Issuu on Google+

‫اﻟﺘﻌﺪاد‬

‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬

‫‪Ë‬رﺋﯿﺴﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫رﺋﯿﺴﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ‪ E‬ھﻮ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ E‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‪CardE :‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‪CardÆ = 0 :‬‬

‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﺎن ﻣﻨﺘﮫﯿﺘﺎن‬

‫) ‪Card ( A È B ) = CardA + CardB - Card ( A Ç B‬‬

‫‪Ë‬ﻣﺘﻤﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ A‬ﺟﺰءا ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ‪E‬‬ ‫ﻣﺘﻤﻢ ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ E‬ھﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‪A :‬‬ ‫ﺣﯿﺚ }‪A = {x Î E / x Ï A‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‪:‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬

‫‪AÇA=Æ‬‬ ‫‪AÈA=E‬‬ ‫‪cardA = cardE - cardA‬‬

‫‪Ë‬اﻟﻤﺒﺪأ اﻷﺳﺎﺳﻲ ﻟﻠﺘﻌﺪاد‪:‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﻧﺘﺎﺋﺠﮫﺎ ‪ p‬اﺧﺘﯿﺎرا )* ‪( p Î ¥‬‬

‫إذا ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر اﻷول ﻳﺘﻢ ب ‪ n1‬ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬

‫و ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﺘﻢ ب ‪ n 2‬ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫‪.........................................‬‬ ‫و ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر ‪ p‬ﻳﺘﻢ ب ‪ n p‬ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬

‫ﻓﺈن ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ھﻮ اﻟﺠﺪاء ‪n1 ´ n 2 ´ n 3 ´ ... ´ n p :‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار‪ -‬اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺑﺘﻜﺮار‪:‬‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ n‬و ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ * ‪( p £ n ) ¥‬‬ ‫ﻋﺪد اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار ل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ھﻮ‪n p :‬‬

‫‪26‬‬


‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺑﺘﻜﺮار‪:‬‬

‫· ﺧﺎﺻﯿﺔ‪:‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ n‬و ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ * ‪( p £ n ) ¥‬‬

‫ﻋﺪد اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺗﻜﺮار ل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ھﻮ‪:‬‬

‫)‪A pn = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ ( n - p + 1‬‬ ‫‪ p‬ﻣﻦ اﻟﻌﻮاﻣﻞ‬ ‫· ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‪:‬‬ ‫ﻛﻞ ﺗﺮﺗﯿﺒﺔ ﺑﺪون ﺗﻜﺮار ل ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ﺗﺴﻤﻰ ﻛﺬﻟﻚ ﺗﺒﺪﻳﻠﺔ ل ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫و ﻋﺪدھﺎ ‪n! = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ 2 ´ 1 :‬‬

‫‪Ë‬اﻟﺘﺄﻟﯿﻔﺎت‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮھﺎ ‪n‬‬ ‫ﻛﻞ ﺟﺰء ‪ A‬ﻣﻦ ‪ E‬ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮه ‪( p £ n ) p‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ ﺗﺄﻟﯿﻔﺔ ل ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫‪A pn‬‬ ‫و ﻋﺪد ھﺬه اﻟﺘﺄﻟﯿﻔﺎت ھﻮ ‪:‬‬ ‫!‪p‬‬ ‫‪Ë‬اﻷﻋﺪاد‪ n! :‬و ‪ Apn‬و ‪: Cpn‬‬

‫= ‪Cpn‬‬

‫‪n! = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ 2 ´ 1‬‬ ‫‪0! = 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫= ‪Cpn‬‬ ‫!) ‪p!( n - p‬‬ ‫‪C1n = n‬‬

‫‪Cnn = 1‬‬

‫* ‪nÎ¥‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫!) ‪( n - p‬‬

‫‪C0n = 1‬‬

‫‪Cpn = Cnn - p‬‬

‫= ‪A pn‬‬ ‫‪Cnn -1 = n‬‬

‫‪Cpn -1 + Cpn = Cpn +1‬‬

‫‪Ë‬ﻋﺪد إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻨﮫﺎ‬ ‫‪ n1‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪A‬‬

‫) ‪( n1 + n 2 + n 3 = n‬‬

‫و ‪ n 2‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪B‬‬ ‫و ‪ n 3‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪C‬‬

‫!‪n‬‬ ‫ﻓﺈن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺮﺗﯿﺐ ھﺬه اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ھﻮ ‪:‬‬ ‫! ‪n1 !´ n 2 !´ n 3‬‬

‫‪Ë‬ﺑﻌﺾ أﻧﻮاع اﻟﺴﺤﺐ‪:‬‬ ‫ﻧﺤﺴﺐ ‪ p‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺮ ) ‪ ( p £ n‬و ﻧﻠﺨﺺ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫ﻧﻮع اﻟﺴﺤﺐ‬

‫ﻋﺪد اﻟﺴﺤﺒﺎت اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ھﻮ‪:‬‬

‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬

‫آﻧﻲ‬

‫‪Cpn‬‬

‫ﻏﯿﺮ ﻣﮫﻢ‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺈﺣﻼل‬

‫‪np‬‬ ‫‪A pn‬‬

‫ﻣﮫﻢ‬

‫ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺪون إﺣﻼل‬

‫‪27‬‬

‫ﻣﮫﻢ‬


math