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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE-RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN

 Probabilidad Normal y Binonial

Prof. María Paredes

Estadística Avanzadas

Junio, 2014.-

Alumna: Arelys Betancourt


Definición de v ariable alea toria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango. Por ejemplo, el peso de una persona podría ser 80.5, 80.52, 80.525,... dependiendo de la precisión de la báscula. Distribución de probabilidad normal La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones. La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las siguientes características: • La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda d


En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.


La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: caracteres morfológicos de individuos como la estatura; caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracteres psicológicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.1 Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".


TABLA DE GAUSS


PROBABILIDAD BNOMIAL Definición Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria. La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones. Propiedades - La muestra se compone de un número fijo de observaciones n - Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso. - La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones. - La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n


Ecuación: Donde

PX=n!X!n-X!·pX·1-pn-X

PX=Probabilidad de X éxitos, dadas y n = Número de observaciones p = Probabilidad de éxitos 1-p = Probabilidad de fracasos X = Número de éxitos en la muestra (= 0, 1, 2, 3, 4,………)

Ejemplo ilustrativo N° 1 Determine P(X=5) para n = 6 y p = 0,83

Solución:

Aplicando la ecuación se obtiene:

PX=n!X!n-X!·pX·1-pn-X

PX=5=6!5!6-5!·0,835·1-0,836-5=0,4018


EJERCICIOS PRACTICOS 1). Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas. Respuesta: Esta sería una distribución de probabilidad binomial, B(n, p), con n = 6, p = P (acierto) = 0,25 y q = P(fallo) = 0,75. P(X=r)=

n r

r P

n -r q

En este caso: P(X ≥ 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) 4

=

6 4

2

5

0,25 * 0,75 +

4

2

6 5

5

6

0,25* 0,75 + 6 6

0,25

6

15*0,25 * 0,75 + 6*0,25 *0,75 +0,24 = 0,03296 + 0,00439 + 0,00024 +0,03759


2).La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.

B(5, 0,4) n = 5; p = 0,4; q = 0,6 P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) =

=

5 3

5 0,4 *0,6 + 4 3

2

5 0,4 *0,6+ 5 4

= 0,2304+0,0768+0,01024= 0,31744

5

3

2

5

5

0,4= 10*0,4 *0,6 +5*0,4 *0,6 +0,4


3).Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas? ¿Y menos de 15? Use distribución normal y compare con la distribución binomial los resultados.

El experimento es de tipo binomial, con P(éxito) = p = 0,25 y q = 0,75. Para n = 100, será B(100, 0,25). = 100*0,25=25 Y σ= = 4,33

N(25,4,33)

P (X>30,5)=P(X>30,5), P (X>30,5)=P

P(X<15)= P(X<14,5)=P

P (Z>1,27)= 1 – 0,8980 = 0,1020

P(Z<-2,42)=1-0,9922= 0,0078


4). Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4 en la entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?

Empresa A: =7;σA= 2 En la empresa A: P(X < 9) = P Z< 9 - 7 = P(Z<1)= 0,8413 2 En la empresa B x= 6; σB= 1,5 P(X < 8) = P Z< 8 - 6 = P(Z<1,33)= 0,9082 1,5


5).En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos

P(X < X1) = 1 −0,20 = 0,80 P(X < X2) = 0,20 P(X<X1)= P Z< X1 – 100 = 0,80 25 Por la tabla normal X1 - 100 = 0,84 25 P(Z<0,84)= 0,7996 X1= 100 +25*0,84= 100 +21= 121 X2= 100 −25 * 0,84 = 100 −21 = 79

X1

- 100 = 0,84 25


6).En cierta prueba, el 35% de la población examinada obtuvo una nota superior a 6,el 25%, entre 4 y 6, y el 40 % inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, calcula la nota media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje de población tiene una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades.

P(X > 6) = 0,35 P(4 ≤X ≤6) = 0,25 P(X < 4) = 0,40 P(X >6)= P Z> 6 - µ σ

= 0,35

tabla normal 6 - µ= 0,385 σ

P(X >4)= P Z > 4 - µ σ

= 0,40

tabla normal 4 - µ= 0,255 σ

Revista unidad ii distribucción normal y binomial  

Arelys Betancourt. C.I. 13.504280

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