9.1. 平衡統計力学─熱力学の基礎
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等エネルギー面 ΩE 上の測度 νE を次のように定める：
∫ νE (B) =
|∇H(q, p)|−1 dm6N −1
(∀B ∈ BΩE : ボレル集合体 (付録 B.5 節 (A)))
B
ここに，|∇H(q, p)| = [
N ∑
∑
∂H 2 ∂H 2 1/2 {( ∂p ) + ( ∂q ) }] ，また，dm6N −1 は kn kn
n=1 k=1,2,3
R6N −1 内の通常の測度 (ルベーグ測度) とする．このとき，リューヴィルの定理 (cf. [30]) より， νE (S) = νE (ψtE (S))
(0 5 ∀t < ∞,
∀S ∈ BΩE )
(9.2)
が成立する．
2 について ⃝
箱の中の N 個の粒子のうちの一つの粒子 a1 を考えて，Sa1 = {ω ∈ ΩE | ω は粒子 a1 が箱の端っこにいる状態 } としよう．当然，Sa1 ( ΩE となる．また， もし ψtE (Sa1 ) ⊆ Sa1 (0 5 ∀t < ∞) とすると，粒子 a1 がいつも端っこに居続け 2 に反する．したがって，⃝ 2 は次を意味すると考える: ることになって，⃝ 2 ⃝ [エルゴード性]: コンパクト集合 S(⊆ ΩE , S ̸= ∅) が，ψtE (S) ⊆ S (0 5 ∀t <
∞) を満たすならば，S = ΩE が成り立つ． である． このとき，エルゴード定理 (cf. [29] ) から，νE を正規化して (すなわち，
νE = ∫
νE νE (ΩE )
とおいて)，次が言える：
1 f (ω)ν E (dω) = lim T →∞ T Ω
((状態) 空間平均)
∫
T
f (ψt 0 (時間平均)
E
(ω0 ))dt
(∀f ∈ C(ΩE ),
∀ω0 ∈ ΩE ) (9.3)