a ⋅b

2

m.d.c (

2 5 3 2 3 2 2 16a b c , 8a b ) = 2 a b

m.d.c (

16a 2 b 5 c

16a 2 b5 c 8a 3 b2

8a 3 b 2

,

→ Dividir

=

2 b3 c a

16a 2 b 5 c 2b3 c = a 8a 3 b 2

PROFESSOR: LIMA

8a 2 b 2

numerador e denominador por

16 /8⋅ a 2 / a 2 ⋅b5 /b 2 ⋅ c 8/8⋅ a 3 / a 2 ⋅b 2 /b 2 2⋅1⋅b 3 ⋅ c 1 ⋅a 1 ⋅1

)=

=

2⋅a 2 − 2 ⋅b 5 − 2 ⋅c 1 ⋅a 3 − 2 ⋅b2 −2

8a 2 b2 =

2⋅a 0 ⋅b 3 ⋅c 1 ⋅a 1 ⋅b0

=

=


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2) Simplificar a fração:

35  5x  7y  xy 5 y

A simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos adição, por este motivo temos que fatorar para transformar a adição em multiplicação.

35  5x  7y  xy 5 y

O macete é observar que o denominador não admite fatoração e

portanto não deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação. O numerador será fatorado colocando-se o termo comum em evidência, veja:

35  5x  7y  xy = 57  x   y 7  x  57  x   y 7  x  = 7  x⋅5  y 

→ ainda da para

→ agora

fatorar

sim concluída a fatoração

35  5x  7y  xy = 7  x⋅5  y  A fração ficará assim:

35  5x  7y  xy 5 y

=

7  x ⋅5  y  5 y

→ agora

temos uma

multiplicação e podemos efetuar a simplificação dividindo- se os temos (numerador e denominador) pelo fator comum 5 + y.

35  5x  7y  xy 5 y

=

por uma questão de elegância

7  x ⋅5  y  5 y

=

7  x ⋅5  y / 1 5  y /1

=7+x

 x  7

35  5x  7y  xy = x7 5y 3

3) (colégio naval/1958) Simplifique a fração:

2

x − 2x − x  2 x2 − 1

Já sabemos que a simplificação só pode ser executada quando houver uma multiplicação e no caso em questão só temos subtração, por este motivo temos que fatorar transformando a subtração em multiplicação.

PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS O macete é observar que o denominador admite uma fatoração mais fácil, vejamos: Lembrete:

a 2 − b 2 = a  b⋅a−b 

Fatoração do denominador 2 2 2 2 2 x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1

Fatoração do numerador Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificação. O

numerador

3

2

será

fatorado

colocando-se

o

termo

comum

em

evidência,

veja:

x − 2x − x  2 colocando - 1 em evidência → colocando

x

2

em evidência →

O numerador fatorado ficará, assim:

− 1⋅ x − 2

x 2 ⋅ x − 2 3

2

2

x − 2x − x  2 = x ⋅ x − 2− 1⋅ x − 2 colocando em evidência ( x – 2) →

Fatorando

2 2 2 2 2 x − 1 = x −1 , logo: x −1 =  x  1⋅ x − 1

A fração fica assim:

3 2 x − 2x − x  2  x − 2⋅ x  1⋅x − 1 =  x  1⋅ x − 1 x2 − 1

Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:

x3 − 2x 2 − x  2  x − 2⋅ x  1⋅ x − 1 = =x−2  x  1⋅ x − 1 x2 − 1 x3 − 2x 2 − x  2 = x−2 x2 − 1 PROFESSOR: LIMA

2

 x − 2⋅ x −1


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 4) Efetuar, simplificando o resultado:

1 1  a − ab ab − b 2 2

Trata-se de uma adição de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Cálculo do m.m.c

a 2 − ab = a⋅a−b m.m.c (

2 2 a − ab , ab − b ) = ab⋅a − b

ab − b2 = b⋅a − b Após o cálculo do m.m.c a fração dada será escrita assim:

1 1 1 1  =  a 2 − ab ab − b 2 a⋅a−b b⋅a − b Resolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:

1 1 1 1 1⋅b 1⋅a  =  =  2 a⋅a−b/ b b⋅a − b/ a a⋅a −b b ⋅a − b a − ab ab − b 2

=

1⋅b 1⋅a ba ab  = = ab⋅a−b ab⋅a − b ab⋅a−b ab⋅a−b

1 1 ab  = 2 ab⋅ a−b  a − ab ab − b 2

5) Assinale a resposta certa.

a)

7 1− y

3 4 8 −  1 y 1− y 1 − y2 b)

7 1 y

c)

7 1 − y2

d)

−7 y2 − 1

Trata-se de uma operação de frações com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as frações ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Cálculo do m.m.c

1 y=1 y 1− y=1− y PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1 − y 2 = 12 − y 2 = 1  y ⋅1− y  m.m.c 1  y , 1 − y , 1 − y 2  = 1  y ⋅1 − y  Reduzindo ao mesmo denominador

3 4 8 3 4 8 −  = −  = 2 1 y 1− y 1− y 1  y /1 − y 1 − y /1  y 1 − y 2 /1

=

3⋅1 − y  − 4⋅1  y   8⋅1 3 − 3y − 4  4 y  8 = = 1 − y ⋅1  y 1 − y ⋅1  y 

=

3 − 3y − 4  4 y  8 7 − 7y = 1 − y⋅1  y 1 − y ⋅1  y

Fração reduzida ao mesmo denominador:

3 4 8 7 − 7y −  = 2 1 y 1− y 1 − y 1 − y ⋅1  y

Resolvendo a operação:

=

3 − 3y − 4  4 y  8 7 − 7y 7⋅1 − y = = = 1 − y⋅1  y 1 − y ⋅1  y 1 − y⋅1  y

=

7⋅1 − y  7⋅1 − y  7 = = 1 − y ⋅1  y  1 − y ⋅1  y  1  y

3 4 8 7 −  = 2 1 y 1− y 1− y 1 y 6) Efetuar:

3a 2 b 3 10x 3 y 2 ⋅ 5a 4 x 6a 3 y

Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Simplificando cada fração separadamente: PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2

3

3

2

2

3

3

3

3

3a b 10x y 3a b 10/5 x y y 3b 5x y ⋅ = ⋅ = ⋅ 4 3 2 2 3 2 5a x 6a y 5a a x 6/ 3a y 5 a x 3a 3 Agora simplificando cruzado:

3a 2 b3 10x 3 y 2 3b3 5x 3 y 3 b3 5 x2 x y b3 x2 y ⋅ = 3 ⋅ 3 = ⋅ = 2⋅ 3 = 5a 4 x 6a 3 y 5a x 3a y 5 a2 x 3 a3 a a b3 x2 y b3 x2 y b3 x 2 y b 3 x 2 y = 2 ⋅ 3 = 3 2 = 32 = a a a ⋅a a a5 3a 2 b3 10x 3 y 2 b 3 x 2 y ⋅ = 4 3 5a x 6a y a5 7) Efetuando e simplificando a expressão:

2a − 2b a 2 − b2 ÷ 10 5a  5b

, obtemos o número:

Primeiro temos que transformar a divisão numa multiplicação. Lembete: Repetimos a primeira fração invertemos o sinal da operação de divisão para multiplicação e em seguida invertemos a segunda fração.

2a − 2b a 2 − b2 2a − 2b 5a  5b ÷ = ⋅ 2 10 5a  5b 10 a − b2 Antes de proceder a multiplicação temos que efetuar a simplificação, desta forma a operação será facilitada. Para isto é preciso fatorar cada termo das frações. Fatorando:

2a − 2b = 2 a − b 5a  5b = 5a  b 2

2

a − b = a  b⋅a − b A expressão ficará assim:

2a − b 5a  b 2a − 2b a 2 − b2 ÷ = ⋅ 10 5a  5b 10 a  b⋅a − b

Simplificando cada fração separadamente

PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS

2a − b 5a  b 2/1a − b  5a  b a − b 5 ⋅ = ⋅ = ⋅ 10 a  b⋅a − b 10 /5 a  b⋅a − b 5 a − b Agora simplificando cruzado:

a − b 5 a − b 5 /1 ⋅ = ⋅ =1 5 a − b 5/1 o a − b 2a − 2b a 2 − b2 ÷ =1 10 5a  5b 2

1 1 a  − ⋅ 2 − 1 ab a−b b

8) efetue a operação:

a)

2 b

b)

2 b

e marque o resultado correto.

c)

a2

d)

2 a

Primeiro resolvemos as operações dentro dos parênteses e para isso temos que reduzir cada fator ao mesmo denominador: Está fácil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a – b) e m.m.c (b2) = b2

1 1 a2 1 1 a2 1  − ⋅ 2 − 1 =  − ⋅ 2 − = ab a−b a  b /a − b a − b /a  b b b 1 /b 2 =

1⋅a − b 1⋅ a  b a 2 1⋅b 2 a − b a  b  a2 b2 − ⋅ 2 − 2  =  − ⋅ 2 − 2  = a  b a − b  a  ba − b a  b a − b a  ba − b b b b b 2

2

2

2

2

2

2

2

a − b−a − b a −b a − b− a − b a −b − b −b a −b = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 2 2 a  ba − b a  ba − b a  ba − b b b b − 2b a −b = ⋅ = 2 a  ba − b b A expressão reduzida ao mesmo denominador ficará assim:

1 1 a2 − 2b a 2 − b2  − ⋅ 2 − 1 =  ⋅  ab a−b a  ba − b b b2 Resolvendo a operação: Lembrete:

2

2

a − b = a  b⋅a−b 

PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2

2

2

2

2

1 1 a − 2b a −b − 2b a −b  − ⋅ 2 − 1 =  ⋅ = 2 ⋅ = 2 2 ab a−b a  ba − b b b a −b b2 Simplificando cruzado:

− 2b a2 − b2 2 = 2 ⋅ =− 2 2 b a −b b 1 1 a2 2  − ⋅ 2 − 1 = − ab a−b b b 9) (colégio naval/1971) Simplifique o máximo possível. −5 8  x 3⋅ x 2 − 4 [ 2 ]  x  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x

Lembrete: 2

2

a − b = a  b⋅a−b  a 3  b 3 = a − b⋅a 2 ab − b 2  a  b2 = a 2  2ab  b 2 Primeiro devemos simplificar o máximo possível e para isso precisaremos fatorar o que pudermos, logo:

8  x 3  = 23  x 3  = 2  x ⋅4 − 2x  x 2  2

2

2

 x − 4 =  x − 2  =  x2⋅ x−2 2

2

x  4x  4 =  x  2⋅ x  2 =  x2 4 − 2x = 22 − x Substituindo estes valores na expressão teremos: 3

[

2

−5

8  x ⋅ x − 4 ] 2 2  x  4x  4⋅ x − 2x  4⋅4 − 2x 

2

=[

Vamos deixar a expressão mais elegante fazendo alguns ajustes:

PROFESSOR: LIMA

−5

2  x ⋅4 − 2x  x ⋅ x2⋅ x−2 ] 2  x  2⋅ x  2⋅ x − 2x  4⋅ 22 − x

=


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS 2

−5

 x  2⋅ x − 2x  4⋅x 2⋅ x−2 =[ ]  x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ 22 − x 

=

Simplificando:

 x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅ x  2⋅ x−2 − 5  x−2 − 5 =[ ] =[ ] = 22 − x   x  2⋅ x  2⋅ x 2 − 2x  4⋅22 − x  Lembrete: x – 2 e 2 – x são simétricos, logo se multiplicarmos o numerador e a fração toda por – 1, não alteraremos o seu valor.

−  x −2 − 5 − x  2 −5 = [− ] = [− ] = 22 − x  22 − x

Deixando o numerador mais elegante e

simplificando teremos: −5

2−x = [− ] 22 − x 

a −2 b 2   =  b a

Lembrete:

−5

1 = [− ] 2 [

−5

2 − x /1 = [− ] 22 − x 

−5

1 = [− ] 2

=

→ invertermos os termos da fração e tornamos o expoente positivo.

5

2 = [− ] = [− 2] 5 = − 32 1

−5 8  x 3 ⋅ x 2 − 4 ] = − 32  x 2  4x  4⋅ x 2 − 2x  4⋅4 − 2x 

10) Reduzindo a expressão

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 4 ⋅b 5 2

a sua forma mais simples encontraremos:

Lembrete:

a⋅b2 = a 2 ⋅b2

→ potência de um produto, elevamos cada fator da multiplicação ao

expoente.

a 2 3 = a 2⋅3

→ potência de potência, multiplicamos os expoentes.

PROFESSOR: LIMA


LISTA 3 – FRAÇÕES ALGÉBRICAS Aplicando as propriedades na expressão encontraremos:

a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 a 2⋅4 ⋅b 3⋅4 ⋅a 3⋅3 ⋅b 2⋅3 a 8 ⋅b 12 ⋅a 9 ⋅b6 = = = a 4 ⋅b 5 2 a 4⋅2 ⋅b 5⋅2 a 8 ⋅b10 Lembrete:

a 3 ⋅a 2 = a 3  2 = a 5

→ multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e

somamos os expoentes.

a5 = a5 − 3 = a 2 3 a

→ divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os

expoentes.

a 8  9 ⋅b 12  6 a17 ⋅b18 17−8 18−10 9 8 = = 8 10 = a ⋅b = a ⋅b 8 10 a ⋅b a ⋅b a 2 ⋅b3  4 ⋅a 3 ⋅b2 3 = a9 ⋅ b8 4 5 2 a ⋅b 

PROFESSOR: LIMA


Expressões algébricas